Приветствуем всех, кто готовится к ОГЭ! Сегодня мы разберем задание №11 — одно из самых практичных и наглядных в экзамене. Здесь вам не нужно строить графики или решать сложные уравнения — нужно всего лишь уметь "читать" информацию с готового графика. Давайте научимся это делать!
Основные понятия: "Словарь" для чтения графиков
1. Область определения функции D(f)
Что это: Все возможные значения аргумента x, при которых функция имеет смысл (т.е. на графике есть соответствующая точка).
Как найти на графике: Посмотрите на ось OX — все значения x, для которых график существует.
Пример:
· На графике функция отмечена от x = -3 до x = 4 → D(f) = [-3; 4]
· Если график бесконечно продолжается влево/вправо → используем обозначение (-∞; +∞)
2. Область значений функции E(f)
Что это: Все возможные значения функции y, которые она принимает.
Как найти на графике: Посмотрите на ось OY — все значения y, которые соответствуют точкам графика.
Пример:
· График не опускается ниже y = -2 и не поднимается выше y = 5 → E(f) = [-2; 5]
3. Промежутки возрастания и убывания
Возрастание: Функция возрастает на промежутке, если при увеличении x увеличивается y (график идет вверх).
Убывание: Функция убывает на промежутке, если при увеличении x уменьшается y (график идет вниз).
Как определить: Следите за движением по графику слева направо:
· Если график поднимается → функция возрастает
· Если график опускается → функция убывает
4. Точки максимума и минимума
Точка максимума: Точка, где функция перестает возрастать и начинает убывать (вершина "холма").
Точка минимума: Точка, где функция перестает убывать и начинает возрастать (низшая точка "впадины").
Как найти: Ищите "поворотные" точки графика.
5. Наибольшее и наименьшее значение функции
Наибольшее значение: Самое большое значение y на всем графике.
Наименьшее значение: Самое маленькое значение y на всем графике.
Важно: Эти значения могут совпадать с точками максимума/минимума, но не всегда!
6. Значение функции в точке
Как найти:
1. Найти на оси OX нужное значение x
2. Подняться/опуститься до графика
3. Посмотреть, какому значению y на оси OY соответствует эта точка
7. Аргумент по значению функции
Как найти:
1. Найти на оси OY нужное значение y
2. Провести горизонтальную линию до пересечения с графиком
3. Посмотреть, каким значениям x соответствуют точки пересечения
Типичные ошибки: Будьте внимательны!
1. Путаница D(f) и E(f):
· D(f) — значения x (по горизонтальной оси)
· E(f) — значения y (по вертикальной оси)
2. Неверное определение промежутков монотонности:
· Всегда двигайтесь по графику слева направо
· Указывайте промежутки именно по оси x
3. Пропуск точек экстремума:
· Точно определяйте, где именно происходит перелом
· Различайте локальные и глобальные экстремумы
4. Невнимательность при чтении координат:
· Смотрите на цену деления осей
· Проверяйте, правильно ли определили координаты
Практика: Разбор заданий типа №11
Задание 1. На рисунке изображен график функции y = f(x). Определите: а)D(f) и E(f) б)Промежутки возрастания и убывания в)Точки максимума и минимума г)Наибольшее и наименьшее значение функции
График: парабола с вершиной в точке (2; 4), пересекающая ось OX в точках (-1; 0) и (5; 0)
Решение: а)D(f) = [-1; 5] (все x от -1 до 5) E(f) = [0; 4] (все y от 0 до 4)
б) Возрастает на: [-1; 2] Убывает на: [2; 5]
в) Точка максимума: x = 2 (y = 4) Точек минимума: x = -1 и x = 5 (y = 0)
г) Наибольшее значение: 4 (в точке x = 2) Наименьшее значение: 0 (в точках x = -1 и x = 5)
Задание 2. По графику функции определите: а)f(3) = ? б)При каких x f(x) = 2?
График: прямая, проходящая через точки (0; 4) и (4; 0)
Решение: а)f(3) = 1 (при x = 3, y = 1) б)f(x) = 2 при x = 2 (точки пересечения горизонтальной линии y = 2 с графиком)
Задание 3. Определите по графику количество точек, в которых производная функции равна нулю.
График: кубическая парабола с двумя "волнами"
Решение: Производная равна нулю в точках экстремума. На графике видно 2 такие точки → ответ: 2
Задание 4. На рисунке изображен график производной функции. Определите промежутки возрастания и убывания исходной функции.
График: прямая, пересекающая ось OX в точке x = 3
Решение:
· Исходная функция возрастает, где производная > 0 (правее x = 3)
· Исходная функция убывает, где производная < 0 (левее x = 3)
Задание 5. По графику определите, сколько решений имеет уравнение f(x) = a при различных значениях параметра a.
График: парабола с вершиной в (0; -4)
Решение:
· При a < -4: нет решений
· При a = -4: одно решение
· При a > -4: два решения
Алгоритм решения задания №11
1. Внимательно рассмотрите график: определите тип функции, отметьте характерные точки.
2. Прочитайте вопрос: точно поймите, что нужно найти.
3. Поэтапно найдите требуемые характеристики.
4. Проверьте ответ: убедитесь, что правильно определили координаты и промежутки.
Задание №11 — это прекрасная возможность набрать балл без сложных вычислений. Главное — внимательно "читать" график и понимать, какая характеристика функции как выглядит на графике.
Полезные советы:
· Тренируйтесь на различных графиках
· Всегда проверяйте цену деления на осях
· Различайте точки разрыва и точки излома
· Помните, что ответом обычно является целое число или конечная десятичная дробь
Удачи в освоении этого полезного навыка! Чтение графиков пригодится не только на ОГЭ, но и в дальнейшем изучении математики.