Действия с действительными числами. Алгебра 9 класс.

Опорный конспект: Действия с действительными числами.

Алгебра, 9 класс

1. Множество действительных чисел (ℝ)

Действительные числа — это все числа, которые можно отметить на координатной прямой. Включают в себя:

· Рациональные числа (ℚ): целые, дробные (конечные и бесконечные периодические десятичные дроби).

· Иррациональные числа: бесконечные непериодические десятичные дроби (например, √2, π, e).

Вывод: ℝ = ℚ ∪ И

(И — иррациональные).

2. Основные арифметические действия и их свойства

Действия обладают свойствами (аксиомами), которые позволяют упрощать вычисления.

Свойство Сложение Умножение

Коммутативность (переместительное)

a + b = b + a a * b = b * a

Ассоциативность (сочетательное)

(a + b) + c = a + (b + c)

(a * b) * c = a * (b * c)

Дистрибутивность (распределительное)

Умножения относительно сложения:  a * (b + c) = a*b + a*c

Существование нейтрального элемента

a + 0 = a

a * 1 = a

Существование противоположного элемента

a + (-a) = 0

Существование обратного элемента a * (1/a) = 1 (где a ≠ 0)

3. Сравнение действительных чисел

· Основное правило:

Любое отрицательное число меньше любого положительного.

· На координатной прямой:

Число, расположенное правее, всегда больше.

· Сравнение корней и степеней: Часто требует возведения в степень или вынесения из-под корня для анализа.

Пример: Сравнить 2√3 и 3√2.

1. Возведем оба числа в квадрат: (2√3)² = 4 * 3 = 12

(3√2)² = 9 * 2 = 18.

2. 12 < 18, значит, и 2√3 < 3√2.

4. Действия со степенями

Для любого a > 0, b > 0 и любых действительных x и y справедливо:

Действие Формула

Умножение степеней

aˣ * aʸ = aˣ⁺ʸ

Деление степеней

aˣ / aʸ = aˣ⁻ʸ

Возведение степени в степень

(aˣ)ʸ = aˣ*ʸ

Возведение в степень произведения (a * b)ˣ = aˣ * bˣ

Возведение в степень дроби

(a / b)ˣ = aˣ / bˣ

Степень с отрицательным показателем

a⁻ˣ = 1 / aˣ

Степень с дробным показателем a^(m/n) = ⁿ√(aᵐ)

Важно: 0⁰ — не определено.

5. Действия с корнями

Корень n-ой степени:

a = ⁿ√b, если aⁿ = b.

Действие Формула Ограничения

Основное свойство корня

ⁿ√(aᵐ) = ⁿ√(aᵐ) = a^(m/n) a ≥ 0

Умножение корней

ⁿ√a * ⁿ√b = ⁿ√(a * b) a ≥ 0, b ≥ 0

Деление корней

ⁿ√a / ⁿ√b = ⁿ√(a / b) a ≥ 0, b > 0

Возведение корня в степень

(ⁿ√a)ᵐ = ⁿ√(aᵐ) a ≥ 0

Извлечение корня из корня

ᵐ√(ⁿ√a) = ᵐ*ⁿ√a a ≥ 0

Вынесение множителя из-под знака корня

ⁿ√(aⁿ * b) = a * ⁿ√b. a ≥ 0, b ≥ 0

Внесение множителя под знак корня a * ⁿ√b = ⁿ√(aⁿ * b)

a ≥ 0, b ≥ 0

Важно:

Если n — нечетное, то правила работают и для a < 0.

6. Преобразование выражений с корнями (алгоритмы)

1. Упрощение:

  · Разложить подкоренное выражение на множители.

  · Извлечь корни из точных степеней.

  · Пример: √50 = √(25*2) = 5√2.

2. Освобождение от иррациональности в знаменателе:

  · Умножить числитель и знаменатель на выражение, сопряженное знаменателю.

  · Примеры:

   · 1 / √5 = (1 * √5) / (√5 * √5) = √5 / 5

   · 3 / (2 - √3) = (3 * (2+√3)) / ((2-√3)(2+√3)) = (6 + 3√3) / (4 - 3) = 6 + 3√3

7. Ключевые выводы

1. Множество ℝ непрерывно и "заполняет" всю координатную прямую.

2. Свойства арифметических действий — основа для всех преобразований.

3. Степени и корни тесно связаны через дробные показатели:

ⁿ√a = a^(1/n).

4. Главный навык — умение переходить от корней к степеням и обратно для упрощения выражений.

5. Иррациональность в знаменателе — это "некрасиво", от нее нужно избавляться.