Опорный конспект по теме "Действительные числа" для 9 класса, составленный в виде структурированных блоков для удобства запоминания.
Опорный конспект: Действительные числа (ℝ)
1. Основная идея
Действительные числа — это все числа, которые можно представить на числовой прямой. Они включают в себя все рациональные и иррациональные числа.
2. Классификация чисел
Вывод: Любое действительное число либо является рациональным, либо иррациональным. Третьего не дано.
3. Рациональные числа (ℚ)
· Определение:
Числа, которые можно представить в виде дроби m/n, где m — целое, n — натуральное.
· Формы записи:
· Обыкновенные дроби: 1/2, -5/3
· Конечные десятичные дроби:
0.25 = 1/4, -3.75 = -15/4
· Бесконечные периодические десятичные дроби: 0.333... = 0.(3) = 1/3, 1.07474... = 1.0(74)
4. Иррациональные числа (I)
· Определение: Числа, которые НЕЛЬЗЯ представить в виде дроби m/n.
· Это бесконечные непериодические десятичные дроби.
· Примеры:
· π ≈ 3.1415926535... (отношение длины окружности к диаметру)
· Корни из натуральных чисел, не являющихся полными квадратами: √2, √3, √5.
· Многие тригонометрические значения: sin(10°), cos(25°)
5. Свойства действий с действительными числами
Для любых a, b, c ∈ ℝ выполняются следующие свойства:
1. Коммутативность (переместительный закон):
· a + b = b + a
· a * b = b * a
2. Ассоциативность (сочетательный закон):
· (a + b) + c = a + (b + c)
· (a * b) * c = a * (b * c)
3. Дистрибутивность (распределительный закон):
· a * (b + c) = a * b + a * c
4. Существование нейтрального элемента:
· a + 0 = a (ноль для сложения)
· a * 1 = a (единица для умножения)
5. Существование противоположного элемента:
a + (-a) = 0
6. Существование обратного элемента:
Для a ≠ 0, a * (1/a) = 1
6. Модуль действительного числа (|a|)
· Определение:
Модуль числа — это расстояние от точки на числовой прямой до начала отсчета (0).
· Аналитическая запись:
· |a| = a, если a ≥ 0
· |a| = -a, если a < 0
· Свойства:
1. |a| ≥ 0
2. |a * b| = |a| * |b|
3. |a / b| = |a| / |b| (при b ≠ 0)
4. |a + b| ≤ |a| + |b| (неравенство треугольника)
5. |a - b| — расстояние между точками a и b на числовой прямой.
7. Числовые промежутки (подмножества ℝ)
Важно уметь записывать и изображать на числовой прямой.
· Интервал:
(a, b) или a < x < b (не включая концы)
· Отрезок:
[a, b] или a ≤ x ≤ b (включая оба конца)
· Полуинтервал:
[a, b) или a ≤ x < b
· Открытый луч:
(a, +∞) или x > a; (-∞, b) или x < b
· Замкнутый луч:
[a, +∞) или x ≥ a; (-∞, b] или x ≤ b
8. Важные выводы и типичные задания
1. Сумма, разность, произведение и частное двух рациональных чисел — число рациональное.
2. Сумма, разность, произведение и частное двух иррациональных чисел — может быть как рациональным, так и иррациональным числом.
· Пример (иррациональное):
√2 + √3
· Пример (рациональное):
√2 + (5 - √2) = 5
3. Задача на доказательство иррациональности:
Классическое доказательство того, что √2 является иррациональным числом (методом от противного).
4. Чтобы сравнить два числа, часто рассматривают их разность:
· Если a - b > 0, то a > b
· Если a - b < 0, то a < b
· Если a - b = 0, то a = b
Этот конспект покрывает все ключевые аспекты темы и служит отличной шпаргалкой для подготовки к контрольным работам и экзаменам.