Приветствуем всех, кто готовится к ОГЭ! Сегодня мы разберем задание №4 — квадратные неравенства. Это задание выглядит сложнее предыдущих, но на самом деле имеет четкий алгоритм решения. Главный инструмент, который нам поможет — метод интервалов. Давайте разберемся, как им пользоваться.
Стандартный вид квадратного неравенства
Квадратное неравенство — это неравенство, которое можно привести к виду:
ax² + bx + c > 0 (или через знаки <, ≥, ≤)
где a, b, c — числа, причем a ≠ 0.
Алгоритм решения квадратного неравенства
Решение состоит из трех ключевых шагов: нахождение корней, эскиз параболы, определение интервалов.
1. Находим корни квадратного уравнения
Первым делом решаем соответствующее квадратное уравнение: ax² + bx + c = 0
Через дискриминант находим корни:
· Если D > 0 — два корня x₁ и x₂
· Если D = 0 — один корень x₀
· Если D < 0 — действительных корней нет
Найденные корни отметьте на числовой прямой — они разделят ее на интервалы.
2. Определяем направление ветвей параболы
Теперь смотрим на коэффициент a:
· Если a > 0 — ветви параболы направлены вверх ↗
· Если a < 0 — ветви параболы направлены вниз ↘
Это важно для определения знаков на интервалах.
3. Определяем знаки на интервалах и записываем ответ
Чертим числовую прямую, отмечаем на ней корни. Эти корни разбивают прямую на интервалы. Определяем знак выражения на каждом интервале одним из способов:
· Подставив любое число из этого интервала в выражение
· Используя правило чередования знаков
Выбираем интервалы, которые удовлетворяют нашему неравенству.
Метод интервалов (наглядная инструкция)
1. Приравниваем к нулю: Находим корни уравнения ax² + bx + c = 0
2. Отмечаем корни на числовой прямой:
· Если неравенство строгое (> или <) — точки выколотые (○)
· Если неравенство нестрогое (≥ или ≤) — точки закрашенные (●)
3. Определяем направление ветвей параболы (смотрим на знак a)
4. Расставляем знаки на интервалах:
· Если ветви вверх (a > 0) — справа налево: +, -, +
· Если ветви вниз (a < 0) — справа налево: -, +, -
5. Выбираем нужные интервалы:
· Для ax² + bx + c > 0 — интервалы со знаком +
· Для ax² + bx + c < 0 — интервалы со знаком -
Запись ответа в виде промежутка
Ответ записываем с помощью:
· Круглых скобок ( ) — для выколотых точек (когда знак > или <)
· Квадратных скобок [ ] — для закрашенных точек (когда знак ≥ или ≤)
· Знака объединения ∪ — если решение состоит из нескольких промежутков
· Бесконечности ∞ — всегда с круглой скобкой
Типичные ошибки: Будьте внимательны!
1. Неверное направление параболы. Самая частая ошибка — забыть поменять направление ветвей при отрицательном коэффициенте a.
· Запомните: знак a определяет направление ветвей.
2. Путаница со знаками на интервалах. Неправильное чередование знаков.
· Правило: при a > 0 знаки справа налево: +, -, +
· При a < 0 знаки справа налево: -, +, -
3. Включение/невключение концов.
· Для строгих неравенств (>, <) — концы не включаются (круглые скобки)
· Для нестрогих неравенств (≥, ≤) — концы включаются (квадратные скобки)
4. Потеря корней при решении квадратного уравнения.
5. Неприведение к стандартному виду. Неравенство должно иметь вид ax² + bx + c > 0 (все слагаемые перенесены в одну сторону).
Практика: Разбор заданий типа №4
Задание 1. Решите неравенство: x² - 5x + 6 > 0
Решение:
1. Решаем уравнение: x² - 5x + 6 = 0 D = 25 - 24 = 1, x₁ = 2, x₂ = 3
2. Отмечаем точки на числовой прямой (выколотые, так как неравенство строгое): ○---2---○---3---→
3. a = 1 > 0 — ветви вверх ↗
4. Расставляем знаки: + (2) - (3) +
5. Выбираем интервалы со знаком +: (-∞; 2) ∪ (3; +∞)
Ответ: x ∈ (-∞; 2) ∪ (3; +∞)
Задание 2. Решите неравенство: -x² + 4x - 3 ≤ 0
Решение:
1. Умножим на -1 (не забываем поменять знак неравенства!): x² - 4x + 3 ≥ 0
2. Решаем уравнение: x² - 4x + 3 = 0 x₁ = 1, x₂ = 3
3. Отмечаем точки на числовой прямой (закрашенные, так как неравенство нестрогое):
●---1---●---3---→
4. a = 1 > 0 — ветви вверх ↗
5. Расставляем знаки: + (1) - (3) +
6. Выбираем интервалы со знаком +: (-∞; 1] ∪ [3; +∞)
Ответ: x ∈ (-∞; 1] ∪ [3; +∞)
Задание 3. Решите неравенство: x² - 6x + 9 > 0
Решение:
1. Решаем уравнение: x² - 6x + 9 = 0 D = 36 - 36 = 0, x₀ = 3 (один корень)
2. Отмечаем точку на числовой прямой (выколотая, так как неравенство строгое):
○---3---→
3. a = 1 > 0 — ветви вверх ↗
4. Парабола касается оси в точке 3 и уходит вверх
5. Выражение > 0 везде, кроме точки 3
Ответ: x ∈ (-∞; 3) ∪ (3; +∞)
Задание 4. Решите неравенство: 2x² + 3x - 2 < 0
Решение:
1. Решаем уравнение: 2x² + 3x - 2 = 0 D = 9 + 16 = 25, x₁ = -2, x₂ = 0.5
2. Отмечаем точки на числовой прямой (выколотые):
○--(-2)---○---0.5---→
3. a = 2 > 0 — ветви вверх ↗
4. Расставляем знаки: + (-2) - (0.5) +
5. Выбираем интервал со знаком -: (-2; 0.5)
Ответ: x ∈ (-2; 0.5)
Задание 5. Решите неравенство: x² + 2x + 5 > 0
Решение:
1. Решаем уравнение: x² + 2x + 5 = 0 D = 4 - 20 = -16 < 0 — действительных корней нет
2. a = 1 > 0 — ветви вверх ↗
3. Парабола всегда находится выше оси OX
4. Неравенство верно при всех x
Ответ: x ∈ (-∞; +∞)
Задание 6. Решите неравенство: -3x² + 12x - 12 ≥ 0
Решение:
1. Умножим на -1 (поменяв знак неравенства): 3x² - 12x + 12 ≤ 0
2. Разделим на 3: x² - 4x + 4 ≤ 0
3. Решаем уравнение: (x - 2)² = 0, x = 2
4. Квадрат выражения всегда ≥ 0, равен 0 только при x = 2
5. Нам нужно ≤ 0 — это только точка x = 2
Ответ: x = 2
Чтобы уверенно решать задание №4:
1. Всегда начинайте с приведения неравенства к стандартному виду.
2. Аккуратно находите корни соответствующего квадратного уравнения.
3. Помните о направлении ветвей параболы (знак a!).
4. Правильно расставляйте знаки на интервалах.
5. Внимательно включайте/не включайте концы интервалов в ответ.
Метод интервалов — ваш надежный помощник не только для квадратных неравенств, но и для многих других типов заданий. Тренируйтесь, и четвертое задание ОГЭ будет даваться вам легко!