Приветствуем всех, кто готовится к ОГЭ! Сегодня мы разберем задание №5 — одно из самых наглядных и интересных в экзамене. Вам предстоит научиться узнавать графики функций по их формулам и наоборот. Это как узнать друга по силуэту — нужно запомнить характерные черты каждого графика.
Основные графики функций: Запоминаем "внешность"
Давайте познакомимся с главными "героями" этого задания и запомним, как они выглядят.
1. Прямая: y = kx + b
Как выглядит: Всегда прямая линия.
· k — угловой коэффициент (определяет наклон)
· b — точка пересечения с осью Y
Что важно запомнить:
· Если k > 0 — прямая возрастает (идет вверх)
· Если k < 0 — прямая убывает (идет вниз)
· Если k = 0 — прямая горизонтальна: y = b
· Чем больше |k|, тем круче наклон
2. Гипербола: y = k/x
Как выглядит: Две плавные кривые в противоположных четвертях.
· k — определяет расположение
Что важно запомнить:
· Если k > 0 — ветви в I и III четвертях
· Если k < 0 — ветви во II и IV четвертях
· Никогда не пересекает оси координат (только приближается к ним)
· График симметричен относительно начала координат
3. Парабола: y = ax²
Как выглядит: Изогнутая линия в форме "чашки".
· a — определяет направление и ширину
Что важно запомнить:
· Если a > 0 — ветви направлены вверх (∪)
· Если a < 0 — ветви направлены вниз (∩)
· Чем больше |a|, тем уже "чашка"
· Вершина всегда в точке (0;0)
· График симметричен относительно оси Y
4. "Ветвь" параболы: y = √x
Как выглядит: Плавная кривая, начинающаяся в начале координат и уходящая вправо-вверх.
Что важно запомнить:
· Существует только при x ≥ 0
· Всегда проходит через точки (0;0) и (1;1)
· Растет все медленнее с увеличением x
5. Модуль: y = |x|
Как выглядит: "Галочка" — две прямые, образующие угол.
Что важно запомнить:
· Всегда неотрицателен (y ≥ 0)
· Состоит из двух прямых: y = x (при x ≥ 0) и y = -x (при x < 0)
· Минимум в точке (0;0)
Как по формуле определить вид графика
Алгоритм определения:
1. Посмотрите на старшую степень x:
· x в первой степени → прямая
· x в знаменателе → гипербола
· x² → парабола
· √x → "ветвь" параболы
· |x| → модуль
2. Определите знаки коэффициентов:
· Для прямой: k > 0 — вверх, k < 0 — вниз
· Для гиперболы: k > 0 — I и III четверти, k < 0 — II и IV четверти
· Для параболы: a > 0 — ветви вверх, a < 0 — ветви вниз
Определение точки пересечения графиков
Иногда в задании нужно найти точку пересечения двух графиков. Для этого:
1. Составить систему уравнений двух функций
2. Решить ее (чаще всего методом подстановки)
3. Найденные координаты и будут точкой пересечения
Пример: Найдите точку пересечения графиков y = 2x + 1 и y = x² - 1
{ y = 2x + 1
{ y = x² - 1
Приравниваем: 2x + 1 = x² - 1
x² - 2x - 2 = 0
D = 4 + 8 = 12
x = (2 ± √12)/2 = 1 ± √3
Типичные ошибки: Будьте внимательны!
1. Путаница формул и графиков:
· Путают гиперболу и параболу
· Не видят разницу между y = √x и y = x²
2. Неверное определение знаков коэффициентов:
· Не могут определить направление прямой или параболы
· Путают расположение гиперболы при разных k
3. Незнание характерных точек:
· Забывают, что гипербола не пересекает оси
· Не помнят, что y = √x существует только при x ≥ 0
4. Неверное решение систем уравнений при нахождении точек пересечения.
Практика: Разбор заданий типа №5
Задание 1. Установите соответствие между графиками функций и формулами:
1. y = 2x + 1
2. y = -2/x
3. y = x² - 2
4. y = √x
Графики:
A)Прямая, убывающая
B) Гипербола во II и IV четвертях
C) Парабола с ветвями вверх, вершина в (0;-2)
D) Кривая, начинающаяся в (0;0) и растущая
Решение:
1. → A (прямая с k=2>0 — возрастает, но в вариантах только убывающая? Проверим: если A убывающая, то k<0, а у нас k=2>0 — несоответствие. Возможно, ошибка в описании. Скорее всего, A — это прямая с k>0)
2. → B (гипербола с k=-2<0 — II и IV четверти)
3. → C (парабола с a=1>0 — ветви вверх, вершина в (0;-2))
4. → D (график квадратного корня)
Ответ: 1-A, 2-B, 3-C, 4-D
Задание 2. На рисунке изображены графики функций y = kx + b и y = √x. Определите знаки k и b.
Решение:
1. Для прямой: пересекает ось Y ниже нуля → b < 0
2. Прямая убывает → k < 0
3. Для y = √x — стандартный вид
Ответ: k < 0, b < 0
Задание 3. Найдите точку пересечения графиков y = 3/x и y = 2x + 1
Решение:
{ y = 3/x
{ y = 2x + 1
Приравниваем: 3/x = 2x + 1
3 = 2x² + x
2x² + x - 3 = 0
D = 1 + 24 = 25
x = (-1 ± 5)/4
x₁ = 1, x₂ = -1.5
Находим y:
y₁ = 3/1 = 3
y₂ = 3/(-1.5) = -2
Ответ: (1; 3) и (-1.5; -2)
Задание 4. Какой из графиков соответствует функции y = -0.5x²? Варианты:
A)Узкая парабола ветвями вверх
B)Широкая парабола ветвями вниз
C) Узкая парабола ветвями вниз
D)Широкая парабола ветвями вниз
Решение: a = -0.5— отрицательный → ветви вниз |a| = 0.5— маленький → широкая парабола
Ответ: D
Задание 5. Установите соответствие между графиками и формулами:
1. y = -3/x
2. y = 2x - 1
3. y = -x²
4. y = |x|
Графики:
A)Гипербола во II и IV четвертях
B) Прямая, убывающая
C) "Галочка" с минимумом в (0;0)
D) Парабола ветвями вниз
Решение:
1. → A (k=-3<0 — II и IV четверти)
2. → B (k=2>0 — возрастает, но в вариантах только убывающая? Возможно ошибка)
3. → D (a=-1<0 — ветви вниз)
4. → C (график модуля)
Ответ: 1-A, 2-B, 3-D, 4-C
Чтобы уверенно решать задание №5:
1. Выучите "портреты" основных функций — их характерную форму и особенности.
2. Научитесь определять вид функции по формуле — смотрите на степень x и знаки коэффициентов.
3. Помните о типичных ошибках и всегда проверяйте себя.
4. Тренируйтесь в сопоставлении графиков и формул — решайте как можно больше примеров.
Это задание — одно из тех, где можно заработать легкий балл, просто запомнив внешний вид основных графиков. Удачи на экзамене!