Приветствуем всех, кто готовится к ОГЭ! Сегодня мы разберем тему, которая часто вызывает вопросы, но на самом деле вполне поддается пониманию — квадратные корни и преобразование выражений с ними. Эти задания регулярно встречаются в первой части экзамена, и их уверенное решение — верный путь к дополнительным баллам.
Что такое квадратный корень? Определимся с понятиями
Квадратный корень из неотрицательного числа a (обозначается как √a) — это такое неотрицательное число, квадрат которого равен a.
· (√a)² = a
· √(a²) = |a| (модуль a)
Важнейшее правило: Под знаком квадратного корня (√) может стоять только неотрицательное выражение. Результат извлечения квадратного корня — тоже всегда неотрицательное число.
Основные свойства квадратных корней (простейшие случаи)
Для преобразования выражений нам понадобятся всего три основных свойства. Работают они только для неотрицательных чисел a и b (a ≥ 0, b ≥ 0).
1. Корень из произведения: √(a * b) = √a * √b
· Пример: √(4 * 9) = √36 = 6 или √4 * √9 = 2 * 3 = 6.
2. Корень из частного: √(a / b) = √a / √b (где b > 0)
· Пример: √(25 / 16) = √25 / √16 = 5/4 = 1.25.
3. Внесение множителя под знак корня: a * √b = √(a² * b) (при a ≥ 0) |a| * √b = √(a² * b) (если a может быть отрицательным)
· Пример (с a ≥ 0): 5√3 = √(25 * 3) = √75.
· Пример (с a < 0): -5√3 = -1 * 5√3 = -√75. (Отрицательный множитель обычно выносят вперед).
Эти свойства нужны, чтобы упрощать выражения, избавляясь от иррациональности в знаменателе или извлекая квадраты из-под корня.
Порядок действий
Правила остаются прежними:
1. Действия в скобках (если они есть).
2. Умножение и деление (включая операции с корнями).
3. Сложение и вычитание.
Важный нюанс: Перед тем как складывать или вычитать корни, их нужно упростить, чтобы убедиться, что они являются подобными слагаемыми. Складывать можно только корни с одинаковыми подкоренными выражениями (аналогично сложению одинаковых буквенных выражений: 2a + 3a = 5a).
· 2√3 + 3√3 = 5√3 (можно, т.к. подкоренные выражения одинаковые).
· 2√3 + 3√5 (нельзя упростить, т.к. подкоренные выражения разные).
Типичные ошибки: Будьте внимательны!
1. Корень из суммы НЕ РАВЕН сумме корней: Самая грубая и распространенная ошибка!
· НЕПРАВИЛЬНО: √(9 + 16) = √9 + √16 = 3 + 4 = 7
· ПРАВИЛЬНО: √(9 + 16) = √25 = 5
· Запомните: √(a + b) ≠ √a + √b
2. Корень из отрицательного числа. В рамках действительных чисел (а именно их проходят в школе) нельзя извлечь квадратный корень из отрицательного числа.
· √(-9) — не существует (для ОГЭ). Это не -3, потому что (-3)² = 9, а не -9.
3. Потеря знака (модуля) при извлечении корня из квадрата.
· √(a²) = |a|. Например, √((-5)²) = √25 = 5 = |-5|, а не -5.
4. Неправильное сложение и вычитание. Пытаются сложить корни с разными подкоренными выражениями.
· √2 + √3 ≠ √5
5. Ошибки при внесении отрицательного множителя под знак корня.
· -2√5 = -√(4 * 5) = -√20 (верно)
· -2√5 = √((-2)² * 5) = √(4*5) = √20 (неверно, теряется знак "минус")
Практика: Разбор заданий из ОГЭ
Теперь решим несколько типичных примеров для задания №1.
Задание 1. Найдите значение выражения: √(5 * 45)
Решение: Воспользуемся свойством корня из произведения: √(5 * 45) = √5 * √45 Но лучше сначала вычислить произведение под корнем: 5 * 45 = 225 √225 = 15(так как 15² = 225).
Ответ: 15
Задание 2. Найдите значение выражения: (√21 - √3)(√21 + √3)
Решение: Узнали формулу?Это же (a - b)(a + b) = a² - b² (разность квадратов)! Гдеa = √21, b = √3. Применяем:(√21)² - (√3)² = 21 - 3 = 18.
Ответ: 18
Задание 3. Найдите значение выражения: (√80 - √5) / √5
Решение: Здесь два пути. Способ 1:Упростить числитель.
1. Упростим √80 = √(16 * 5) = 4√5
2. Теперь числитель: 4√5 - √5 = 3√5
3. Делим: (3√5) / √5 = 3.
Способ 2: Разделить почленно. (√80 - √5) / √5 = √80/√5 - √5/√5 = √(80/5) - 1 = √16 - 1 = 4 - 1 = 3.
Ответ: 3
Задание 4. Найдите значение выражения: 3√20 * √5
Решение: Внесем все под один корень,используя свойства умножения. 3√20 * √5 = 3 * √(20 * 5) = 3 * √100 = 3 * 10 = 30.
Ответ: 30
Задание 5. Упростите выражение: √(27) + 5√3
Решение: Нужно упростить√27 и посмотреть, не станут ли корни подобными. √27 = √(9 * 3) = 3√3 Теперь подставляем:3√3 + 5√3 = 8√3.
Ответ: 8√3
Задание 6. Найдите значение выражения: (6√7)² / 42
Решение:
1. Возведем в квадрат: (6√7)² = 6² * (√7)² = 36 * 7 = 252.
2. Теперь разделим: 252 / 42 = 6.
Ответ: 6
Задание 7 (С подвохом). Найдите значение выражения: √(3² + 4²)
Решение: Помним о главной ошибке!Нельзя извлекать корень из каждого слагаемого. Сначала выполняем действия под корнем: 3² + 4² = 9 + 16 = 25 √25 = 5.
Ответ: 5
Работа с квадратными корнями требует внимательности и твердого знания всего трех свойств. Алгоритм решения почти всегда такой:
1. Посмотрите, нельзя ли упростить подкоренное выражение (разложить на множители, вынести квадраты).
2. Проверьте, являются ли корни подобными для сложения/вычитания.
3. Воспользуйтесь формулами сокращенного умножения, если видите их.
4. Всегда помните главный запрет: √(a + b) ≠ √a + √b.
Решайте эти задания без страха, и самый первый номер ОГЭ по математике будет щелкаться как орешки. Удачи!
В следующих статьях перейдем к уравнениям. Не переключайтесь!