Задание №10. Арифметическая прогрессия: Формулы n-го члена и суммы

Приветствуем всех, кто готовится к ОГЭ! Сегодня мы разберем задание №10, посвященное арифметическим прогрессиям. Это одна из тех тем, которая кажется сложной, но на самом деле требует всего лишь знания нескольких формул и внимательности при вычислениях. Давайте разберемся вместе!

Что такое арифметическая прогрессия?

Арифметическая прогрессия — это последовательность чисел, в которой каждое следующее число отличается от предыдущего на одно и то же постоянное число.

Основные понятия:

· Первый член прогрессии (a₁) — самое первое число в последовательности

· Разность прогрессии (d) — то самое число, на которое отличаются соседние члены

· n-й член прогрессии (aₙ) — член прогрессии, стоящий на n-м месте

Формула n-го члена прогрессии

Это самая важная формула, которая позволяет найти любой член прогрессии:

aₙ = a₁ + d(n - 1)

где:

· aₙ — n-й член прогрессии

· a₁ — первый член прогрессии

· d — разность прогрессии

· n — номер члена

Как работает формула:

Чтобы найти любой член прогрессии, нужно к первому члену прибавить разность, умноженную на (номер нужного члена минус 1).

Пример: Найдем 10-й член прогрессии, если a₁ = 3, d = 2 a₁₀= 3 + 2(10 - 1) = 3 + 2×9 = 3 + 18 = 21

Формулы суммы первых n членов

Есть две основные формулы для нахождения суммы:

1. Первая формула суммы:

Sₙ = (a₁ + aₙ) × n / 2

2. Вторая формула суммы:

Sₙ = (2a₁ + d(n - 1)) × n / 2

где:

· Sₙ — сумма первых n членов

· a₁ — первый член прогрессии

· aₙ — n-й член прогрессии

· d — разность прогрессии

· n — количество складываемых членов

Какую формулу использовать?

· Если знаете a₁ и aₙ — используйте первую формулу

· Если знаете a₁ и d — используйте вторую формулу

Пример: Найдем сумму первых 10 членов прогрессии с a₁ = 3, d = 2

Способ 1 (через a₁₀): a₁₀= 3 + 2(10 - 1) = 21 S₁₀= (3 + 21) × 10 / 2 = 24 × 5 = 120

Способ 2 (через d): S₁₀= (2×3 + 2(10 - 1)) × 10 / 2 = (6 + 18) × 5 = 24 × 5 = 120

Типичные ошибки: Будьте внимательны!

1. Неверная подстановка в формулы:

  · Путают n и n-1 в формулах

  · Неправильно определяют разность d

2. Путаница с номером члена:

  · Считают, что aₙ — это член с номером n, а не n-й по счету

  · Неверно определяют n в условии задачи

3. Арифметические ошибки:

  · Неправильно вычисляют значения в скобках

  · Ошибаются в знаках при работе с отрицательными числами

4. Неверное определение разности:

  · d = aₙ - aₙ₋₁ (последующий член минус предыдущий)

  · Для убывающей прогрессии d будет отрицательным

Практика: Разбор заданий типа №10

Задание 1. Найдите сумму первых десяти членов арифметической прогрессии, если a₁ = 5, d = 3.

Решение: Используем вторую формулу суммы: S₁₀= (2×5 + 3(10 - 1)) × 10 / 2 = (10 + 27) × 5 = 37 × 5 = 185

Ответ: 185

Задание 2. Найдите первый член арифметической прогрессии, если a₇ = 21, d = 2.

Решение: Используем формулу n-го члена: a₇= a₁ + d(7 - 1) 21= a₁ + 2×6 21= a₁ + 12 a₁= 21 - 12 = 9

Ответ: 9

Задание 3. Найдите разность арифметической прогрессии, если a₁ = 10, a₁₅ = 38.

Решение: Используем формулу n-го члена: a₁₅= a₁ + d(15 - 1) 38= 10 + 14d 14d= 28 d= 2

Ответ: 2

Задание 4. Сколько членов арифметической прогрессии нужно сложить, чтобы их сумма равнялась 120, если a₁ = 3, d = 3?

Решение: Используем вторую формулу суммы: 120= (2×3 + 3(n - 1)) × n / 2 120= (6 + 3n - 3) × n / 2 120= (3n + 3) × n / 2

Умножаем обе части на 2: 240= (3n + 3)n 240= 3n² + 3n

Делим на 3: 80= n² + n n²+ n - 80 = 0

Решаем квадратное уравнение: D= 1 + 320 = 321 n= (-1 ± √321)/2 √321≈ 17,92 n≈ (-1 + 17,92)/2 ≈ 8,46

Берем целое число:n = 8

Ответ: 8

Задание 5. В арифметической прогрессии a₃ = 7, a₇ = 19. Найдите a₁ и d.

Решение: Запишем оба условия через формулу n-го члена: a₃= a₁ + 2d = 7 a₇= a₁ + 6d = 19

Вычтем из второго уравнения первое: (a₁+ 6d) - (a₁ + 2d) = 19 - 7 4d= 12 d= 3

Подставим в первое уравнение: a₁+ 2×3 = 7 a₁+ 6 = 7 a₁= 1

Ответ: a₁ = 1, d = 3

Задание 6. Найдите сумму первых двадцати членов арифметической прогрессии: 3, 7, 11, 15, ...

Решение: Находим d= 7 - 3 = 4 a₁= 3 Используем вторую формулу суммы: S₂₀= (2×3 + 4(20 - 1)) × 20 / 2 = (6 + 76) × 10 = 82 × 10 = 820

Ответ: 820

Полезные советы для решения задач:

1. Внимательно читайте условие — определяйте, что дано и что нужно найти

2. Выписывайте данные — a₁, d, n, aₙ, Sₙ

3. Выбирайте подходящую формулу в зависимости от данных

4. Проверяйте ответ — подставляйте полученные значения в исходные условия

5. Не забывайте про размерность — особенно в текстовых задачах

Арифметическая прогрессия — это не страшно! Главное — запомнить две основные формулы и понимать, как их применять. Регулярная практика решения задач поможет вам уверенно справляться с заданием №10 на ОГЭ.

Не забывайте:

· Формула n-го члена: aₙ = a₁ + d(n - 1)

· Формулы суммы: Sₙ = (a₁ + aₙ)×n/2 или Sₙ = (2a₁ + d(n-1))×n/2

· Внимательно работайте с отрицательными числами

· Всегда проверяйте полученный ответ

Удачи в подготовке к экзамену! В следующей статье мы разберем геометрические прогрессии.