Приветствуем всех, кто готовится к ОГЭ! Сегодня мы разберем одну из ключевых тем экзамена — квадратные уравнения. Это задание №7, которое кажется сложным, но на самом деле его решение сводится к четкому алгоритму. Если вы подружитесь с формулами, то решите его быстро и без ошибок.
Что такое квадратное уравнение? Стандартный вид
Квадратное уравнение — это уравнение вида:
ax² + bx + c = 0
где:
· x — переменная,
· a, b, c — коэффициенты (числа),
· a ≠ 0 (если a = 0, уравнение превращается в линейное).
Это и есть стандартный вид. Ваша первая задача — привести любое уравнение к такому виду, прежде чем решать его. Все слагаемые должны быть собраны слева, а справа должен остаться ноль.
Пример: Привести уравнение 3x² - 5x = 2x - 7 к стандартному виду.
1. Переносим все в левую часть: 3x² - 5x - 2x + 7 = 0
2. Приводим подобные слагаемые: 3x² - 7x + 7 = 0 Теперь видно: a=3, b=-7, c=7.
Дискриминант и формула корней
Чтобы решить квадратное уравнение, нам нужен верный помощник — дискриминант (D).
Дискриминант — это число, которое находится по формуле: D = b² - 4ac
По значению дискриминанта мы можем определить, сколько корней имеет уравнение:
1. Если D > 0, то уравнение имеет два различных корня: x = (-b ± √D) / (2a)
2. Если D = 0, то уравнение имеет один корень (иногда говорят "два одинаковых корня"): x = -b / (2a)
3. Если D < 0, то действительных корней нет. (В курсе ОГЭ в этом случае так и пишут в ответе).
Когда корень один?
Корень один только в том случае, когда дискриминант равен нулю (D=0). В этой ситуации оба корня в формуле x = (-b ± √D) / (2a) совпадают, так как √D = 0, и формула упрощается до x = -b / (2a).
Теорема Виета (простые случаи на подбор корней)
Для приведенных квадратных уравнений (когда a = 1) существует очень удобная теорема Виета.
Если уравнение имеет вид x² + px + q = 0, то:
· Сумма корней равна второму коэффициенту с противоположным знаком: x₁ + x₂ = -p
· Произведение корней равно свободному члену: x₁ * x₂ = q
Эта теорема часто позволяет подобрать корни устно, особенно на ОГЭ, где часто встречаются простые числа.
Пример: Решите уравнение x² - 5x + 6 = 0. Попробуем подобрать такие числа,которые в сумме дают 5 (но с противоположным знаком, поэтому -p = 5), а в произведении 6. Это числа2 и 3, так как 2 + 3 = 5 и 2 * 3 = 6. Ответ:x₁=2, x₂=3
Важно: Теорема Виета работает только для уравнений с корнями (т.е. когда D ≥ 0).
Типичные ошибки: Будьте внимательны!
1. Неверный расчет дискриминанта. Самая частая ошибка — забыть, что b возводится в квадрат целиком.
· Неправильно: Если b = -5, то b² = -25.
· Правильно: Если b = -5, то b² = (-5) * (-5) = 25.
2. Путаница в знаках. Ошибки в арифметике при расчете -b и всего выражения.
· Неправильно: x = -5 ± ... при b=5.
· Правильно: Если b=5, то -b = -5. Если b=-3, то -b = -(-3) = 3.
3. Потеря корня при D=0. Часто забывают, что при D=0 корень все-таки есть, и пишут "нет корней".
· Правило: Нет корней только при D < 0.
4. Неверная запись формулы. Путают формулы для D и для x.
· Запомните: D = b² - 4ac, а x = (-b ± √D) / (2a).
5. Не приведено к стандартному виду. Попытка выписать коэффициенты a, b, c из уравнения, которое не приведено к виду ax² + bx + c = 0.
Практика: Разбор заданий типа №7
Задание 1. Решите уравнение: x² - 7x + 12 = 0
Решение (через теорему Виета): Подбираем числа,сумма которых равна 7, а произведение 12. Это 3 и 4. Ответ:3; 4
Решение (через дискриминант): a=1, b=-7, c=12 D = (-7)² - 4*1*12 = 49 - 48 = 1(>0, два корня) x = (7 ± √1) / (2*1) = (7 ± 1) / 2 x₁ = (7+1)/2 = 4;x₂ = (7-1)/2 = 3 Ответ:3; 4
Задание 2. Решите уравнение: x² + 6x + 9 = 0
Решение: a=1, b=6, c=9 D = 6² - 4*1*9 = 36 - 36 = 0(один корень) x = -6 / (2*1) = -6/2 = -3 Ответ:-3
Задание 3. Решите уравнение: 2x² - 3x - 5 = 0
Решение: a=2, b=-3, c=-5 D = (-3)² - 4*2*(-5) = 9 + 40 = 49(>0, два корня) x = (3 ± √49) / (2*2) = (3 ± 7) / 4 x₁ = (3+7)/4 = 10/4 = 2.5;x₂ = (3-7)/4 = (-4)/4 = -1 Ответ:-1; 2.5
Задание 4. Решите уравнение: 5x² + 2x + 1 = 0
Решение: a=5, b=2, c=1 D = 2² - 4*5*1 = 4 - 20 = -16(<0, корней нет) Ответ:нет действительных корней
Задание 5. Решите уравнение: x² - 25 = 0
Решение (как неполное квадратное уравнение): Уравнение вида ax² + c = 0 решается переносом c вправо и делением на a. x² = 25 x = ±√25 x = ±5 Ответ:-5; 5
Задание 6. Решите уравнение: (x - 3)(2x + 5) = 0
Решение: Произведение равно нулю,когда хотя бы один из множителей равен нулю. x - 3 = 0 или 2x + 5 = 0 x = 3 или 2x = -5 -> x = -2.5 Ответ:-2.5; 3
Задание 7 (Со звездочкой). Найдите корень уравнения (3x - 1)(x + 4) = 12x + 11
Решение:
1. Сначала приведем к стандартному виду. Раскроем скобки: 3x² + 12x - x - 4 = 12x + 11 3x² + 11x - 4 = 12x + 11
2. Переносим все влево: 3x² + 11x - 4 - 12x - 11 = 0 3x² - x - 15 = 0
3. Решаем через дискриминант: a=3, b=-1, c=-15 D = (-1)² - 4*3*(-15) = 1 + 180 = 181 x = (1 ± √181) / 6 (√181 не извлекается) Ответ:(1 ± √181) / 6
Чтобы уверенно решать задание №7:
1. Всегда начинайте с приведения уравнения к стандартному виду ax² + bx + c = 0.
2. Выписывайте коэффициенты a, b, c и аккуратно вычисляйте дискриминант D.
3. Выбирайте способ решения: для простых случаев (a=1) пробуйте теорему Виета для подбора, в остальных — используйте универсальную формулу корней.
4. Внимательно следите за знаками — это главный источник ошибок!
Решайте эти уравнения без страха, и седьмой номер ОГЭ будет даваться вам легко. Удачи!