Задание №13. Текстовые задачи на движение и работу

Приветствуем всех, кто готовится к ОГЭ! Сегодня мы детально разберем задание №13 — текстовые задачи на движение и работу. Эти задачи кажутся сложными, но на самом деле имеют четкую структуру и алгоритм решения. Давайте научимся решать их уверенно и без ошибок.

Общая стратегия решения

Любую текстовую задачу решаем по плану:

1. Внимательно читаем условие (2-3 раза)

2. Вводим переменные и обозначаем неизвестные

3. Составляем уравнение или систему уравнений

4. Решаем математическую часть

5. Проверяем ответ на соответствие условию

Задачи на движение

Основная формула: S = v ⋅ t

где S — путь, v — скорость, t — время

1. Движение навстречу

Особенность: Скорость сближения равна сумме скоростей Формула:v сближения = v₁ + v₂

Пример: Из двух точек навстречу друг другу выехали два велосипедиста. Скорость первого 12 км/ч, второго — 15 км/ч. Через сколько часов они встретятся, если расстояние между точками 54 км?

Решение:

· v сближения = 12 + 15 = 27 км/ч

· t = S/v = 54/27 = 2 часа Ответ:2 часа

2. Движение вдогонку

Особенность: Скорость сближения равна разности скоростей Формула:v сближения = v₁ - v₂ (где v₁ > v₂)

Пример: Из одного пункта в одном направлении выехали автомобиль (60 км/ч) и мотоциклист (40 км/ч). Через сколько часов расстояние между ними будет 50 км?

Решение:

· v сближения = 60 - 40 = 20 км/ч

· t = S/v = 50/20 = 2,5 часа Ответ:2,5 часа

3. Движение по воде

Важно запомнить:

· v по течению = v собственная + v течения

· v против течения = v собственная - v течения

Пример: Катер прошел против течения 30 км и вернулся обратно, затратив на весь путь 4 часа. Найдите собственную скорость катера, если скорость течения 3 км/ч.

Решение: Пусть x— собственная скорость катера

· v против течения = x - 3

· v по течению = x + 3

Составляем уравнение: 30/(x-3)+ 30/(x+3) = 4

Решаем: 30(x+3)+ 30(x-3) = 4(x²-9) 30x+ 90 + 30x - 90 = 4x² - 36 60x= 4x² - 36 4x²- 60x - 36 = 0 x²- 15x - 9 = 0

D = 225 + 36 = 261 x= (15 + √261)/2 ≈ (15 + 16,16)/2 ≈ 15,58 км/ч

Ответ: ≈15,6 км/ч

Задачи на работу

Основная формула: A = p ⋅ t

где A — работа, p — производительность, t — время

Важно: Часто всю работу принимают за 1

Совместная работа

Формула: p общая = p₁ + p₂ + ... + pₙ

Пример: Первая труба наполняет бассейн за 6 часов, вторая — за 8 часов. За сколько часов наполнят бассейн обе трубы вместе?

Решение: Принимаем всю работу за 1

· p₁ = 1/6

· p₂ = 1/8

· p общая = 1/6 + 1/8 = 7/24

· t = A/p = 1/(7/24) = 24/7 ≈ 3,43 часа

Ответ: ≈3,4 часа

Типичные ошибки

1. Неверный перевод единиц измерения (км/ч в м/с и наоборот)

2. Несоответствие размерностей в уравнении

3. Неучет всех условий задачи

4. Арифметические ошибки в расчетах

5. Неверная интерпретация ответа

Практика: Разбор задач

Задача 1. На движение

Условие: Пешеход и велосипедист отправились одновременно из двух пунктов навстречу друг другу. Скорость пешехода 5 км/ч, велосипедиста — 15 км/ч. Через сколько часов они встретятся, если расстояние между пунктами 40 км?

Решение:

  A[Пункт A] -- 40 км --> B[Пункт B]

  A -->|5 км/ч| C[Пешеход]

  B -->|15 км/ч| D[Велосипедист]

  C -->|встречное| D

· v сближения = 5 + 15 = 20 км/ч

· t = S/v = 40/20 = 2 часа

Ответ: 2 часа

Задача 2. На работу

Условие: Два насоса работая вместе наполняют бассейн за 4 часа. Первый насос наполняет бассейн на 6 часов быстрее второго. За сколько часов каждый насос наполняет бассейн?

Решение: Пусть x— время работы первого насоса Тогда x+ 6 — время работы второго насоса

· p₁ = 1/x

· p₂ = 1/(x+6)

· p общая = 1/x + 1/(x+6) = 1/4

Составляем уравнение: 1/x+ 1/(x+6) = 1/4

Решаем: 4(x+6)+ 4x = x(x+6) 4x+ 24 + 4x = x² + 6x 8x+ 24 = x² + 6x x²- 2x - 24 = 0

D = 4 + 96 = 100 x= (2 + 10)/2 = 6 часов (первый насос) x+ 6 = 12 часов (второй насос)

Ответ: 6 часов и 12 часов

Задача 3. На движение по воде

Условие: Моторная лодка прошла против течения 20 км и вернулась обратно, затратив на весь путь 3 часа. Найдите собственную скорость лодки, если скорость течения 2 км/ч.

Решение: Пусть x— собственная скорость лодки

· v против течения = x - 2

· v по течению = x + 2

Составляем уравнение: 20/(x-2)+ 20/(x+2) = 3

Решаем: 20(x+2)+ 20(x-2) = 3(x²-4) 20x+ 40 + 20x - 40 = 3x² - 12 40x= 3x² - 12 3x²- 40x - 12 = 0

D = 1600 + 144 = 1744 x= (40 + √1744)/6 ≈ (40 + 41,76)/6 ≈ 13,63 км/ч

Ответ: ≈13,6 км/ч

Полезные советы

1. Внимательно читайте условие — выделяйте ключевые данные

2. Делайте чертежи для задач на движение

3. Проверяйте размерности величин

4. Всегда анализируйте полученный ответ

5. Тренируйтесь на разных типах задач

Задачи на движение и работу — это не страшно! Главное — понять принципы их решения и много практиковаться. Помните:

· Для движения: S = v⋅t

· Для работы: A = p⋅t

· Внимательно составляйте уравнения

· Проверяйте ответ на адекватность

Решайте задачи систематически, и у вас все получится! Удачи на ОГЭ!