Опорный конспект по теме «Квадратный арифметический корень», составленный для 8 класса. Он структурирован по блокам для лучшего понимания и запоминания.
Опорный конспект по теме: «Квадратный арифметический корень»
1. Определение и основные понятия
· Квадратный корень из числа a — это число, квадрат которого равен a.
· Пример:
√9 = 3, так как 3² = 9.
· Пример:
√0.04 = 0.2, так как (0.2)² = 0.04.
· Арифметический квадратный корень — это неотрицательный квадратный корень из неотрицательного числа a.
· Обозначение: √a
· a — подкоренное выражение (обязательно a ≥ 0).
· Результат: √a ≥ 0.
· Важно! Уравнение x² = a имеет два решения:
· x₁ = √a (арифметический корень)
· x₂ = -√a
· Но запись √a означает только неотрицательное число.
2. Свойства арифметического квадратного корня
1. Корень из квадрата: √(a²) = |a|
· Пример: √(5²) = 5, √((-5)²) = 5.
2. Квадрат корня: (√a)² = a (при a ≥ 0)
· Пример: (√11)² = 11.
3. Корень из произведения:
√(a * b) = √a * √b (при a ≥ 0, b ≥ 0)
· Пример:
√(12) = √(4 * 3) = √4 * √3 = 2√3.
4. Корень из дроби:
√(a / b) = √a / √b (при a ≥ 0, b > 0)
· Пример:
√(9/25) = √9 / √25 = 3/5.
5. Вынесение множителя из-под знака корня:
· √(32) = √(16 * 2) = √16 * √2 = 4√2
· Алгоритм: разложить подкоренное выражение на множители, один из которых — точный квадрат.
6. Внесение множителя под знак корня:
· 5√2 = √(25) * √2 = √(25 * 2) = √50
· b√a = √(b² * a) (при b ≥ 0)
3. Полезные формулы и сравнение
· Формула сокращённого умножения:
· (√a - √b)(√a + √b) = a - b (используется для избавления от иррациональности в знаменателе).
· Сравнение выражений с корнями:
· Чем больше подкоренное выражение, тем больше сам корень: √7 < √11.
· Если перед корнем есть множитель, нужно внести его под корень для сравнения:
· Сравнить 3√5 и 2√10.
· 3√5 = √(9*5) = √45
· 2√10 = √(4*10) = √40
· √45 > √40, значит, 3√5 > 2√10.
4. Частые ошибки ⚠️
· √(a²) ≠ a (верный ответ: |a|)
· √(a + b) ≠ √a + √b (НЕЛЬЗЯ так раскладывать корень из суммы!)
· √(-9) — не существует в действительных числах (подкоренное выражение не может быть отрицательным для арифметического корня).
5. Ключевые термины
· Подкоренное выражение — число или выражение под знаком корня.
· Иррациональное число — число, которое нельзя представить в виде обыкновенной дроби (например, √2, √3, π).
· Рациональное число — число, которое можно представить в виде обыкновенной дроби (например, 4, 0.75, -2/3).
· Точный квадрат — число, из которого извлекается квадратный корень без остатка (например, 1, 4, 9, 16, 25, 36...).
Итог: Квадратный арифметический корень — это операция, обратная возведению в квадрат. Главное помнить, что результат всегда неотрицательный, а подкоренное выражение — тоже. Свойства корней помогают упрощать выражения и решать уравнения.