Приветствуем всех, кто готовится к ОГЭ! Сегодня мы разберем задание №3, которое посвящено линейным неравенствам. Многие ученики теряются при виде знаков неравенства, но на самом деле они подчиняются четким и понятным правилам. Давайте разберемся, как легко и без ошибок решать эти задания.
Свойства числовых неравенств
Прежде чем решать неравенства, нужно усвоить несколько важных правил, которые позволяют преобразовывать их без потери смысла. Эти свойства очень похожи на свойства уравнений, но с одним КРИТИЧЕСКИ ВАЖНЫМ отличием.
1. К обеим частям неравенства можно прибавить (или вычесть) одно и то же число.
· Если a > b, то a + c > b + c
· Знак неравенства при этом не меняется.
· Пример: x - 3 > 5 → прибавим 3 к обеим частям: x > 8
2. Обе части неравенства можно умножить (или разделить) на одно и то же ПОЛОЖИТЕЛЬНОЕ число.
· Если a > b и c > 0, то a * c > b * c
· Знак неравенства при этом не меняется.
· Пример: 3x < 12 → разделим обе части на 3: x < 4
3. ОБА ЧАСТИ НЕРАВЕНСТВА МОЖНО УМНОЖИТЬ (ИЛИ РАЗДЕЛИТЬ) НА ОДНО И ТО ЖЕ ОТРИЦАТЕЛЬНОЕ ЧИСЛО, НО ПРИ ЭТОМ ЗНАК НЕРАВЕНСТВА МЕНЯЕТСЯ НА ПРОТИВОПОЛОЖНЫЙ.
· Если a > b и c < 0, то a * c < b * c
· Это самое важное правило! Его забывание — главная причина ошибок.
· Пример: -2x > 6 → разделим обе части на -2 и поменяем знак: x < -3
Алгоритм решения линейных неравенств
Решение линейного неравенства очень похоже на решение линейного уравнения. Ваша цель — isolate the variable (изолировать переменную) на одной стороне.
Пошаговая инструкция:
1. Раскройте скобки (если они есть).
2. Перенесите все слагаемые с переменной в одну часть, а все числа — в другую. Не забывайте менять знаки слагаемых на противоположные при переносе через знак неравенства.
3. Приведите подобные слагаемые в каждой части неравенства.
4. Разделите обе части неравенства на коэффициент перед переменной.
· Если коэффициент положительный — знак неравенства остается тем же.
· Если коэффициент отрицательный — знак неравенства меняется на противоположный (< на >, ≤ на ≥ и наоборот).
Изображение решений на числовой прямой
После решения неравенства его ответ нужно записать в виде промежутка и изобразить на числовой прямой. Это обязательная часть задания №3.
· x > a — все числа, большие a. На числовой прямой: стрелка вправо от точки a, сама точка a выколота (пустой кружок).
· Пример: x > 2 → (2; +∞)
· x < a — все числа, меньшие a. На числовой прямой: стрелка влево от точки a, сама точка a выколота.
· Пример: x < -1 → (-∞; -1)
· x ≥ a — все числа, большие a или равные a. На числовой прямой: стрелка вправо от точки a, сама точка a закрашена.
· Пример: x ≥ 0 → [0; +∞)
· x ≤ a — все числа, меньшие a или равные a. На числовой прямой: стрелка влево от точки a, сама точка a закрашена.
· Пример: x ≤ 3 → (-∞; 3]
Типичные ошибки: Будьте внимательны!
1. Неправильная перемена знака при умножении/делении на отрицательное число. Это ошибка №1.
· Неправильно: -5x > 10 → x > -2
· Правильно: -5x > 10 → x < -2 (разделили на -5 и поменяли знак)
2. Неверное изображение на числовой прямой.
· Путают закрашенный и незакрашенный кружок. Закрашенный — точка ВХОДИТ в решение (≥, ≤). Незакрашенный — НЕ входит (>, <).
· Стрелка всегда должна указывать в правильном направлении: вправо для > и ≥, влево для < и ≤.
3. Арифметические ошибки при переносе слагаемых и делении чисел.
4. Неверная запись промежутка. Бесконечность всегда записывается с круглой скобкой: (-∞; ...) или (...; +∞).
Практика: Разбор заданий типа №3
Задание 1. Решите неравенство: 7x - 3 > 4x + 6
Решение:
1. Переносим слагаемые: 7x - 4x > 6 + 3
2. Упрощаем: 3x > 9
3. Делим на 3 (положительное число, знак не меняется): x > 3
Ответ: x > 3 или (3; +∞)
Задание 2. Решите неравенство: 5(x - 3) ≤ 2x + 6
Решение:
1. Раскрываем скобки: 5x - 15 ≤ 2x + 6
2. Переносим слагаемые: 5x - 2x ≤ 6 + 15
3. Упрощаем: 3x ≤ 21
4. Делим на 3: x ≤ 7
Ответ: x ≤ 7 или (-∞; 7]
Задание 3. Решите неравенство: -4(x + 2) > 12
Решение:
1. Раскрываем скобки: -4x - 8 > 12
2. Переносим слагаемые: -4x > 12 + 8
3. Упрощаем: -4x > 20
4. Делим на -4 и МЕНЯЕМ знак: x < -5
Ответ: x < -5 или (-∞; -5)
Задание 4. Решите неравенство: (3x - 1)/2 - (x + 4)/3 < 1
Решение:
1. Умножим обе части на 6 (наименьший общий знаменатель), чтобы избавиться от дробей. 6 > 0, знак не меняется. 6 * [(3x-1)/2] - 6 * [(x+4)/3] < 6 * 1 3(3x-1) - 2(x+4) < 6
2. Раскрываем скобки: 9x - 3 - 2x - 8 < 6
3. Упрощаем: 7x - 11 < 6
4. Переносим: 7x < 6 + 11
5. Упрощаем: 7x < 17
6. Делим на 7: x < 17/7 или x < 2 ³⁄₇
Ответ: x < 17/7 или (-∞; 17/7) (примерно нарисовать точку 17/7 ≈ 2.43)
Задание 5. Отметьте на числовой прямой решение неравенства 2x - 5 ≤ 3x + 4 и укажите его.
Решение:
1. Переносим слагаемые: 2x - 3x ≤ 4 + 5
2. Упрощаем: -x ≤ 9
3. Делим на -1 и МЕНЯЕМ знак: x ≥ -9
Ответ: x ≥ -9 или [-9; +∞)
Чтобы уверенно решать задание №3:
1. Помните золотое правило: при умножении/делении на отрицательное число знак неравенства меняется.
2. Внимательно переносите слагаемые и выполняйте арифметические действия.
3. Правильно изображайте ответ на числовой прямой: закрашенный кружок для нестрогих неравенств (≤, ≥), выколотый — для строгих (>, <).
4. Всегда проверяйте себя, подставляя крайнее значение и любое число из получившегося промежутка в исходное неравенство.
Тренируйтесь, и третье задание ОГЭ станет для вас одним из самых легких. Удачи