В 1881 году астроном Саймон Ньюкомб обратил внимание на то, что первые страницы логарифмических таблиц были испачканы по краям сильнее, чем последующие. Из этого следовал вывод: чаще искались логарифмы чисел с маленькими начальными цифрами, чем с большими.
Причина этого заключалась в масштабе. Если рассматривать числа, равномерно распределённые в ограниченном диапазоне, например от 1 до 10⁶, то первые цифры действительно будут распределены равномерно. Но распределение зависит от выбранного верхнего предела: в диапазоне от 1 до 12⁶ равномерность наблюдается уже не в десятичной, а в двенадцатеричной системе счисления.
Можно представить себе инопланетного астронома, использующего систему счисления с основанием 12 и таблицы логарифмов по этому основанию. В этом случае аналогичное наблюдение повторилось бы: чаще использовались бы страницы с маленькими начальными «дуо»-цифрами. То же справедливо и для любого другого основания, например 42.
Все логарифмы пропорциональны, и поэтому числа, равномерно распределённые в логарифмической шкале в одной системе счисления, будут равномерно распределены и в другой. На этом основании формулируется закон Бенфорда: первые цифры чисел, встречающихся на практике, распределены равномерно именно в логарифмическом масштабе. Это верно не только для десятичной системы, но и для любой другой. Более того, если рассматривать первые две цифры как число в системе счисления с основанием 100, то закон Бенфорда будет выполняться и в этом случае.
