Задание №10. Геометрическая прогрессия: Формулы n-го члена и суммы

Приветствуем всех, кто готовится к ОГЭ! Сегодня мы разберем вторую часть задания №10, посвященную геометрическим прогрессиям. Если арифметическая прогрессия — это "шаги" с постоянной разностью, то геометрическая — "цепочка" с постоянным множителем. Давайте разберемся, как работать с этим типом последовательностей.

Что такое геометрическая прогрессия?

Геометрическая прогрессия — это последовательность чисел, в которой каждое следующее число получается умножением предыдущего на одно и то же постоянное число.

Основные понятия:

· Первый член прогрессии (b₁) — самое первое число в последовательности

· Знаменатель прогрессии (q) — то самое число, на которое умножается каждый член для получения следующего

· n-й член прогрессии (bₙ) — член прогрессии, стоящий на n-м месте

Формула n-го члена прогрессии

Это основная формула для работы с геометрической прогрессией:

bₙ = b₁ × q⁽ⁿ⁻¹⁾

где:

· bₙ — n-й член прогрессии

· b₁ — первый член прогрессии

· q — знаменатель прогрессии

· n — номер члена

Как работает формула:

Чтобы найти любой член прогрессии, нужно первый член умножить на знаменатель в степени (номер нужного члена минус 1).

Пример: Найдем 5-й член прогрессии, если b₁ = 2, q = 3 b₅= 2 × 3⁽⁵⁻¹⁾ = 2 × 3⁴ = 2 × 81 = 162

Формула суммы первых n членов

Для нахождения суммы первых n членов геометрической прогрессии:

Sₙ = b₁ × (qⁿ - 1) / (q - 1) (для q ≠ 1)

где:

· Sₙ — сумма первых n членов

· b₁ — первый член прогрессии

· q — знаменатель прогрессии

· n — количество складываемых членов

Важно: Если q = 1, то все члены прогрессии равны b₁, и сумма Sₙ = n × b₁

Пример: Найдем сумму первых 4 членов прогрессии с b₁ = 3, q = 2 S₄= 3 × (2⁴ - 1) / (2 - 1) = 3 × (16 - 1) / 1 = 3 × 15 = 45

Проверим: 3 + 6 + 12 + 24 = 45 ✓

Типичные ошибки: Будьте внимательны!

1. Путаница с арифметической прогрессией:

  · В арифметической: разность d (сложение/вычитание)

  · В геометрической: знаменатель q (умножение/деление)

2. Ошибки в степенях:

  · Неверное вычисление степеней (особенно с дробями)

  · Путаница в показателе степени: q⁽ⁿ⁻¹⁾, а не qⁿ

3. Работа с отрицательным знаменателем:

  · При отрицательном q члены прогрессии чередуют знаки

  · Особенно внимательно при возведении в степень

4. Деление на ноль:

  · В формуле суммы: q ≠ 1

  · Если q = 1, не используйте данную формулу

5. Неверное определение знаменателя:

  · q = bₙ / bₙ₋₁ (последующий член делим на предыдущий)

Практика: Разбор заданий типа №10

Задание 1. Найдите пятый член геометрической прогрессии, если b₁ = 5, q = 2.

Решение: b₅= b₁ × q⁽⁵⁻¹⁾ = 5 × 2⁴ = 5 × 16 = 80

Ответ: 80

Задание 2. Найдите знаменатель геометрической прогрессии, если b₁ = 3, b₄ = 24.

Решение: b₄= b₁ × q⁽⁴⁻¹⁾ 24= 3 × q³ q³= 8 q= 2

Ответ: 2

Задание 3. Найдите сумму первых шести членов геометрической прогрессии: 2, 6, 18, 54, ...

Решение: Находим q= 6 / 2 = 3 b₁= 2 S₆= 2 × (3⁶ - 1) / (3 - 1) = 2 × (729 - 1) / 2 = 2 × 728 / 2 = 728

Ответ: 728

Задание 4. В геометрической прогрессии b₂ = 12, b₄ = 48. Найдите b₁ и q.

Решение: Запишем оба условия через формулу n-го члена: b₂= b₁ × q = 12 b₄= b₁ × q³ = 48

Разделим второе уравнение на первое: (b₁× q³) / (b₁ × q) = 48 / 12 q²= 4 q= 2 или q = -2

Найдем b₁: Если q= 2: b₁ = 12 / 2 = 6 Если q= -2: b₁ = 12 / (-2) = -6

Ответ: b₁ = 6, q = 2 или b₁ = -6, q = -2

Задание 5. Найдите сумму первых пяти членов геометрической прогрессии с b₁ = 1, q = 1/2.

Решение: S₅= 1 × ((1/2)⁵ - 1) / (1/2 - 1) = (1/32 - 1) / (-1/2) = (-31/32) / (-1/2) = 31/16 = 1,9375

Ответ: 1,9375 или 31/16

Задание 6. Сколько членов геометрической прогрессии нужно сложить, чтобы их сумма равнялась 93, если b₁ = 3, q = 2?

Решение: 93= 3 × (2ⁿ - 1) / (2 - 1) 93= 3 × (2ⁿ - 1) 31= 2ⁿ - 1 2ⁿ= 32 n= 5

Ответ: 5

Сравнение арифметической и геометрической прогрессий

Параметр Арифметическая прогрессия Геометрическая прогрессия

Определение Разность соседних членов постоянна Знаменатель соседних членов постоянен

Формула n-го члена aₙ = a₁ + d(n-1) bₙ = b₁ × q⁽ⁿ⁻¹⁾

Формула суммы Sₙ = (a₁ + aₙ)×n/2 Sₙ = b₁×(qⁿ-1)/(q-1)

Изменение Линейное Экспоненциальное

Полезные советы для решения задач:

1. Внимательно определяйте тип прогрессии по условию задачи

2. Выписывайте все известные данные — b₁, q, n, bₙ, Sₙ

3. Выбирайте подходящую формулу в зависимости от того, что нужно найти

4. Проверяйте ответ — подставляйте полученные значения в исходные условия

5. Помните про особенности при q = 1, q = -1, и когда |q| < 1

Геометрическая прогрессия — это мощный математический инструмент, который описывает процессы роста и уменьшения в природе, экономике и науке. Понимание ее закономерностей поможет не только сдать ОГЭ, но и лучше понять окружающий мир.

Главные формулы:

· n-й член: bₙ = b₁ × q⁽ⁿ⁻¹⁾

· Сумма n членов: Sₙ = b₁ × (qⁿ - 1) / (q - 1)

Важные моменты:

· При q = 1: все члены равны, сумма Sₙ = n × b₁

· При |q| < 1: прогрессия убывающая

· При q > 1: прогрессия возрастающая

· При q < 0: члены прогрессии чередуют знаки

Регулярная практика решения задач поможет вам уверенно справляться с заданиями на геометрические прогрессии на ОГЭ. Удачи в подготовке!