Приветствуем всех, кто готовится к ОГЭ! Сегодня мы разберем задание №13 — текстовые задачи. Это одно из самых практичных заданий экзамена, которое проверяет умение применять математику в реальных жизненных ситуациях. Давайте научимся решать их системно и без ошибок.
Стратегия решения текстовых задач
Универсальный алгоритм решения текстовых задач состоит из четырех ключевых шагов:
1. Анализ условия
· Внимательно прочитайте задачу 2-3 раза
· Выделите главное: что дано? что нужно найти?
· Определите тип задачи (на движение, работу, проценты и т.д.)
2. Введение переменных
· Обозначьте неизвестные величины буквами (x, y, z)
· Выразите через них другие величины из условия
· Если неизвестных несколько — введите несколько переменных
3. Составление уравнения/системы уравнений
· Найдите в условии ключевые соотношения между величинами
· Запишите эти соотношения в виде уравнений
· Проверьте, чтобы количество уравнений равнялось количеству неизвестных
4. Решение и анализ ответа
· Решите полученное уравнение или систему
· Проверьте, удовлетворяет ли ответ условиям задачи
· Запишите ответ с учетом размерности (кг, км, часы и т.д.)
Основные типы задач и ключевые формулы
1. Задачи на движение: s = v × t
Основные формулы:
· Путь = скорость × время (s = v × t)
· Скорость сближения/удаления: v₁ ± v₂
· Время встречи: t = s / (v₁ + v₂)
Особенности: Обратите внимание на движение по течению и против течения, встречное движение, движение с опозданием.
2. Задачи на работу: A = p × t
Основные формулы:
· Работа = производительность × время (A = p × t)
· Общая производительность: p₁ + p₂ + ...
· Время совместной работы: t = A / (p₁ + p₂)
Особенности: Часто всю работу принимают за 1. Производительность — это работа в единицу времени.
3. Задачи на проценты
Основные формулы:
· Нахождение процента от числа: a = b × p/100
· Нахождение числа по проценту: b = a × 100/p
· Изменение на p%: новое значение = старое × (1 ± p/100)
Особенности: Внимательно следите за последовательным изменением процентов.
4. Задачи на сплавы и смеси
Основные формулы:
· Масса смеси = масса₁ + масса₂
· Концентрация = (масса вещества / масса смеси) × 100%
· Масса вещества = концентрация × масса смеси / 100%
Особенности: Составляйте уравнения на основе баланса вещества в смеси.
Типичные ошибки: Будьте внимательны!
1. Неверный выбор переменной
· Неправильное обозначение неизвестных
· Путаница в размерностях величин
2. Неверно составленное уравнение
· Неучет всех условий задачи
· Ошибки в переводе словесных формулировок в математические выражения
3. Арифметические ошибки в вычислениях
· Ошибки в действиях с дробями
· Неправильная работа с процентами
4. Несоответствие ответа условию задачи
· Потеря корней или выбор несоответствующего смыслу корня
· Забывание проверки решения
Практика: Разбор задач типа №13
Задача 1. На движение
Условие: Из двух городов, расстояние между которыми 500 км, вышли одновременно навстречу друг другу два поезда. Скорость одного поезда 45 км/ч, другого — 55 км/ч. Через сколько часов они встретятся?
Решение:
1. Анализ: Задача на встречное движение. Дано: s = 500 км, v₁ = 45 км/ч, v₂ = 55 км/ч. Найти: t встречи.
2. Введение переменной: Пусть t — время до встречи.
3. Составление уравнения: Путь первого + путь второго = общему пути: 45t + 55t = 500
4. Решение: 100t = 500, t = 5 часов
5. Проверка: 45×5 + 55×5 = 225 + 275 = 500 ✓
6. Ответ: Поезда встретятся через 5 часов.
Задача 2. На проценты
Условие: Цена товара сначала повысилась на 20%, а затем понизилась на 10%. Как изменилась цена в результате?
Решение:
1. Анализ: Задача на последовательное изменение процентов.
2. Введение переменной: Пусть исходная цена x рублей.
3. Составление уравнения:
· После повышения: x × 1,20 = 1,2x
· После понижения: 1,2x × 0,90 = 1,08x
4. Анализ: 1,08x = x × 1,08, значит цена увеличилась на 8%
5. Ответ: Цена увеличилась на 8%.
Задача 3. На смеси
Условие: Имеется 40 кг 10%-ного раствора соли. Сколько кг воды нужно добавить, чтобы получить 4%-ный раствор?
Решение:
1. Анализ: Задача на разбавление раствора. Сохраняется масса соли.
2. Введение переменной: Пусть x — масса добавляемой воды.
3. Составление уравнения:
· Масса соли в исходном растворе: 40 × 0,10 = 4 кг
· Масса нового раствора: 40 + x кг
· Концентрация нового раствора: 4 / (40 + x) = 0,04
4. Решение: 4 / (40 + x) = 0,04 → 4 = 0,04(40 + x) → 4 = 1,6 + 0,04x → 2,4 = 0,04x → x = 60
5. Проверка: 4 / (40 + 60) = 4/100 = 0,04 = 4% ✓
6. Ответ: Нужно добавить 60 кг воды.
Полезные советы для решения задач №13
1. Внимательно читайте условие — выделяйте ключевые слова и числа
2. Рисуйте схемы для задач на движение и работу
3. Проверяйте размерности — все величины должны быть в одинаковых единицах измерения
4. Всегда делайте проверку — подставляйте полученный ответ в исходное условие
5. Записывайте ответ полно — с указанием единиц измерения
Текстовые задачи — это не страшно! Главное — понять алгоритм решения и много практиковаться. Помните, что каждая задача имеет свою логику, и ваша задача — раскрыть эту логику с помощью математических методов.
Не забывайте:
· Анализировать условие перед решением
· Правильно вводить переменные
· Составлять уравнения на основе условий задачи
· Проверять полученный ответ
Удачи в подготовке к ОГЭ! Регулярная практика решения текстовых задач поможет вам уверенно справиться с заданием №13 на экзамене.