Работа с числами и выражениями: Степени. Задание №1

Всем привет! Продолжаем нашу подготовку к ОГЭ по математике. Сегодня мы разберем одну из ключевых тем, которая встречается в самом первом задании экзамена: степени и их свойства. Умение уверенно обращаться со степенями — это фундамент для решения множества других задач. Давайте наведем в этом порядке!

Основные свойства степеней с целым показателем

Главное — не просто выучить эти свойства, а понять их. Давайте представим, что степень — это просто краткая форма записи умножения одинаковых чисел.

Определение: aⁿ = a * a * a * ... * a(n раз), где:

· a — основание степени (то число, которое умножаем),

· n — показатель степени (сколько раз умножаем).

Теперь к свойствам. Для любых чисел a и b и любых целых чисел m и n выполняются следующие правила:

1. Умножение степеней с одинаковыми основаниями: aᵐ * aⁿ = aᵐ⁺ⁿ Показатели степени складываются. Пример: 2³ * 2⁵ = 2³⁺⁵ = 2⁸ = 256. Проверим: (2*2*2) * (2*2*2*2*2) = 2⁸.

2. Деление степеней с одинаковыми основаниями: aᵐ / aⁿ = aᵐ⁻ⁿ Показатели степени вычитаются. Пример: 3⁸ / 3⁵ = 3⁸⁻⁵ = 3³ = 27.

3. Возведение степени в степень: (aᵐ)ⁿ = aᵐ*ⁿ Показатели степени перемножаются. Пример: (2²)⁴ = 2²*⁴ = 2⁸ = 256. Проверим: (2*2)⁴ = (4)⁴ = 4*4*4*4 = 256.

4. Возведение в степень произведения: (a * b)ⁿ = aⁿ * bⁿ В степень возводится каждый множитель. Пример: (2 * 3)³ = 2³ * 3³ = 8 * 27 = 216. Проверим: 6³ = 216.

5. Возведение в степень частного: (a / b)ⁿ = aⁿ / bⁿ В степень возводятся и числитель, и знаменатель. Пример: (6 / 3)⁴ = 6⁴ / 3⁴ = 1296 / 81 = 16. Проверим: 2⁴ = 16.

6. Отрицательная степень: a⁻ⁿ = 1 / aⁿ Отрицательная степень "переворачивает" дробь. Это самое важное и часто забываемое свойство! Пример: 2⁻³ = 1 / 2³ = 1/8. (3/4)⁻² = (4/3)² = 16/9.

7. Нулевая степень: a⁰ = 1 (для любого a ≠ 0) Любое число в нулевой степени равно 1.

Типичные ошибки:

· Путают свойства умножения и возведения в степень: aᵐ * aⁿ = aᵐ⁺ⁿ, а (aᵐ)ⁿ = aᵐ*ⁿ. Это разные действия!

· Неверно работают с отрицательной степенью: 2⁻³ ≠ -8.

· Неправильно возводят в степень сумму: (a + b)ⁿ ≠ aⁿ + bⁿ. Запомните: это свойство работает только для умножения и деления!

Разбор заданий из ОГЭ

А теперь применим эти свойства на практике. Вот несколько заданий, аналогичных тем, что встречаются в ОГЭ (в основном, в задании №1).

Задание 1. Найдите значение выражения: (7⁹ * 7⁵) / 7¹²

Решение: Применим свойства последовательно.

1. В числителе умножение степеней с одинаковым основанием: 7⁹ * 7⁵ = 7⁹⁺⁵ = 7¹⁴.

2. Теперь имеем дробь: 7¹⁴ / 7¹².

3. Применим свойство деления степеней: 7¹⁴ / 7¹² = 7¹⁴⁻¹² = 7² = 49.

Ответ: 49

Задание 2. Найдите значение выражения: 5⁻⁷ * 5⁹

Решение: Основания одинаковые(5), значит, показатели складываются: 5⁻⁷ * 5⁹ = 5⁻⁷⁺⁹ = 5² = 25.

Ответ: 25

Задание 3. Найдите значение выражения: (2⁻⁵)² / 2⁻¹²

Решение:

1. Возведем степень в степень в числителе: (2⁻⁵)² = 2⁻⁵*² = 2⁻¹⁰.

2. Теперь имеем: 2⁻¹⁰ / 2⁻¹² = 2⁻¹⁰ ⁻ ⁽⁻¹²⁾ = 2⁻¹⁰⁺¹² = 2² = 4. Внимание! При вычитании показателей (-12) стоит в скобках с минусом, поэтому получается плюс.

Ответ: 4

Задание 4. Найдите значение выражения: (3⁴)⁻² * 3¹⁰

Решение:

1. Сначала упростим первую степень: (3⁴)⁻² = 3⁴*⁽⁻²⁾ = 3⁻⁸.

2. Теперь умножим: 3⁻⁸ * 3¹⁰ = 3⁻⁸⁺¹⁰ = 3² = 9.

Ответ: 9

Задание 5. Найдите значение выражения: (7⁵ * 7³) / (7²)⁴

Решение: Действуем по порядку.

1. Числитель: 7⁵ * 7³ = 7⁵⁺³ = 7⁸.

2. Знаменатель: (7²)⁴ = 7²*⁴ = 7⁸.

3. Теперь дробь: 7⁸ / 7⁸ = 7⁸⁻⁸ = 7⁰ = 1.

Ответ: 1

Задание 6. Найдите значение выражения: 4⁻⁷ * (4²)⁴

Решение:

1. Упростим выражение в скобках: (4²)⁴ = 4²*⁴ = 4⁸.

2. Теперь умножим: 4⁻⁷ * 4⁸ = 4⁻⁷⁺⁸ = 4¹ = 4.

Ответ: 4

Задание 7 (Задание с дробью). Найдите значение выражения: (12¹⁶ * 3¹⁴) / 36¹³

Решение: Это задание посложнее.Здесь нужно увидеть, что основания (12, 3, 36) можно представить как степени с одинаковым основанием. Например, 36 = 6², но лучше 12 и 36 представить через основание 6. Но есть более изящный способ:заметить, что 12¹⁶ = (4*3)¹⁶ = 4¹⁶ * 3¹⁶, а 36¹³ = (4*9)¹³ = (4*3²)¹³ = 4¹³ * 3²⁶. А можно сделать так:

1. Представим 36 как 12 * 3? Не совсем. Лучше сделать основание 3.

2. Заметим, что 12 = 3*4, а 36 = 3² * 4.

3. Перепишем все выражение, стараясь получить степени с основанием 3 и 4.

(12¹⁶ * 3¹⁴) / 36¹³ = ( (3*4)¹⁶ * 3¹⁴ ) / ( (3²*4)¹³ ) = (3¹⁶ * 4¹⁶ * 3¹⁴) / (3²*¹³ * 4¹³) = (3¹⁶⁺¹⁴ * 4¹⁶) / (3²⁶ * 4¹³) = (3³⁰ * 4¹⁶) / (3²⁶ * 4¹³)

Теперь разделим степени с основанием 3 и с основанием 4: 3³⁰ / 3²⁶ = 3³⁰⁻²⁶ = 3⁴ 4¹⁶ / 4¹³ = 4¹⁶⁻¹³ = 4³ В итоге получаем:3⁴ * 4³ = 81 * 64 = 5184

Ответ: 5184

Как видите, все задачи решаются по алгоритму:

1. Определить основания. Можно ли их сделать одинаковыми?

2. Применить свойства степеней (главное — не перепутать, какое именно свойство нужно).

3. Выполнить арифметические действия (сложение, вычитание, умножение показателей, возведение в степень).

Главная ваша задача — довести применение этих свойств до автоматизма. Решайте как можно больше подобных примеров, и тогда на экзамене задание №1 вы решите быстро и уверенно, сэкономив время для более сложных задач.