Приветствую, дорогие читатели! Сегодня мы разговариваем про линейную алгебру, а точнее про базисы. На примере одной задачи из сборника Кострикина мы научимся находить базис системы векторов.
В первую очередь вспомним, что базис - это максимально линейно-независимая система векторов. Это означает, что если мы составим линейную комбинацию (сумма векторов с некоторыми коэффициентами перед ними) и прировняем ее к нулевому вектору, то все коэффициенты будут равны 0 (см. фото ниже).
А так как речь идет про базис, то такая линейная комбинация с нулевыми коэффициентами должна быть максимальной! Другими словами, в нее должно входить максимально возможное число векторов из некоторой системы.
В нашей задаче мы работаем с системой векторов: a1, a2, a3, a4. По условию нам даны координаты всех 4 векторов. Процесс нахождения базиса достаточно алгоритмичен. В первую, очередь запишем координаты всех векторов в столбцы матрицы (не в строки!!).
Записываем координаты в столбцы, потому что коэффициенты линейной комбинации при умножении на вектор умножаются на каждую координату в отдельности. А затем мы приравниваем каждую новую координату к нулю.
Теперь записав координаты векторов в виде матрицы, мы можем воспользоваться элементарными преобразованиями и решить эту систему - привести ее к ступенчатому виду. Для этого я буду использовать метод Гаусса.
Над стрелочкой между матрицами написаны операции, которые мы проводим над строками (домножаем на скаляры и вычитаем строки между собой). После преобразования мы видим, что все строчки кроме первой линейно-зависимые. Из этих 3 линейно-зависимых строк мы оставляем только одну (например, 0 -1 -2 -3), остальные мы способны вычеркнуть.
В конечном итоге у нас остается 2 линейно-независимых вектора. Следовательно, ранг матрицы равен 2. А ранг матрицы равен числу векторов в базисе. Значит базис в задаче состоит из 2 векторов. Причем a1 обязательно содержится в базисе, а второй вектор может быть любым - a2, a3 или a4 (так как они все линейно-зависимые)