Добро пожаловать на продолжение нашей подготовки к ОГЭ по математике! Сегодня мы разберем задание №2, которое посвящено линейным уравнениям и системам линейных уравнений. Это одно из самых простых и "балльных" заданий на экзамене. Если понять всего несколько правил, вы гарантированно с ним справитесь.
Алгоритм решения линейного уравнения с одной переменной
Линейное уравнение — это уравнение, которое можно привести к виду ax + b = 0, где x — переменная, a и b — некоторые числа.
Цель: найти значение переменной (x), при котором это равенство становится верным.
Пошаговый алгоритм:
1. Раскрыть скобки (если они есть).
2. Сгруппировать слагаемые. Все члены с переменной x переносим в одну сторону уравнения (обычно в левую), а все числа — в другую (в правую). Помните золотое правило:
При переносе слагаемого из одной части уравнения в другую, его знак меняется на противоположный (плюс на минус, минус на плюс).
3. Привести подобные слагаемые в каждой части уравнения.
4. Разделить обе части уравнения на коэффициент перед x, чтобы найти его значение.
Простой пример: Решите уравнение 5x - 10 = 3x + 4
1. Переносим слагаемые с x влево, а числа вправо (не забываем менять знаки!): 5x - 3x = 4 + 10
2. Приводим подобные слагаемые: 2x = 14
3. Делим обе части на число перед x (на 2): x = 14 / 2 x = 7
Ответ: 7
Понятие системы уравнений. Методы решения
Система уравнений — это несколько уравнений (чаще всего два), для которых нужно найти такие значения переменных, которые будут являться решением каждого уравнения системы одновременно.
В задании №2 ОГЭ обычно встречаются простейшие системы из двух линейных уравнений с двумя переменными (x и y).
Пример системы: { x + y = 5; 2x - y = 1 }
Существует несколько способов решения, но мы разберем два самых наглядных для простых систем.
1. Метод подстановки
Алгоритм:
1. Выразить из одного уравнения одну переменную через другую (например, x через y).
2. Подставить полученное выражение во второе уравнение вместо x.
3. Решить получившееся уравнение с одной переменной (найти y).
4. Подставить найденное значение y в выражение, полученное в первом шаге, и найти x.
Разберем на примере системы выше: { x + y = 5; 2x - y = 1 }
1. Выразим x из первого уравнения (оно проще): x = 5 - y.
2. Подставим это во второе уравнение вместо x: 2*(5 - y) - y = 1.
3. Решаем полученное уравнение: 10 - 2y - y = 1 10 - 3y = 1 -3y = 1 - 10 -3y = -9 y = 3
4. Подставляем y = 3 в выражение x = 5 - y: x = 5 - 3 = 2.
Ответ: x = 2, y = 3. Часто его записывают как пару: (2; 3).
2. Метод сложения
Алгоритм:
1. Сделать так, чтобы коэффициенты перед одной из переменных в обоих уравнениях стали противоположными числами (например, +3y и -3y).
2. Сложить почленно оба уравнения. При этом одна переменная уничтожится.
3. Решить получившееся уравнение с одной переменной.
4. Подставить найденное значение в любое из исходных уравнений и найти вторую переменную.
Разберем на той же системе: { x + y = 5; 2x - y = 1 }
1. Посмотрим на коэффициенты при y. В первом уравнении +y, во втором -y. Они уже противоположны!
2. Складываем два уравнения почленно: (x + y) + (2x - y) = 5 + 1 x + 2x + y - y = 6 3x = 6
3. Решаем: x = 2.
4. Подставляем x = 2 в первое уравнение (оно проще): 2 + y = 5, отсюда y = 3.
Ответ: (2; 3)
Типичные ошибки: Будьте внимательны!
1. Ошибки при переносе слагаемых. Самая частая ошибка! Забывают поменять знак.
· Неправильно: 3x + 5 = 2x -> 3x - 2x = 5
· Правильно: 3x + 5 = 2x -> 3x - 2x = -5
2. Арифметические ошибки. Неверное сложение, вычитание, умножение или деление чисел. Всегда перепроверяйте вычисления.
3. Ошибки при раскрытии скобок.
· Забывают умножить на число все слагаемые внутри скобок: 2(x + 3) = 2x + 6, а не 2x + 3.
· Неправильно работают со знаками: -3(x - 4) = -3x + 12, а не -3x - 12.
4. Ошибки в методе подстановки. Подставляют выражение не в другое уравнение, а в то же самое, из которого выражали. Это приводит к тождеству и не дает решения.
5. Путаница в методе сложения. Неверно подбирают коэффициенты для сложения или неправильно складывают уравнения.
Практика: Разбор заданий типа №2
Задание 1. Решите уравнение: 7x + 9 = 5x - 6
Решение: Переносим слагаемые:7x - 5x = -6 - 9 Упрощаем:2x = -15 Делим на 2:x = -15 / 2 = -7.5
Ответ: -7.5
Задание 2. Решите уравнение: 4(3 - x) = 8
Решение: Раскрываем скобки:12 - 4x = 8 Переносим числа:-4x = 8 - 12 Упрощаем:-4x = -4 Делим на(-4): x = 1
Ответ: 1
Задание 3. Решите систему уравнений: { 2x + y = 5; x - y = 1 }
Решение (метод сложения): Коэффициенты приy уже противоположны (+y и -y). Складываем: (2x + y) + (x - y) = 5 + 1 3x = 6 x = 2 Подставляемx=2 во второе уравнение: 2 - y = 1 -> -y = -1 -> y = 1
Ответ: (2; 1)
Задание 4. Решите систему уравнений: { 3x + y = 7; 5x + 2y = 12 }
Решение (метод подстановки):
1. Выразим y из первого уравнения: y = 7 - 3x.
2. Подставим во второе: 5x + 2*(7 - 3x) = 12.
3. Решаем: 5x + 14 - 6x = 12 -> -x + 14 = 12 -> -x = -2 -> x = 2.
4. Подставляем x=2 в выражение для y: y = 7 - 3*2 = 7 - 6 = 1.
Ответ: (2; 1)
Задание 5. Решите систему уравнений: { x = 10 - 3y; 4x + 5y = 22 }
Решение (метод подстановки, уже выражено): x уже выражен. Подставляем x = 10 - 3y во второе уравнение: 4*(10 - 3y) + 5y = 22 40 - 12y + 5y = 22 40 - 7y = 22 -7y = 22 - 40 -7y = -18 y = 18/7 = 2 ⁴⁄₇ Теперь найдемx: x = 10 - 3*(18/7) = 10 - 54/7 = 70/7 - 54/7 = 16/7 = 2 ²⁄₇
Ответ: (16/7; 18/7) или (2 ²⁄₇; 2 ⁴⁄₇)
Задание 6 (с дробями). Решите уравнение: (2x - 5) / 3 = 5
Решение: Это тоже линейное уравнение.Чтобы избавиться от знаменателя, умножим обе части на 3: 2x - 5 = 5 * 3 2x - 5 = 15 2x = 20 x = 10
Ответ: 10
Задание №2 — это ваш надежный друг на экзамене. Чтобы решать его без ошибок:
1. Внимательно переносите слагаемые, всегда меняя знак.
2. Аккуратно проводите арифметические вычисления.
3. Для систем выбирайте метод, который кажется вам проще (подстановка или сложение).
4. Обязательно делайте проверку, подставив найденный ответ в исходное уравнение. Это займет 10 секунд, но спасет балл.
Тренируйтесь на подобных примерах, и второй номер ОГЭ будет даваться вам легко и быстро. Удачи!