Целостность и скрытый порядок 4.СКРЫТЫЕ ПЕРЕМЕННЫЕ В КВАНТОВОЙ ТЕОРИИ

Привожу перевод ключевой главы книги патриарха теории скрытых параметров.

Глава 4. СКРЫТЫЕ ПЕРЕМЕННЫЕ В КВАНТОВОЙ ТЕОРИИ

Считалось, что вопрос о том, существуют ли скрытые переменные, лежащие
в основе квантовой теории, уже давно решен однозначно отрицательно. В результате большинство современных физиков больше не считают этот вопрос актуальным для физической теории. Однако за последние несколько лет ряд
физиков, включая автора, разработали новый подход
к этой проблеме, который поднимает вопрос о скрытых переменных
снова. Моя цель здесь - кратко рассмотреть основные особенности того, что было достигнуто к настоящему времени в рамках этого нового подхода, и, следовательно, указать некоторые общие направления, по
которым в настоящее время разрабатываются теории, включающие скрытые переменные.

В ходе этой главы мы покажем ряд причин, по которым теории, включающие скрытые переменные, обещают быть важными для решения новых физических проблем, особенно тех, которые возникают в области очень коротких расстояний (порядка 10^{-13} см или меньше) и очень высоких энергий (порядка порядка 10^9 эВ или более). Наконец, мы ответим на основные возражения, которые были выдвинуты против понятия скрытых переменных, т.е.
на трудности, связанные с отношениями неопределенности Гейзенберга, квантованием действия, парадоксом Эйнштейна, Розена и Подольского, а также аргументы фон Неймана против возможности существования таких переменных.

1 ОСНОВНЫЕ ПОЛОЖЕНИЯ КВАНТОВОЙ ТЕОРИИ

Чтобы понять, как развивалась теория скрытых переменных, прежде всего, необходимо четко представлять себе основные особенности квантовой теории. Хотя существует несколько альтернативных формулировок этой теории (благодаря Гейзенбергу, Шредингеру, Дираку, фон Нейману и Бору), которые
несколько различаются в интерпретации, все они имеют следующие общие основные допущения:

1 Фундаментальные законы квантовой теории должны быть
выражены с помощью волновой функции (как правило, многомерной), которая удовлетворяет линейному уравнению (так что решения могут быть
линейно наложены друг на друга).

2 Все физические результаты должны быть вычислены с помощью
определенных "наблюдаемых величин", представленных эрмитовыми операторами, которые линейно воздействуют на волновую функцию.

3. Любая конкретная наблюдаемая величина является определенной (четко очерченной) только тогда, когда волновая функция является собственной функцией соответствующего оператора.

4 Если волновая функция не является собственной функцией этого
оператора, то результат измерения соответствующей наблюдаемой величины не может быть определен заранее. Результаты серии измерений в ансамбле систем
, представленных одной и той же волновой функцией, будут случайным образом (lawlessly) изменяться от одного случая к другому в зависимости от различных
возможностей.

5 Если волновая функция задана формулой

где ψ_n - собственная функция рассматриваемого оператора,
соответствующая n - му собственному значению, вероятность получения n - го собственного значения в большом наборе измерений будет
определяться как P_n = | C_n |^2.

6 Из-за неперестановочности многих операторов (таких
как p и x), которые соответствуют переменным, которые должны быть определены совместно в классической механике, следует, что не
может существовать волновых функций, которые были бы одновременными собственными функциями всех операторов, значимых для данной физической задачи. Это означает, что не все физически значимые наблюдаемые величины могут быть определены вместе, и, что еще более важно, те, которые не определены, будут произвольно колебаться (случайным образом) в
серии измерений ансамбля, представленного одной и той же волновой функцией.

2 ПОДРАЗУМЕВАЕМЫЕ ОГРАНИЧЕНИЯ ДЕТЕРМИНИЗМА СОГЛАСНО КВАНТОВОЙ ТЕОРИИ

Из особенностей, описанных в предыдущем разделе, сразу видно, что существует определенное ограничение на степень, в которой результаты отдельных измерений определяются в соответствии с квантовой теорией. Это ограничение применимо к любым измерениям, которые в значительной степени зависят от квантовых свойств материи. Таким образом, в ансамбле радиоактивных ядер распад каждого ядра может быть обнаружен по отдельности щелчком счетчика Гейгера. Более детальное изучение квантовой механики задачи показывает, что оператор, соответствующий измерению продукта распада, не коммутирует с оператором, собственные функции которого представляют собой нерасщепленное ядро.
Таким образом, из этого следует, что если мы начнем с ансамбля нерасщепленных ядер, представленных одной и той же волновой функцией, то каждое отдельное ядро будет распадаться в непредсказуемое время. Это время
будет изменяться от одного ядра к другому произвольным образом, в то время как только средняя доля, которая затухает за данный интервал времени, может
быть приблизительно предсказана на основе волновой функции. Когда такие
предсказания сравниваются с экспериментом, действительно обнаруживается, что существует случайное распределение щелчков счетчика Гейгера вместе с регулярным средним распределением, которое подчиняется законам вероятности, подразумеваемым квантовой теорией.

3. ОБ ИНТЕРПРЕТАЦИИ ИНДЕТЕРМИНИЗМА В КВАНТОВОЙ ТЕОРИИ

Из того факта, что квантовая теория согласуется с экспериментом в столь
широкой области (включая проблему, рассмотренную в предыдущем
разделе как частный, но типичный случай), очевидно, что
недетерминированные особенности квантовой механики в некотором роде
являются отражением реального поведения материи в атомной и
ядерной областях, но здесь возникает вопрос о том, как именно
интерпретировать этот индетерминизм.

Чтобы прояснить смысл этого вопроса, мы рассмотрим
некоторые аналогичные проблемы. Таким образом, хорошо известно, что страховые компании действуют на основе определенных статистических законов, которые с высокой степенью приближения предсказывают среднее число людей в данной категории по возрасту, росту, весу и т.д., которые умрут от
определенного заболевания в течение определенного периода времени. Они могут это сделать даже несмотря на то, что они не могут предсказать точное время смерти отдельного страхователя, и даже несмотря на то, что такие случаи смерти распределяются случайным образом, не имея законного отношения к данным, которые может собирать страховая компания. Тем не менее, тот факт, что статистические законы такого рода являются
это не препятствует одновременному действию отдельных законов, которые более подробно определяют точные условия смерти каждого страхователя (например, человек может переходить дорогу в определенное время и попасть под машину, он может подвергнуться воздействию болезнетворных микробов, находясь в ослабленном состоянии, и т.д.), поскольку, когда один и тот же результат (смерть) может быть вызван большим количеством по существу независимых причин, нет причин, по которым эти причины не могли бы быть распределены именно таким образом, чтобы привести к статистическим закономерностям в большой совокупности.

Важность таких соображений совершенно очевидна. Таким образом,
в области медицинских исследований действие статистических законов
никогда не рассматривается как причина, препятствующая поиску более подробных индивидуальных законов (например, относительно того, что заставляет данного человека умирать в данный момент времени и т.д.).

Аналогично, в области физики, когда было обнаружено, что
споры и частицы дыма движутся случайным образом, подчиняясь
определенным статистическим законам (броуновское движение), предполагалось, что это происходит из-за столкновений мириадов молекул, подчиняющихся более глубоким индивидуальным законам. В то время считалось, что статистические законы согласуются с возможностью существования более глубоких индивидуальных законов, поскольку, как
и в случае со страховой статистикой, общее поведение
отдельной броуновской частицы будет определяться очень
большим количеством по существу независимых факторов. Или, проще говоря,
случай в более общем плане: противоправное поведение отдельных лиц в контексте данного статистического закона, в целом, согласуется с понятием более подробных индивидуальных законов, применяемых в более широком контексте

В свете вышеприведенного обсуждения кажется очевидным, что, по крайней
мере, на первый взгляд, мы должны быть свободны в рассмотрении
гипотезы о том, что результаты отдельных квантово-механических измерений определяются множеством факторов нового типа,
вне контекста того, что может входить в квантовую теорию.
Эти факторы были бы математически представлены дополнительным
набором переменных, описывающих состояния новых видов сущностей, существующих на более глубоком, субквантово-механическом уровне и подчиняющихся качественно новым типам индивидуальных законов. Такие сущности и их тогда законы представляли бы собой новую сторону природы, которая в настоящее время является ‘скрытой’. Но затем атомы, которые впервые были постулированы для объяснения броуновского движения и крупномасштабных закономерностей, также первоначально были "скрыты" подобным образом и были раскрыты в деталях только позже с помощью новых видов экспериментов (например, счетчиков Гейгера, пузырьковых камер и т.д.), которые были чувствительны к свойствам отдельных атомов. Аналогично, можно предположить, что переменными, описывающими субквантово-механические объекты, будут более подробно это будет раскрыто, когда мы обнаружим еще другие виды экспериментов, которые могут так же отличаться от экспериментов текущего типа, как последние отличаются от экспериментов, способных выявить законы крупномасштабного уровня (например, измерения
температуры, давления и т.д.).

Здесь следует отметить, что, как хорошо известно, большинство современных физиков–теоретиков отвергают любые предположения, подобные описанным выше. Они делают это, главным образом, на основе вывода о том, что статистические законы квантовой теории несовместимы с возможностью существования более глубоких индивидуальных законов. Другими словами, в то время как в целом они могли бы допуская, что некоторые виды статистических законов согласуются с предположением о других индивидуальных законах, действующих в более широком контексте, они полагают, что квантовая механика никогда не могла бы удовлетворительно рассматриваться как закон такого рода. Таким образом, статистические особенности
квантовой теории рассматриваются как представляющие собой своего рода
непреодолимую случайность отдельных явлений в квантовой области. Все отдельные законы (например, классическая механика)
тогда рассматриваются как предельные случаи вероятностных законов
квантовой теории, приблизительно справедливые для систем, содержащих большое количество молекул.

4. АРГУМЕНТЫ В ПОЛЬЗУ ИНТЕРПРЕТАЦИИ КВАНТОВО-МЕХАНИЧЕСКОГО ИНДЕТЕРМИНИЗМА КАК НЕПРЕОДОЛИМОЙ СЛУЧАЙНОСТИ

Теперь мы рассмотрим основные аргументы, на которых основан вывод о том, что квантово-механический индетерминизм представляет собой своего рода непреодолимую случайность (irreducible lawlessness).

4.1 Принцип неопределенности Гейзенберга

Мы начнем с обсуждения принципа неопределенности Гейзенберга. Он показал, что даже если предположить, что физически значимые переменные действительно существуют с четко определенными значениями
(как того требует классическая механика), то мы никогда
не сможем измерить их все одновременно, поскольку взаимодействие между
наблюдательным аппаратом и тем, что наблюдается, всегда предполагает
обмен одним или несколькими неделимыми и неконтролируемо колеблющимися квантами. Например, если кто-то попытается измерить координату, x и связанный с ним импульс частицы p, то частица возмущается таким образом, что максимальная точность одновременного определения обоих параметров определяется хорошо известным соотношением ∆p∆x <h .В результате, даже если бы существовали более глубокие
субквантовые законы, определяющие точное поведение отдельного электрона, у нас не было бы возможности проверить с помощью каких-либо
мыслимых измерений, что эти законы действительно существуют.
операционный. Поэтому делается вывод, что понятие субквантового уровня было бы "метафизическим" или лишенным реального экспериментального содержания. Гейзенберг утверждал, что желательно
формулировать физические законы в терминах минимально возможного числа таких понятий, поскольку они ничего не добавляют к физическим предсказаниям теории, в то время как усложняют выражение несоответствующим образом.

4.2 Аргументы фон Неймана против скрытых переменных

Следующий из основных аргументов против скрытых переменных,
то есть аргумент фон Неймана, теперь будет представлен в упрощенном
виде.

Из постулатов (4), (5) и (6) раздела 1 следует, что никакая волновая функция не может описать состояние, в котором все физически
значимые величины являются "бездисперсионными" (т.е. четко определенными
и свободными от статистических флуктуаций). Таким образом, если данная переменная (скажем, p) достаточно четко определена, то сопряженная переменная (x) должна колебаться в широком диапазоне. Давайте предположим, что, когда система находится в таком состоянии, на более глубоком уровне существуют скрытые переменные
, которые определяют, как именно будет колебаться x в каждом конкретном случае. пример. Конечно, у нас не было бы необходимости определять значения этих скрытых переменных, и в статистическом ансамбле
измерений x мы все равно получили бы те же флуктуации
, которые предсказываются квантовой теорией. Тем не менее, каждый случай
, который должен был дать определенное значение x, принадлежал бы
определенному набору значений скрытых переменных, и в результате
ансамбль можно было бы рассматривать как состоящий из соответствующего набора отдельных и четко определенных поднаборов.

Фон Нейман, однако, утверждал, что такой набор отдельных
и четко определенных субкомплексов не согласуется с некоторыми другими существенными характеристиками квантовой теории, т.е. с теми,
которые связаны с интерференцией между частями волновой
функции, соответствующими различным значениям x. Чтобы продемонстрировать эту интерференцию, мы могли бы воздержаться от измерения x, но вместо этого мы проводим третий вид измерений, который определяет наблюдаемую величину, чувствительную к форме волновой функции в обширной области пространства. Например, мы могли бы пропустить частицы через решетку и измерить дифракционную картину.
(Фон Нейман на самом деле обсуждал случай наблюдаемой
величины, которая соответствует сумме двух или более некоммутирующих
операторов; но очевидно, что в эксперименте с интерференцией
мы физически реализуем пример именно такой наблюдаемой величины,
поскольку конечный результат определяет некоторые сложные комбинации
операторов положения и импульса для наблюдаемой системы.)

Хорошо известно, что в таком эксперименте все равно получается статистическая интерференционная картина, даже если мы пропускаем частицы
через аппарат с интервалами, настолько удаленными друг от друга, что каждая частица, по существу, поступает отдельно и независимо от всех остальных.
Но если бы весь ансамбль таких частиц был разделен на подгруппы, каждая из которых соответствовала бы электрону, ударяющемуся о
решетку при определенном значении x, то статистическое поведение
каждой подгруппы было бы представлено состоянием, соответствующим дельта-функции рассматриваемой точки. В результате, в
в одном субкомплексе не может быть интерференции, которая
отражала бы вклады от разных частей решетки.
Поскольку электроны поступают отдельно и независимо, интерференция между субкомплексами, соответствующими разным позициям, также невозможна. Таким образом, мы показываем, что понятие скрытых переменных несовместимо с интерференционными свойствами материи, которые являются как экспериментально наблюдаемыми, так и необходимыми следствиями квантовой теории

Фон Нейман обобщил приведенный выше аргумент и уточнил его, но пришел, по сути, к тому же результату. Другими словами, он пришел к выводу, что нельзя последовательно предполагать, что ничто (даже гипотетические скрытые
переменные) не может заранее определять результаты отдельного измерения более подробно, чем это возможно в соответствии с квантовой теорией.

4.3 Парадокс Эйнштейна, Розена и Подольского

Третий важный аргумент против скрытых переменных тесно
связан с анализом парадокса Эйнштейна и др. Этот
парадокс возник из-за точки зрения, первоначально довольно распространенной, согласно которой принцип неопределенности является ничем иным, как выражением того факта, что в каждом процессе измерения присутствует минимальное непредсказуемое и неконтролируемое возмущение. Затем Эйнштейн, Розен и Подольский предложили гипотетический
эксперимент, из которого можно было сделать вывод о несостоятельности приведенной выше интерпретации принципа Гейзенберга.

Мы приведем здесь упрощенную форму этого эксперимента.
Рассмотрим молекулу с нулевым полным спином, состоящую из двух атомов
со спином, равным h/2. Пусть эта молекула будет расщеплена методом, не
влияющим на спин ни одного из атомов. Тогда общий спин остается равным нулю, даже когда атомы разлетаются в стороны и перестают
заметно взаимодействовать.

Теперь, если измерить какую-либо составляющую спина одного из атомов (скажем, A), то, поскольку общий спин равен нулю, мы можем сразу же заключить, что эта составляющая спина другого атома
(B) прямо противоположна. Таким образом, измеряя любую составляющую
спина атома A, мы можем получить эту составляющую спина
атома B, никоим образом не взаимодействуя с атомом B.

Если бы это была классическая система, то никаких трудностей с интерпретацией не возникло бы, потому что каждая составляющая спина каждого атома всегда четко определена и всегда остается противоположной по значению той же составляющей спина противоположного атома. Таким образом, два спина коррелируют, и это позволяет нам узнать спин
атома B, когда мы измеряем спин атома A.

Однако в квантовой теории мы имеем дополнительный факт, что только одна составляющая спина может быть четко определена в один и тот же момент времени, в то время как две другие подвержены случайным флуктуациям. Если мы хотим интерпретировать флуктуации как результат возмущений, вызванных измерительной аппаратурой, мы можем сделать
это относится к атому А, который непосредственно наблюдается, но как атом В, который никоим образом не взаимодействует ни с атомом А, ни с прибором наблюдения, "знает", в каком направлении он должен позволить своему спину произвольно колебаться? Проблема становится еще более сложной, если учесть, что, пока атомы все еще находятся в полете, мы
можем произвольно переориентировать наблюдательный прибор и, таким образом, измерить спин атома А в каком-либо другом направлении. Это изменение каким-то образом немедленно передается атому В,
который реагирует соответствующим образом. Таким образом, мы приходим к противоречию с одним один из основных принципов теории относительности, который гласит, что никакие физические воздействия не могут распространяться быстрее света.

Описанное выше поведение не только показывает несостоятельность представления о том, что принцип неопределенности представляет
собой, по сути, только последствия возмущения, вызванного измерительным
прибором; оно также представляет для нас определенные реальные трудности, если мы хотим понять квантово-механическое поведение
материи с точки зрения понятия более глубокого уровня индивидуального закона, действующего в контексте набора скрытых переменных.

Конечно, если существуют такие скрытые переменные, то они, возможно
, могут быть ответственны за "скрытое" взаимодействие между атомами
B и атомом A, или между атомом B и прибором, измеряющим спин атома A. Такое взаимодействие, которое было бы глубже тех, которые явно учитываются в квантовой теории, могло бы тогда, в принципе, объяснить, каким образом атом B "знает", каким свойством обладает атом A; но
по-прежнему остается трудность в объяснении корреляции для данного случая
в случае, когда аппарат был переориентирован, когда атомы все еще находились в полете, мы должны были бы предположить, что это взаимодействие осуществляется в пространстве со скоростью, превышающей скорость света. Очевидно, что этот аспект проблемы является тем, с которым любая приемлемая теория скрытых переменных должна каким-то образом справляться удовлетворительным образом.

5 ПРЕДЛОЖЕННОЕ БОРОМ РАЗРЕШЕНИЕ ПАРАДОКСА
ЭЙНШТЕЙНА, РОЗЕНА И ПОДОЛЬСКОГО – НЕДЕЛИМОСТЬ ВСЕХ МАТЕРИАЛЬНЫХ ПРОЦЕССОВ

Парадокс Эйнштейна, Розена и Подольского был разрешен Нильсом Бором таким образом, что он сохранил понятие индетерминизма в
квантовой теории как своего рода непреодолимую случайность в природе.
Для этого он использовал неделимость кванта в качестве основы. Он
утверждал, что в квантовой области процедура, с помощью которой мы анализируем классические системы на взаимодействующие части, нарушается, поскольку всякий раз, когда две сущности объединяются, образуя единую систему (даже если только на ограниченный период времени) процесс, с помощью которого они это делают, не поддается делению. Таким образом, мы сталкиваемся с разрушением наших привычных представлений о бесконечной аналитичности каждого процесса на различные части, расположенные в определенных областях пространства и времени. Только в классическом пределе, когда задействовано много квантов, можно пренебречь эффектами этой неделимости; и только там мы можем правильно применять общепринятые концепции детального анализа физического процесса.

Чтобы разобраться с этим новым свойством материи в квантовой
области, Бор предложил начать с классического уровня, который
непосредственно доступен для наблюдения. Различные события
, происходящие на этом уровне, могут быть адекватно описаны с
помощью наших обычных общих понятий, предполагающих бесконечную аналитичность. Затем обнаруживается, что до определенной степени
приближения эти события связаны определенным набором законов,
то есть законами движения Ньютона, которые, в принципе,
определяют будущий ход этих событий с точки зрения их
характеристик в данный момент времени.

Теперь мы переходим к главному. Чтобы придать классическим
законам реальное экспериментальное содержание, мы должны быть в состоянии определить импульсы и положения всех соответствующих
частей интересующей нас системы. Такое определение требует, чтобы
интересующая система была подключена к устройству, которое дает некоторый наблюдаемый крупномасштабный результат, который определенно коррелирует с состоянием интересующей системы. Но для того, чтобы удовлетворить требованию о том, что мы должны быть в состоянии узнать состояние наблюдаемой системы, наблюдая за состоянием крупномасштабного устройства, это должно быть возможно, по крайней мере, в принципе, для того, чтобы мы могли различать эти две системы с помощью подходящего концептуального анализа, даже если они связаны и находятся в некотором взаимодействии. Однако в квантовой области такой анализ уже не может быть
выполнен корректно. Следовательно, следует рассматривать то, что
ранее называлось "комбинированной системой", как единую, неделимую, всеобъемлющую экспериментальную ситуацию. Результат работы
всей экспериментальной установки говорит нам не о системе, которую
мы хотим наблюдать, а, скорее, только о ней самой в целом.

Приведенное выше обсуждение значения измерения
, таким образом, непосредственно приводит к интерпретации соотношений неопределенности Гейзенберга. Как показывает простой анализ, невозможность теоретически определить две некоммутирующие наблюдаемые величины с помощью одной волновой функции точно и во всех деталях согласуется с
невозможность совместного использования двух комплексных установок, которые позволили бы одновременно экспериментально определять эти две переменные. Это говорит о том, что некоммутативность двух операторов следует интерпретировать как математическое представление несовместимости устройств, необходимых для экспериментального определения соответствующих величин.

В классической области, конечно, важно, чтобы пары
канонически сопряженных переменных, подобных описанным выше,
были определены вместе. Каждая переменная из такой пары описывает необходимый аспект всей системы, аспект, который должен быть объединен с другим, если мы хотим однозначно и недвусмысленно определить физическое состояние системы. Тем не менее, в квантовой области каждая из таких пар, как мы видели, может быть определена более точно только в экспериментальной ситуации, в которой другая должна быть соответственно менее точной
определенной. В определенном смысле каждая из переменных противостоит
другой. Тем не менее, они по-прежнему остаются "взаимодополняющими", поскольку каждая описывает существенный аспект системы, который
упускается из виду в другой. Таким образом, обе переменные по-прежнему должны использоваться вместе, но теперь они могут быть определены только в пределах, установленных принципом Гейзенберга. В результате такие переменные больше не могут дать нам определенного, уникального и недвусмысленного представления о материи в квантовой области. Только в классической области такая концепция существует в адекватном приближении.

Если в квантовой области нет определенного понятия материи
, то в чем тогда смысл квантовой теории? С точки зрения Бора, это просто ‘обобщение’ классической механики. Вместо того чтобы описывать наблюдаемые классические явления с помощью уравнений Ньютона, которые представляют собой полностью детерминированный
и бесконечно анализируемый набор законов, мы описываем те же самые явления с помощью квантовой теории, которая предоставляет вероятностный
набор законов, не позволяющий анализировать явления в бесконечных деталях. Одни и те же понятия (например, положение и
импульс) присутствуют как в классической, так и в квантовой теориях. В
обеих теориях все концепции получают свое экспериментальное содержание, по сути, одним и тем же способом, т.е. посредством их соотнесения с конкретной экспериментальной установкой, включающей наблюдаемые крупномасштабные явления. Единственное различие между классической и квантовой теориями состоит в том, что они предполагают использование различных законов для связи понятий.

Очевидно, что в соответствии с интерпретацией Бора
в квантовой области ничего не измеряется. Действительно, с его точки зрения,
там не может быть ничего, что можно было бы измерить, потому что все "однозначные" понятия, которые можно было бы использовать для описания, определения и размышления о значении результатов такого измерения, относятся только к классической области. Следовательно, не может быть и речи о "возмущении", вызванном измерением, поскольку предположение о том, что там было что-то, что могло быть нарушено в первую очередь, не имеет смысла.

Теперь ясно, что парадокс Эйнштейна, Розена и Подольского не возникнет, потому что представление о какой-то реально
существующей молекуле, которая изначально была объединена, а
затем "распалась" и которая была "нарушена" устройством для измерения спина, также не имеет смысла. Такие идеи следует
рассматривать не более чем как живописные термины, которые
удобно использовать при описании всей экспериментальной установки
с помощью которого мы наблюдаем определенные коррелированные пары классических событий (например, два параллельных устройства для измерения спина, которые находятся на противоположных сторонах "молекулы", всегда будут регистрировать противоположные результаты).

До тех пор, пока мы ограничиваемся вычислением вероятностей
пар событий таким образом, мы не получим никаких парадоксов
, подобных описанному выше. В таких вычислениях волновую
функцию следует рассматривать просто как математический символ,
который поможет нам вычислить правильные взаимосвязи между
классическими событиями, при условии, что им манипулируют в соответствии с определенной методикой, но который не имеет никакого другого значения.

Теперь ясно, что точка зрения Бора неизбежно приводит нас к
интерпретации индетерминистских особенностей квантовой теории как
представляющих непреодолимую случайность; поскольку из-за неделимости экспериментальной схемы в целом в концептуальной схеме нет места для более точного и достоверного описания причинных факторов. более подробного, чем тот, который разрешен отношениями Гейзенберга. Затем эта характеристика проявляется как неустранимая случайная флуктуация в детальных свойствах отдельных крупномасштабных явлений, однако, флуктуация, которая все еще удовлетворяет статистическим законам квантовой теории.
Таким образом, отказ Бора от скрытых переменных основан на очень
радикальном пересмотре представления о том, что должна означать физическая теория, пересмотре, который, в свою очередь, вытекает из фундаментальной роли, которую он отводит неделимости кванта.

6 ПРЕДВАРИТЕЛЬНАЯ ИНТЕРПРЕТАЦИЯ КВАНТОВОЙ ТЕОРИИ В ТЕРМИНАХ СКРЫТЫХ ПЕРЕМЕННЫХ

В этом разделе мы обрисуем в общих чертах некоторые
предложения, касающиеся конкретной новой интерпретации квантовой
теории, включающей скрытые переменные. С самого начала следует подчеркнуть, что эти предложения являются лишь предварительными по форме. Их основная цель двояка: во-первых, относительно конкретно указать на
значение некоторых наших ответов на аргументы против скрытых переменных, которые были обобщены в предыдущих разделах, и, во-вторых, они служат определенной отправной точкой для дальнейшего и более детального развития теории, которая будет обсуждаться в последующих разделах этой главы.

Первые систематические предложения по интерпретации
квантовой теории в терминах скрытых переменных были сделаны
автором. Основанная сначала на расширении и доработке некоторых
идей, первоначально предложенных де Бройлем, эта новая интерпретация
была затем продолжена в более поздней совместной работе автора и
Вижье. После некоторой дополнительной доработки она, наконец, приняла
форму, основные положения которой будут кратко изложены следующим образом:

1 Предполагается, что волновая функция, ψ, представляет собой объективно реальное поле, а не просто математический символ.
2 Мы предполагаем, что помимо поля существует частица, математически представленная набором координат, которые всегда
четко определены и которые изменяются определенным образом.
3 Мы предполагаем, что скорость этой частицы определяется формулой

1. где m - масса частицы, а S - фазовая функция, полученная путем записи волновой функции в виде ψ = R*exp(iS/h), где R и S действительны.

4 Мы предполагаем, что на частицу действует не только
классический потенциал V (x), но и дополнительный "квантовый
потенциал’,

5 Наконец, мы предполагаем, что поле ψ на самом деле находится в состоянии
очень быстрых случайных и хаотических колебаний, так что значения
ψ, используемые в квантовой теории, являются своего рода средним значением за характерный интервал времени τ. (Этот интервал времени должен быть
большим по сравнению со средними периодами времени флуктуации, описанными выше, но кратковременные по сравнению с флуктуациями квантово-механических процессов.) Флуктуации ψ-поля можно рассматривать как происходящие с более глубокого субквантово-механического уровня, во многом так же, как колебания в броуновском движении микроскопической капли жидкости исходят с более глубокого атомного уровня. Тогда точно так же, как законы Ньютона определяют среднее поведение такой капли, уравнение Шредингера будет определять среднее поведение ψ-поля.

На основе вышеприведенных постулатов теперь можно
доказать важную теорему, поскольку, если ψ-поле флуктуирует, то
Из уравнения (1) следует, что соответствующие флуктуации будут сообщаться движению частицы флуктуирующим квантовым потенциалом (2). Таким образом, частица не будет следовать по абсолютно правильной траектории, а будет иметь траекторию, напоминающую траекторию обычной частицы, движущейся в броуновском движении. На этой траектории
будет определенная средняя скорость, определяемая средним значением уравнения (1). над флуктуациями поля, происходящими в течение характерного интервала τ. Затем, на основе некоторых очень общих и разумных предположений относительно флуктуаций, которые подробно описаны в другом месте, можно показать, что в своих случайных движениях частица будет проводить среднюю долю своего времени в элементе объема, dV, из

Таким образом, поле ψ интерпретируется главным образом как определяющее
движение посредством (1) и "квантовый потенциал" посредством (2).
Тот факт, что оно также определяет обычное выражение для плотности
вероятности, следует из определенных стохастических предположений о колебаниях ψ.

Было продемонстрировано, что вышеупомянутая теория предсказывает
физические результаты, идентичные тем, которые предсказываются
обычной интерпретацией квантовой теории, но она делает это с
помощью совершенно других предположений, касающихся существования
более глубокого уровня индивидуального закона.

Чтобы проиллюстрировать существенные различия между этими двумя точками
зрения, рассмотрим эксперимент с интерференцией, в котором электроны
с определенным импульсом падают на решетку. Соответствующая волновая функция ψ. затем дифрагируется решеткой в относительно определенных направлениях, и получается соответствующая "интерференционная картина" из статистического ансамбля электронов, прошедших через систему.

Как мы видели в предыдущих разделах, обычная точка зрения
не позволяет нам проанализировать этот процесс в деталях, даже концептуально; она также не позволяет нам рассматривать места, в которые прибудут отдельные электроны, как заранее определенные скрытыми
переменными. Однако мы считаем, что этот процесс может быть проанализирован с помощью новой концептуальной модели. Эта модель
основана, как мы видели, на предположении, что частица
движется по определенному, но случайно изменяющемуся пути, т.е.
поведение которого сильно зависит от объективно реального и случайно колеблющегося ψ-поля, в среднем удовлетворяющего уравнению Шредингера. Когда ψ-поле проходит через решетку, оно дифрагирует во многом так же, как и другие поля (например, электромагнитное). В результате при более поздней интенсивности ψ-поля будет наблюдаться интерференционная картина, отражающая структуру решетки. Но поведение ψ-поля также отражает скрытые переменные на субквантовом уровне, который определяет детали его колебаний вокруг среднего значения, полученного путем решения уравнения Шредингера. Таким образом, место, куда прибудет каждая частица, в конечном счете, в принципе определяется комбинацией факторов, включая начальное положение частицы, начальную форму ее ψ-поля, систематические
изменения ψ-поля, обусловленные решеткой, и случайные изменения этого поля, возникающие на субквантовом уровне. В статистическом ансамбле случаев, имеющих одинаковую среднюю начальную волну таким образом, флуктуации ψ-поля, как было показано, будут создавать точно такую же интерференционную картину, которая предсказывается в обычной интерпретации квантовой теории.

На этом этапе мы должны задаться вопросом, как мы смогли прийти к
результату, противоположному тому, который был выведен фон Нейманом (раздел 4.2). Ответ следует искать в некотором неоправданно ограничивающем предположении, стоящем за аргументами фон Неймана. Это предположение состоит в том, что частицы, попадающие на решетку в заданном положении x (заранее определенном скрытой переменной), должны принадлежать к подгруппе, обладающей теми же статистическими свойствами, что и эти частицы из ансамбля частиц, положение которых, x, действительно было измерено (и, следовательно, все функции которых являются соответствующей дельта-функцией положения). Теперь хорошо известно, что если
бы можно было измерить положение каждого электрона, проходящего через решетку, то не было бы получено никаких помех (из-за
возмущение, вызванное измерением, которое приводит к разделению системы на неинтерферирующие ансамбли, представленные дельта-функциями, как описано в разделе 4.2). Следовательно, процедура фон Неймана эквивалентна неявному предположению, что любые факторы (такие как скрытые переменные), которые заранее определяют x, должны устранять помехи таким же образом, как они устраняются при измерении координаты x.

В нашей модели мы выходим за рамки приведенного выше неявного предположения, с самого начала допуская, что электрон обладает большим количеством свойств, чем может быть описано в терминах так называемых ‘наблюдаемых’ квантовой теории. Таким образом, как мы уже видели, у него есть положение, импульс, волновое поле, ψ и субквантовые флуктуации,
которые в совокупности определяют детальное поведение каждой отдельной системы с течением времени. В результате в рамках теории есть место для описания разницы между экспериментом, в котором электроны проходят через решетку не подверженные влиянию чего-либо еще, и те, в которых они подвергаются воздействию устройства для измерения положения. Эти два набора экспериментальных условий привели бы к возникновению совершенно разных ψ-полей, даже если бы в обоих случаях частицы ударялись о решетку в одном и том же положении. Различия в последующем поведении
электрона (т.е. интерференция в одном случае и отсутствие в другом)
таким образом, будут вытекать из различных ψ-полей, которые существуют в
этих двух случаях.

Подводя итог, можно сказать, что нам не нужно ограничиваться предположениями фон Неймана о том, что субкомплексы следует классифицировать только в терминах значений квантово-механических "наблюдаемых’. Скорее всего, такая классификация должна также включать дополнительные внутренние свойства, в настоящее время "скрытые", которые впоследствии могут повлиять на непосредственно наблюдаемое поведение системы (как в примере, который мы обсуждали).

Наконец, аналогичным образом можно изучить, как другие
характерные проблемы рассматриваются в терминах нашей новой интерпретации квантовой теории (например, соотношение неопределенности Гейзенберга и парадокс Эйнштейна, Розена и Подольского). На самом деле это было сделано довольно подробно. Однако мы отложим обсуждение этих вопросов до тех пор, пока не выработаем некоторые дополнительные идеи, поскольку это позволит нам подойти к решению этих проблем проще и понятнее, чем это было возможно ранее.

7. КРИТИКА НАШЕЙ ПРЕДВАРИТЕЛЬНОЙ ИНТЕРПРЕТАЦИИ КВАНТОВОЙ ТЕОРИИ В ТЕРМИНАХ СКРЫТЫХ ПЕРЕМЕННЫХ

Интерпретация квантовой теории, рассмотренная в предыдущем разделе, подвергается ряду серьезных критических замечаний.

Прежде всего, следует признать, что понятие "квантовый потенциал" не совсем удовлетворительно, поскольку не только предложенная форма (2), довольно странная и произвольная, но также (в отличие от других полей, таких как электромагнитное) не имеет видимого источника. Эта критика никоим образом
не лишает теорию силы как логическую самосогласованную структуру, а
лишь подвергает сомнению ее правдоподобие. Тем не менее, мы, очевидно, не можем удовлетвориться принятием такого потенциала в рамках окончательной теории. Скорее, мы должны рассматривать это в лучшем случае как схематическое представление о какой-то более правдоподобной физической идее, к которой мы надеемся прийти позже, по мере дальнейшего развития теории

Во-вторых, в задаче многих тел мы вынуждены ввести
многомерное ψ-поле [ψ(x1, x2, . . ., xn, . . ., xN)] и соответствующий многомерный квантовый потенциал

где ψ = R*exp(iS/h) как в случае с одним телом. Импульс каждой частицы тогда определяется как

Все эти понятия логически вполне последовательны. Однако следует
признать, что их трудно понять с физической точки зрения. В лучшем случае их следует рассматривать, как и сам квантовый потенциал, как схематические или предварительные представления определенных особенностей некоторых более правдоподобных физических идей, которые будут получены позже.

В-третьих, эта интерпретация подверглась критике за то, что точные значения флуктуирующего ψ-поля и координат частиц не имеют реального физического содержания. Теория была построена таким образом, что наблюдаемые крупномасштабные результаты любых возможных измерений
идентичны тем, которые предсказывает современная квантовая теория.
Другими словами, из экспериментальных результатов можно сделать вывод, что
доказательств существования скрытых переменных нет, и теория не позволяет сделать их определение достаточно точным, чтобы предсказать какой-либо результат более точно, чем это делает современная квантовая теория.

Ответ на эту критику следует рассматривать в двух контекстах. Прежде всего, следует иметь в виду, что до того, как было выдвинуто это предложение, существовало широко распространенное мнение о том, что никакие концепции скрытых переменных вообще, даже если они были абстрактными и гипотетическими, не могут быть последовательными
с квантовой теорией. Действительно, доказать невозможность такой концепции было основной целью теоремы фон Неймана. Таким образом, в значительной степени этот вопрос уже поднимался абстрактно в некоторых аспектах общепринятых формулировок обычной интерпретации квантовой
теории. Поэтому, чтобы показать, что выбрасывать скрытые переменные
из-за того, что их невозможно вообразить, неправильно, достаточно
было предложить любую логически непротиворечивую теорию, объясняющую этот процесс. квантовая механика, использующая скрытые переменные, какой бы абстрактной и гипотетической она ни была. Таким образом, существование даже единственной последовательной теории такого рода показало, что, какие бы аргументы мы ни приводили против скрытых переменных,
мы больше не можем использовать аргумент о том, что они непостижимы. Конечно, конкретная теория, которая была предложена, не
была удовлетворительной по общим физическим причинам, но если возможна одна такая теория, то возможны и другие, более совершенные теории, и
естественный вывод из этого аргумента таков: "Почему бы не попытаться найти
их?’

Во-вторых, чтобы полностью ответить на критику в адрес того, что эти идеи являются чисто гипотетическими, отметим, что логическая структура
теории допускает возможность ее изменения таким образом, что она перестает быть полностью идентичной современной квантовой механике по своему экспериментальному содержанию. В результате детали скрытых переменных (например, флуктуации ψ-поля и положения частиц) смогут
проявиться в новых экспериментальных результатах, не предсказанных
квантовой теорией в том виде, в каком она сформулирована сейчас.

На этом этапе, возможно, можно было бы задаться вопросом, возможны ли вообще такие новые результаты. В конце концов, разве общие рамки квантовой теории уже не согласуются со всеми известными экспериментальными результатами, и если да, то как могут быть какие-либо другие?

Чтобы ответить на этот вопрос, мы сначала укажем, что даже если бы не существовало известных экспериментов, которые современная квантовая теория не смогла бы удовлетворительно описать, всегда оставалась бы открытой возможность получения новых экспериментальных результатов, не
вписывающихся в эти рамки. Все эксперименты обязательно проводятся
только в какой-то ограниченной области, и даже в этой области, только с ограниченной степенью приближения. Поэтому, с логической точки зрения, всегда остается открытым пространство для возможности того, что при проведении экспериментов в новых областях и с новыми степенями приближения будут получены результаты, которые не полностью вписываются
в рамки существующих теорий.

Физика довольно часто развивалась описанным
выше образом. Таким образом, ньютоновская механика, которая первоначально считалась абсолютно универсальной, в конечном итоге оказалась применимой в ограниченной области (скорость мала по сравнению со скоростью света)
и только в ограниченной степени приближения. Ньютоновская
механика должна была уступить место теории относительности, которая
использовала базовые представления о пространстве и времени, которые
во многом они не соответствовали принципам ньютоновской механики. Таким образом, по некоторым существенным признакам новая теория качественно и фундаментально отличалась от старой. Тем не менее, в области малых скоростей новая теория приближалась к старой как к предельному случаю. Аналогичным
образом, классическая механика в конечном счете уступила место квантовой
теории, которая сильно отличается по своей базовой структуре, но которая
все еще содержит классическую теорию в качестве предельного случая, справедливого приблизительно в области больших квантовых чисел. Таким образом, очевидно, что согласие с экспериментами в ограниченной области и с ограниченной степенью приближения не является доказательством того, что основные понятия данной теории имеют полностью универсальную значимость.

Из приведенного выше обсуждения мы видим, что экспериментальные данные, полученные сами по себе, всегда оставляют открытой возможность
теории скрытых переменных, которая дает результаты, отличные от
результатов квантовой теории в новых областях (и даже в
старых областях, если довести их до достаточно высокой степени приближения). Однако теперь у нас должны быть более четкие представления о том, в каких областях мы ожидаем новых результатов, и каким именно образом они
должны быть новыми.

Здесь мы можем надеяться получить некоторые подсказки, рассматривая проблемы в области, где современные теории в целом не дают
удовлетворительных результатов, то есть связанные с очень высокими энергиями и очень короткими расстояниями. Что касается таких проблем, то мы прежде всего отмечаем, что современная релятивистская квантовая теория поля сталкивается с серьезными трудностями, которые вызывают серьезные сомнения относительно ее внутренней самосогласованности. Существуют трудности, возникающие в связи с расхождениями (бесконечными результатами), получаемыми при расчетах эффектов взаимодействия различных видов частиц и полей. Это правда, что в частном случае электромагнитных взаимодействий таких расхождений в определенной степени можно избежать с помощью так называемых методов "перенормировки". Однако отнюдь не
очевидно, что эти методы могут быть основаны на надежной
логико-математической основе. Более того, для задачи о мезонных и других взаимодействиях метод перенормировки плохо работает, даже если рассматривать его как чисто техническую манипуляцию математическими символами, не считая самого вопроса ее логического обоснования. Хотя пока еще не доказано окончательно, что описанные выше бесконечности являются существенными характеристиками теории, уже имеется значительное
количество свидетельств в пользу такого заключения.

Общепризнано, что если, как представляется весьма вероятным, теория
не сходится, то необходимо внести некоторые фундаментальные изменения
в ее трактовку взаимодействий на очень коротких расстояниях, из-за которых возникают все трудности (как видно из детального математического анализа).

Большинство сторонников обычной интерпретации квантовой теории не стали бы отрицать, что в нынешней теории, по-видимому, необходимы такие фундаментальные изменения. Действительно, некоторые
из них, включая Гейзенберга, даже готовы зайти так далеко, чтобы полностью отказаться от наших представлений об определимом пространстве и времени, в
связь с такими очень короткими расстояниями, в то время как сравнительно фундаментальные изменения в других принципах, таких как теория относительности, также рассматривались рядом физиков (в связи с теорией нелокальных полей). Но, похоже, широко распространено мнение, что принципы квантовой механики почти наверняка не придется менять по
существу. Другими словами, считается, что какими бы радикальными ни были изменения. в физических теориях, возможно, они будут опираться только на принципы современной квантовой теории в качестве основы и, возможно, обогатят и обобщат эти принципы, придав им новую и более широкую область применения.

Мне так и не удалось обнаружить каких-либо обоснованных причин,
объясняющих, почему существует столь высокая степень доверия к общим
принципам современной формы квантовой теории. Некоторые
физики предположили, что тенденция нашего века - уходить
от детерминизма, и что шаг назад маловероятен.
Однако это предположение такого рода, которое легко можно было
бы сделать в любой период в отношении теорий, которые до сих пор были
успешными. (Например, классические физики девятнадцатого
века могли бы с равным основанием утверждать, что тенденция
большинство ученых того времени склонялись к большему детерминизму, в то время как будущие события доказали бы ошибочность этого предположения. Третьи заявляли о психологическом предпочтении индетерминистских теорий,
но это вполне может быть просто результатом того, что они привыкли к таким теориям. Классические физики девятнадцатого века, несомненно, проявили бы столь же сильную психологическую склонность к детерминизму.)

Наконец, широко распространено мнение, что на самом деле будет
невозможно осуществить предложенную нами программу разработки
теории скрытых переменных, которая по своему экспериментальному содержанию будет действительно отличаться от квантовой теории и которая все
же будет согласоваться с последней теорией в той области, где эта теория
уже известна. по сути, правильно. Этой точки зрения придерживается, в частности, Нильс Бор, который выразил особенно сильные
сомнения в том, что такая теория может охватывать все существенные аспекты
проблема неделимости кванта действия – но тогда этот аргумент остается в силе или опровергается вопросом о том, действительно ли может быть создана альтернативная теория, подобная описанной выше, и в следующих разделах мы увидим, что такая позиция не очень надежна.

8. ШАГИ К БОЛЕЕ ДЕТАЛЬНОЙ ТЕОРИИ СКРЫТЫХ ПЕРЕМЕННЫХ

Из обсуждения, приведенного в предыдущем разделе, ясно, что
нашей главной задачей является разработка новой теории скрытых переменных.
Эта теория должна сильно отличаться от современной квантовой
теории как по своим основным понятиям, так и по общему экспериментальному
содержанию, и все же быть способной давать по существу те же
результаты, что и современная теория в той области, в которой она применяется. последняя теория к настоящему времени была подтверждена, причем в той степени, в какой она была приближена к фактически проведенным измерениям. Тогда возможность экспериментального определения различий между двумя теориями возникнет либо в новых областях
(например, на очень коротких расстояниях), либо при более точных измерениях, проведенных в более старых областях.

Нашей основной отправной точкой будет попытка представить более
конкретную физическую теорию, приводящую к идеям, сходным с теми, которые обсуждались в связи с нашей предварительной интерпретацией (раздел 6). Делая это, мы должны сначала вспомнить, что
рассматривали индетерминизм как реальное и объективное свойство материи, но связанное с данным ограниченным контекстом (в данном случае
с переменными квантово-механического уровня). Мы
предполагаем, что на более глубоком субквантовом уровне существуют дополнительные переменные, которые более детально определяют колебания результатов отдельных квантово-механических измерений.

Дает ли существующая физическая теория какие-либо намеки на природу этих более глубоких субквантово-механических переменных? Чтобы сориентироваться в наших поисках, мы можем начать с рассмотрения
современной квантовой теории в ее наиболее развитой форме,
а именно с релятивистской теории поля. Согласно принципам
современной теории, важно, чтобы каждый оператор поля µ был
функцией четко определенной точки x и чтобы все взаимодействия происходили между полями в одной и той же точке. Это приводит нас к формулированию наших теорий в терминах неисчислимой бесконечности
переменных поля.

Конечно, такая формулировка должна быть дана даже классически, но в классической физике можно предположить, что поля изменяются непрерывно. В результате можно эффективно сократить число переменных до счетного набора (например, средние значения полей в очень небольших регионах), главным образом потому, что изменения поля на очень коротких расстояниях пренебрежимо малы. Однако, как показывает простой расчет, в квантовой теории это невозможно, потому что чем короче расстояния, которые мы рассматриваем, тем сильнее насилие это квантовые флуктуации, связанные с "нулевой энергией" вакуума. Действительно, эти флуктуации настолько велики
, что предположение о том, что операторы поля являются непрерывными
функциями положения (и времени), в строгом смысле неверно.

Даже в обычной квантовой теории проблема неисчислимой бесконечности переменных поля представляет несколько пока еще
нерешенных основных математических трудностей. Таким образом, обычно
при проведении теоретико-полевых расчетов исходят из определенных
предположений относительно состояния "вакуума", а затем
применяют теорию возмущений. Тем не менее, в принципе, можно
начать с бесконечного множества самых разных предположений о состоянии
вакуума, предполагающих присвоение определенных значений набору
из полностью прерывистых функций переменных поля, функций, которые плотно "заполняют" пространство и в то же время оставляют множество
"дыр". Эти новые состояния не могут быть достигнуты из исходного состояния ‘вакуума’ никаким каноническим преобразованием. Следовательно, они приводят к теориям, которые, как правило, отличаются по физическому содержанию от тех, которые были получены с использованием первоначальной отправной точки. Вполне возможно, что из-за расхождений в теоретических результатах, даже самые современные методы перенормировки подразумевают такое "бесконечно различающееся" состояние вакуума; но, что еще более важно, необходимо подчеркнуть, что реорганизация бесконечного числа
переменных, число которых не поддается подсчету, обычно приводит к другой теории, и что принципы такой реорганизации будут эквивалентны базовым предположениям о соответствующих новых законах природы.

До сих пор мы ограничивали вышеприведенное обсуждение эффектами
реорганизации бесконечного числа переменных в рамках существующей квантовой теории, но аналогичные выводы будут справедливы даже для классической теории, включающей бесконечное число переменных. Таким образом, если мы однажды откажемся от предположения о непрерывности классического поля, мы увидим, что при такой реорганизации существует такая же возможность для получения другой классической теории, как и в квантовой теории.

На этом этапе мы спрашиваем себя, возможно ли когда-нибудь реорганизовать классическую теорию поля таким образом, чтобы она стала эквивалентной (по крайней мере, в некотором приближении и в некоторой области) современной квантовой теории поля. Чтобы ответить на этот вопрос, мы, очевидно, должны воспроизвести из основного "детерминистического" закона предполагаемую нами неисчислимую бесконечность "классических" переменных поля, флуктуации квантовых процессов, неделимость кванта и другие существенные
квантово-механические свойства, такие как интерференция и корреляции, связанные с парадоксом Эйнштейна, Розена и Подольского. Именно этими проблемами мы будем заниматься в последующих разделах.

9. ОБРАБОТКА КВАНТОВЫХ ФЛУКТУАЦИЙ

Давайте начнем с предположения о некоторой "детерминированной" теории поля. Ее точные характеристики для наших целей здесь не важны. Все, что важно, - это предположить следующие свойства.

1 Существует набор уравнений поля, который полностью определяет изменения поля со временем.

2 Эти уравнения достаточно нелинейны, чтобы гарантировать значительную связь между всеми волновыми компонентами, так что (за исключением, возможно, некоторого приближения) решения не могут быть линейно наложены друг на друга.

3 Даже в "вакууме" поле настолько сильно возбуждено, что
среднее поле в каждой области, каким бы малым оно ни было, значительно колеблется, создавая своего рода турбулентное движение, которое приводит к высокой степени хаотичности колебаний. Такое возбуждение гарантирует
прерывистость полей в самых маленьких областях.

4 То, что мы обычно называем "частицами", является относительно стабильными и законсервированными возбуждениями на поверхности этого вакуума. Такие частицы будут регистрироваться на крупномасштабном уровне, где вся аппаратура чувствительна только к тем характеристикам поля, которые будут сохраняться долгое время, но не к тем характеристикам, которые быстро изменяются. Таким образом, "вакуум" не даст видимых эффектов на крупномасштабном уровне, поскольку его поля в среднем будут нейтрализованы, и пространство будет фактически "пустым" для каждого крупномасштабного процесса (например, поскольку идеальная кристаллическая решетка фактически "пуста" для электрона в нижней полосе, даже если пространство заполнено атомами).

Очевидно, что не было бы никакого способа решить такой набор уравнений
поля напрямую. Единственной возможностью было бы попытаться
получить какие-то средние значения поля (взятые для небольших
областей пространства и времени). В общем, мы могли бы надеяться, что
группа таких средних величин, по крайней мере, в некотором
приближении, определит себя независимо от бесконечно
сложных флуктуаций внутри соответствующих областей пространства. В
той мере, в какой это произошло, мы могли бы получить приблизительное поле
законы, связанные с определенным уровнем размера, но эти законы не могут быть точными, поскольку нелинейность уравнений означает, что поля
обязательно будут каким-то образом связаны с внутренними флуктуациями, которыми пренебрегли. В результате средние поля также
будут случайным образом изменяться в зависимости от их среднего поведения. Будет существовать типичная область колебаний средних полей, определяемая
характером более глубоких перемещений поля, которые не были учтены. Как и в случае броуновского движения частицы, это колебание будет определять распределение вероятностей

Подводя итог, мы реорганизуем неисчислимую бесконечность
переменных поля и явно обрабатываем только некоторые неисчислимые множества этих реорганизованных координат. Мы делаем это, определяя ряд уровней по средним полям, каждое из которых связано с определенным измерением, по которому берутся средние значения. Такой подход может быть оправдан только в тех случаях, когда исчисляемые наборы переменных образуют совокупность, которая в определенных пределах ограничивает, определяет свои собственные движения независимо от точных деталей неисчислимой бесконечности координат, которые неизбежно были упущены из виду. Однако такое самоопределение никогда не бывает полным, и его основные пределы определяются определенной минимальной степенью флуктуации в области, которая зависит от связи рассматриваемых полевых координат с теми, которыми пренебрегли. Таким образом, мы получаем реальное и объективное ограничение на степень самоопределения определенного уровня,наряду с функцией вероятности, которая отражает характер статистических колебаний, ответственных за описанные выше ограничения на самоопределение.

10 ПРИНЦИП НЕОПРЕДЕЛЕННОСТИ ГЕЙЗЕНБЕРГА

Теперь мы готовы показать, как принцип неопределенности Гейзенберга вписывается в нашу общую схему. Мы сделаем это, обсудив степень детерминизма, связанную с пространственно-ориентированной координатой поля, phi_k, и соответствующим средним значением канонически сопряженного импульса поля, pi_k.

Чтобы упростить обсуждение, давайте предположим, что канонический
импульс пропорционален производной по времени от координаты поля, (как это имеет место для многих полей, таких как электромагнитное, мезонное и т.д.). Каждая такая координата поля колеблется случайным образом. Это означает, что ее мгновенная производная по времени бесконечна (как это также происходит в случае броуновского движения частицы). В результате не существует строгого способа определить такую мгновенную производную по времени. Скорее, мы должны обсудить среднее изменение поля, ∆k, в небольшой области время, ∆t (точно так же, как мы должны были взять среднее значение также по области пространства). Тогда среднее значение импульса поля за этот промежуток времени равно

где a - константа пропорциональности.

Если поле колеблется случайным образом, то, согласно самому определению случайности, область, в которой оно колеблется в течение времени ∆t, определяется как

где b - еще одна постоянная пропорциональности, связанная со
средней величиной случайных флуктуаций поля.

Конечно, точный характер колебаний поля определяется бесконечным количеством более глубоких переменных поля, которые не принимаются во внимание, но в контексте рассматриваемого уровня ничто
не определяет это точное поведение. Другими словами, |δk| представляет собой максимально возможную степень определения k в пределах уровня полевых величин, усредненных за аналогичные интервалы времени.

Из определения (6) мы видим, что pi_k также будет случайным образом колебаться в диапазоне

Умножив (8) и (7) вместе, получим

Таким образом, произведение максимальной степени детерминации pi_k
и phi_k является постоянной величиной ab, не зависящей от временного интервала ∆t.

Сразу становится ясно, что приведенный выше результат демонстрирует сильную аналогию с принципом Гейзенберга. Константа ab,
фигурирующая в уравнении. (9) играет ту же роль, что и постоянная Планка h
в принципе Гейзенберга. Следовательно, универсальность h подразумевает
универсальность ab.

Теперь a - это просто константа, связывающая импульс поля с его
производной по времени, и, очевидно, она будет универсальной константой.
Константа b представляет собой основную интенсивность случайной флуктуации. Предполагать, что b является универсальной константой, - это то же самое, что предполагать, что случайные флуктуации поля во всех местах, во все
времена и на всех уровнях величины по существу одинаковы по характеру.

Что касается разных мест и времен, то предположение об
универсальности константы b вовсе не является неправдоподобным.
Случайные флуктуации поля (которые здесь играют роль, аналогичную
флуктуациям вакуума в "нулевой точке" в обычной квантовой
теории) бесконечно велики, так что любые возмущения, которые могут быть вызваны дальнейшими локализованными возбуждениями или концентрациями
энергия, возникающая естественным путем или получаемая в ходе лабораторного эксперимента, оказала бы незначительное влияние на общие величины основных случайных флуктуаций. (Таким образом, присутствие материи в том виде, в каком мы ее знаем, в больших масштабах означало бы концентрацию неизменяющейся части энергии, связанной с
несколькими дополнительными граммами на кубический сантиметр поверх бесконечных нулевых флуктуаций поля ‘вакуума’.)

Однако что касается проблемы различных уровней пространства и
временных интервалов, то предположение об универсальности b
не столь правдоподобно. Таким образом, вполне возможно, что величина b будет оставаться постоянной для полей, усредняемых по все более коротким временным интервалам, только до некоторого характерного временного интервала ∆t_0, за пределами которого величина b может измениться. Это эквивалентно возможности того, что степень самоопределения может не
ограничиваться постоянной Планка h в течение очень короткого времени (и, соответственно, на коротких расстояниях).

Нетрудно предложить теорию, обладающую характеристиками
, описанными выше. Таким образом, предположим, что флуктуации поля в "нулевой точке" находились в некотором статистическом равновесии, соответствующем чрезвычайно высокой температуре, Т. Среднее колебание
энергии на степень свободы, согласно теореме о равном распределении, было бы порядка kT, но эта средняя энергия также пропорциональна среднему значению (как это происходит, например, с набором гармонических осцилляторов). Таким образом, мы записываем

где κ - постоянная Больцмана, а α - подходящая константа
пропорциональности.

В результате, если временной интервал ∆t, указанный в уравнении (8), становится все короче и короче, то (π)^2 не сможет неограниченно увеличиваться, как это подразумевается в уравнениях (8) и (9). Скорее,
(π)^2 перестанет увеличиваться через некоторый критический промежуток времени, определяемый

Для более коротких временных интервалов (и, соответственно, коротких расстояний) степень самоопределения средних полей тогда была бы ограничена не только соотношениями Гейзенберга, но и более слабым набором соотношений.

Таким образом, мы построили теорию, которая содержит соотношения Гейзенберга в качестве предельного случая, приблизительно справедливого для полей, усредненных по определенному уровню интервалов пространства и времени. Тем не менее, поля, усредненные по меньшим интервалам, подвержены большей степени самоопределения, чем это согласуется с
этим принципом. Из этого следует, что наша новая теория способна
воспроизвести, по сути, по крайней мере, одну из существенных особенностей
квантовой теории, то есть принцип Гейзенберга, и в то же время иметь
иное содержание на новых уровнях.

Вопрос о том, как это новое содержание нашей теории может быть
раскрыто в экспериментах, будет обсуждаться в последующих разделах. На
данный момент мы ограничимся указанием на то, что
расхождения в современных теориях поля являются прямым результатом
вкладов в энергию, заряд и т.д., исходящих от квантовых
флуктуаций, связанных с бесконечно малыми расстояниями и временами.
Наша точка зрения позволяет нам предположить, что, хотя общая
флуктуация все еще бесконечна, флуктуация на каждую степень свободы
перестает неограниченно увеличиваться по мере того, как рассматривается все меньшее и меньшее время. Таким образом, можно было бы провести теоретико-полевые расчеты, дающие конечные результаты. Таким образом, уже сейчас ясно, что расхождения в современной квантовой теории поля могут быть
вызваны экстраполяцией основных принципов этой теории на
чрезмерно короткие промежутки времени и пространства.

11 НЕДЕЛИМОСТЬ КВАНТОВЫХ ПРОЦЕССОВ

Наш следующий шаг - показать, как квантование, то есть неделимость
кванта действия, вписывается в наши представления о
субквантово-механическом уровне. Чтобы сделать это, мы начнем с
более подробного рассмотрения проблемы того, как именно определить
средние значения по полю, которые необходимы для обработки
бесконечного числа переменных, не поддающихся подсчету. Здесь мы будем руководствоваться некоторыми результатами, полученными в очень похожей
задаче о многих телах (например, анализ твердых тел, жидкостей,
плазмы и т.д. с точки зрения составляющих их атомных частиц). В
в связи с этой проблемой мы также сталкиваемся с необходимостью обработки
определенных видов средних значений более глубоких (атомарных) переменных. Совокупность таких средних значений затем определяется в некотором приближении, в то время как ее детали зависят от характерных
областей случайных флуктуаций, возникающих из-за движений более низкого уровня (атомов), во многом таким же образом, который был предложен для
средних значений бесконечного числа переменных поля, обсуждаемых в предыдущих разделах.

Теперь, в задаче о множестве тел, мы имеем дело с крупномасштабным
поведением, работая с коллективными координатами, которые представляют собой приблизительно самоопределяющийся набор симметричных функций
переменных частиц, представляющих определенные общие аспекты
движений (например, колебания). Коллективные движения определяются (в пределах характерных для них областей случайных колебаний) приблизительными константами движения. Для особого, но
очень распространенного случая, когда коллективные координаты описывают
колебания, близкие к гармоническим, постоянными движения являются
амплитуды колебаний и их начальные фазы. В более общем плане, однако, они могут принимать форму более сложных функций коллективных координат.

Часто бывает очень полезно найти решение для коллективных координат с помощью канонического преобразования. В классической
механике это имеет вид

где S - функция преобразования, p_k и q_k - импульсы и единичные координаты частиц, а J_n и Q_n - импульсы коллективных степеней свободы. Здесь мы
предполагаем, что J_n - это константы движения. Другими словами, мы
предполагаем, что преобразование таково, что, по крайней мере, в
области, в которой аппроксимация коллективных координат является
хорошей, гамильтониан является функцией только J_n, а не
Q_n. Из этого следует, что Q_n линейно увеличиваются со временем, так
что они обладают свойствами так называемых "угловых переменных’.

Ясно, что аналогичная атака может быть предпринята и в отношении проблемы
неисчислимой бесконечности переменных поля, подверженных нелинейной связи друг с другом. Чтобы сделать это, мы теперь позволяем q_k, p_k
представлять исходный канонически сопряженный набор переменных поля
и предполагаем, что будет набор общих крупномасштабных
движений, которые мы представляем с помощью констант движения Jn
и канонически сопряженных угловых переменных Qn. Ясно, что
если такие общие движения существуют, они будут проявляться относительно непосредственно во взаимодействиях высокого уровня, поскольку, согласно гипотезе, это движения, которые сохраняют свои характерные черты в течение
длительного времени, не теряясь в бесконечно быстрых случайных
флуктуациях, которые в среднем сводятся к нулю на более высоком уровне.

Наша следующая задача - показать, что константы движения
(которые для гармонических осцилляторов пропорциональны энергии
крупномасштабной коллективной степени свободы) квантуются по
правилу J = nh, где n - целое число, а h - постоянная Планка.
Такая демонстрация будет представлять собой объяснение корпускулярно-волнового дуализма, поскольку уже известно, что коллективные степени свободы представляют собой волнообразные движения с гармонически изменяющимися амплитудами. В общем случае эти волны будут иметь вид
из достаточно локализованных пакетов, и если эти пакеты обладают дискретными и четко определенными величинами энергии, импульса и другими свойствами, они будут на более высоком уровне воспроизводить все существенные характеристики частиц. Однако у них будут внутренние волнообразные движения, которые проявятся только в условиях, когда существуют системы, способные существенно реагировать на эти
мельчайшие детали.

Чтобы показать квантование констант движения, описанное выше, мы сначала вернемся к предварительной интерпретации квантовой теории, приведенной в разделах 6 и 7. Здесь мы столкнулись с соотношением, очень похожим на (12).

Основное различие между (4) и (12) заключается в том, что первое
не содержит никаких констант движения, в то время как второе
содержит. Но как только константы движения заданы, они становятся
просто числами, которым нужно только присвоить определенные значения, которые они впоследствии сохраняют. Если это будет сделано, S уравнения (12) также больше не будет содержать J_n в качестве явно представленных переменных. Таким образом, мы можем рассматривать S нашей предварительной интерпретации (4) как фактическая функция S, в которой уже заданы константы движения. Затем S определяется волновой функцией, ψ = R*exp(iS/h). Таким образом, когда мы задаем волновую функцию, мы определяем функцию преобразования S = hI_m (l_n ψ), которая неявно определяет некоторые константы движения.

Чтобы более ясно видеть, как постоянные движения определяются величиной S уравнения (4) построим фазовый интеграл

Интеграл берется по некоторой схеме C, представляющей собой набор
перемещений δq_k (виртуальных или реальных) в конфигурационном пространстве системы. Если применимо уравнение (13), мы получим

где δS_C - изменение S при движении по контуру C.

Хорошо известно, что I_C, которые являются так называемыми "
переменными действия" в классической механике, обычно представляют собой постоянные движения. (Например, в случае набора связанных генераторов, гармонических или других, основные константы движения могут быть получены путем оценки I_С с помощью соответствующим образом определенных
схем.) Следовательно, волновая функция ψ, которая определяет определенную функцию S, подразумевает соответствующий набор констант
движения.

Теперь, согласно современной квантовой теории, волновая функция ψ = R*exp(iS/h) является однозначной функцией всех ее динамических координат q_k. Таким образом, мы должны иметь

где n - целое число.

Таким образом, фактические функции S, полученные из волновой функции ψ, подразумевают, что основные константы движения системы являются дискретными и квантованными.

Если целое число n не равно нулю, то, как показывает простой расчет,
где-то внутри цепи должен быть разрыв. Но поскольку S = hI_m (l_nψ) и поскольку ψ является непрерывной функцией, обычно возникает разрыв в S, где ψ (и, следовательно, R^2) равен нулю. Как мы сейчас увидим, R^2 - это плотность вероятности того, что система окажется в определенной точке конфигурационного пространства. Таким образом, система не будет иметь вероятности оказаться на нулевом уровне θ, в результате чего особенности S не будут подразумевать никаких несоответствий в теории.

Во многих отношениях описанное выше квантование напоминает
старое правило Бора-Зоммерфельда, но оно принципиально отличается по своему значению. Здесь переменная действия I_C, которая квантуется, не
получается при использовании простого выражения классической механики
для p_k в уравнении (14). Скорее, это получается с помощью выражения (12), которое включает в себя функции преобразования, S, функцию, которая зависит от неисчислимой бесконечности переменные, q_k. В определенном смысле мы можем сказать, что старое правило Бора-Зоммерфельда было бы абсолютно правильным, если бы оно относилось к неисчислимой бесконечности переменных поля, а не просто к значениям переменных, которые можно получить, решая простые классические уравнения движения для небольшого числа абстрактных координат Q_n.

Прежде чем перейти к объяснению того, почему δS_C следует ограничивать дискретными значениями, обозначаемыми уравнением (16), мы суммируем и систематизируем основные физические идеи, к которым мы пришли до сих пор.

1. Мы абстрагируем от неисчислимой бесконечности переменных набор ‘коллективных’ констант движения J_n и их канонически сопряженных величин Q_n.

2. J_n может быть последовательно ограничено дискретными целыми
числами, кратными h. Таким образом, действие может быть квантовано.

3. Если бы этот набор координат полностью определял сам себя,
Q_n (как это происходит в типичных классических теориях) линейно увеличивалось бы со временем. Однако из-за флуктуаций, вызванных
переменными, не включенными в теорию, Q_n будет случайным образом колебаться в доступном для них диапазоне.

4. Эта флуктуация будет подразумевать определенное распределение вероятности Q_n, имеющее размерность, равную 1 на каждую степень
свободы (а не 2, как в случае типичных классических статистических
распределений в фазовом пространстве). Когда это распределение
преобразуется в конфигурационное пространство qk, появляется
соответствующая функция вероятности, p(q_1 . . . q_k . . .), которая также
имеет размерность 1 на каждую степень свободы (импульсы,
p_k, всегда определяются в терминах q_k с помощью уравнения (12)).

5. Затем мы интерпретируем волновую функцию ψ = R*exp(iS/h), устанавливая
p(q_1 . . . q_k . . .) = R^2(q_1 . . . q_k . . .) и пусть S - функция преобразования, определяющая константы движения системы. Ясно, что таким образом мы придали волновой функции значение, совершенно отличное от того, которое было предложено в предварительной интерпретации раздела 5,
хотя эти две интерпретации находятся в довольно определенном отношении
друг к другу

6. Из-за влияния игнорируемых переменных поля более низкого уровня величины в will, как правило, остаются постоянными только
в течение некоторого ограниченного периода времени. Действительно, при изменении волновой функции интеграл по заданному контуру будет
резко изменяться всякий раз, когда сингулярность S (и, следовательно,
ноль θ) пересекает контур C. Следовательно, в переменных действия для нестационарных состояний будут происходить дискретные изменения, кратные h.

12 ОБЪЯСНЕНИЕ КВАНТОВАНИЯ ДЕЙСТВИЯ

В предыдущем разделе мы разработали теорию, включающую неисчислимую бесконечность переменных поля, в которой есть место для квантования действия в соответствии с обычными правилами квантовой теории. Теперь мы предложим более определенную теорию, которая приведет возможные физические причины, объясняющие, почему действие квантуется по описанным выше правилам, и которая покажет возможные ограничения на область действия этих правил.

Наша основная задача, очевидно, состоит в том, чтобы предложить некоторую прямую физическую интерпретацию функции, которая появляется в фазе
волновой функции (как ψ = R*exp(iS/h)) и которая, согласно нашей теории, также является функцией преобразования, определяющей основные
константы движения (см. уравнение (15)); поскольку, если мы хотим объяснить, почему изменение S по кругу ограничено дискретными величинами, кратными h, мы, очевидно, должны предположить, что S каким-то образом связано к некоторой физической системе таким образом, что exp(iS/h) не может быть
иным, чем однозначным.

Чтобы придать S физический смысл, который приводит к
описанному выше свойству, мы начнем с некоторых модификаций
идеи, первоначально предложенной де Бройлем. Давайте предположим, что
бесконечное множество нелинейно связанных переменных поля в действительности организовано таким образом, что в каждой области пространства и времени, связанной с любым заданным уровнем размера, происходит периодический внутренний процесс. Точная природа этого процесса не важна для нашего обсуждения здесь, поскольку он носит периодический характер (например, это может быть колебание или вращение). Этот периодический процесс определял бы своего рода внутреннее время для каждой области пространства и, следовательно, фактически представлял бы собой своего рода локальные "часы’.

Теперь каждый локализованный периодический процесс по определению имеет некоторую лоренцеву систему отсчета, в которой он остается неподвижным, по крайней мере, в течение некоторого времени
(т.е. в которой он существенно не меняет своего среднего положения
в течение этого времени). Далее мы предположим, что в этой системе отсчета
соседние часы одинакового размера будут находиться
почти в состоянии покоя. Такое предположение эквивалентно требованию о том, что на каждом уровне размера разделение данной области
на небольшие области, каждая из которых содержит свои эффективные часы, имеет определенную регулярность и постоянство, по крайней мере, в течение некоторого времени. Если эти часы рассматриваются в другом кадре (например, в лабораторном), тогда каждый действующий такт будет иметь определенную
скорость, которая может быть представлена непрерывной функцией v(x, t).

Теперь вполне естественно предположить: (1) что в своей собственной системе отсчета времени все часы совершают колебания с одинаковой угловой частотой, которая одинакова для всех часов, и (2) что все часы в одной и той же
окрестности в среднем находятся в фазе друг с другом. В однородном пространстве не может быть причин отдавать предпочтение одним часам
перед другими, равно как и не может быть предпочтительного направления пространства (что подразумевается ненулевым средним значением ψ в остальной системе отсчета). Поэтому мы можем записать

где δτ - изменение собственного времени на часах, и где δ не зависит от δx в этом кадре.

Причина равенства фаз часов в системе отсчета времени для окрестности может быть понята более глубоко как естественное следствие нелинейности, связи соседних часов (подразумеваемой общей нелинейностью уравнений поля
). Хорошо известно, что при наличии такой связи два генератора с одинаковой
собственной частотой имеют тенденцию совпадать по фазе друг с другом. Конечно, относительная фаза будет несколько колебаться, но в долгосрочной перспективе и в среднем эти колебания будут сведены на нет.

Давайте теперь рассмотрим задачу в некоторой фиксированной системе Лоренца, например, в лабораторной системе. Затем мы вычисляем изменение δ
(x, t), которое последовало бы за виртуальным перемещением (δx, δt).
Это зависит только от δr. С помощью преобразования Лоренца мы получаем

Если мы интегрируем δ по замкнутому контуру, то изменение
фазы δc должно составлять 2nπ, где n - целое число. В противном случае
фазы тактовых импульсов не были бы однозначными функциями x и t.
Таким образом, мы получаем

Если мы теперь предположим, что каждый эффективный такт имеет некоторую массу покоя, m_0, и если мы запишем полную энергию перемещения такта,

а для соответствующего импульса

получим

Если мы предположим, что m_0c^2/ω_0 =h (универсальная константа для всех
часов) мы получаем именно тот вид квантования, который нам нужен, для
интегральных схем, включающих поступательный импульс p и
координаты часов x (например, мы можем установить δt = 0, и
уравнение (20) сводится к частному случаю из уравнения (16)).

Таким образом, мы видим, что квантование действия может, по крайней мере в этом частном случае, вытекать из определенных топологических условий, вытекающих из необходимости однозначности фаз синхронизации.

Вышеприведенная идея служит отправной точкой для более глубокого понимания смысла квантовых условий, но ее необходимо
дополнить двумя способами. Во-первых, мы должны рассмотреть
дальнейшие флуктуации поля, связанные с неисчислимой бесконечностью степеней свободы. Во-вторых, нам нужно будет обосновать предположение о том, что отношение m_0c^2/ω_0 =h в уравнении (20) является универсальным для всех локальных часов и равно h.

Для начала напомним, что каждые локальные часы данного уровня
существуют в определенной области пространства и времени, которая состоит из еще более мелких областей, и так далее без ограничений. Мы увидим, что
можем получить универсальность кванта действия h на всех
уровнях, если предположим, что каждая из вышеупомянутых подобластей содержит эффективные часы аналогичного типа, связанные с другими эффективными часами своего уровня аналогичным образом, и что эти эффективные часы структура продолжается бесконечно, анализируя пространство и время на подобласти. Мы подчеркиваем, что это только предварительное предположение, и что позже мы покажем, что от идеи бесконечного продолжения приведенной выше структуры часов можно отказаться.

Чтобы решить эту проблему, мы вводим упорядоченную бесконечность
динамических координат xli и сопряженных импульсов pl i. Среднее положение i-го тактового сигнала на l-м уровне размера представлено xli, а pl i
представляет соответствующий импульс. В
первом приближении величины каждого уровня можно рассматривать как
совокупные координаты следующего набора переменных более низкого уровня; но такая трактовка, как правило, не может быть полностью точной, поскольку на каждый уровень в некоторой степени будут непосредственно влиять все остальные уровни, таким образом, что невозможно полностью выразить их влияние только на величины следующего более низкого уровня
. Таким образом, хотя каждый уровень сильно коррелирует со средним
поведением следующего более низкого уровня, он обладает некоторой степенью независимости.

Приведенное выше обсуждение подводит нас к определенному упорядочению
бесконечности переменных поля, на что указывает природа самой
проблемы. В этом порядке мы рассматриваем ряд
величин, xli и pli, определенных выше, как, в принципе, все независимые координаты и импульсы, которые, однако, обычно
связаны и коррелируют подходящими взаимодействиями.

Теперь мы можем решить эту проблему с помощью канонического преобразования. Мы вводим функцию действия S, которая зависит
от всех переменных xli бесконечного числа часов внутри часов. Как
и ранее, мы записываем

где l' представляет все возможные уровни.

Для констант движения запишем

где интегралы берутся по подходящим контурам.

Каждая из этих постоянных движения теперь строится из интегралов по цепям, включающих pi δxi, но, как мы видели, каждый из этих
тактовых импульсов должен удовлетворять фазовому условию pμ δx
µ = 2nn в любой цепи. Следовательно, сумма удовлетворяет такому условию, которое, в свою очередь, должно выполняться не только в реальных цепях, фактически проходимых часами, но и в любой виртуальной цепи, которая соответствует заданному набору значений констант движения. Из
-за колебаний, исходящих с более низких уровней, всегда
существует вероятность того, что какие-либо часы могут сдвинуться с места в любой из цепей и если константы движения не определены таким образом, что δSc = 2npi, часы, которые достигают одного и того же положения после прохождения различных случайно изменяющихся траекторий, как правило, не будут совпадать друг с другом по своим фазам. Таким образом, совпадение фаз всех часов, которые достигают одной и той же точки в пространстве и времени, эквивалентно квантовому условию.

Самосогласованность приведенной выше обработки теперь может быть проверена в ходе дальнейшего анализа, что также устраняет необходимость во
введении специального предположения о том, что m_0c^2/ω_0 является универсальной константой и равно для всех часов. Теперь все часы рассматриваются как составная система, состоящая из более мелких часов. Действительно, с достаточной степенью приближения каждую фазу часов можно рассматривать как коллективную переменную, связанную с пространственными координатами меньших часов (которые затем представляют внутреннюю структуру рассматриваемых часов). Теперь переменная действия

является канонически инвариантным в том смысле, что она принимает одну и ту же форму с каждым набором канонических переменных и не изменяется в своем значении при каноническом преобразовании. Следовательно, если бы мы перешли к коллективным координатам любого заданного уровня, мы бы все равно получили такое же ограничение I_c на целые числа, кратные h,
даже если бы I_c были выражены в терминах коллективных переменных. Таким образом, коллективные переменные данного уровня, как правило, будут подвержены тем же квантовым ограничениям, что и исходные
переменные этого уровня. Для того чтобы переменные
данного уровня были по существу равны совокупным переменным
следующего более низкого уровня, достаточно, чтобы переменные всех уровней были квантованы в терминах одной и той же единицы действия, h. Таким образом, становится возможным общее последовательное упорядочение несчетного множества переменных.

В этом случае каждый тактовый сигнал будет иметь квантованное значение переменной действия I_c, связанное с его внутренним движением (т.е. с
изменением фазы). Однако предполагалось, что это внутреннее движение фактически соответствует движению гармонического генератора. Следовательно, согласно хорошо известному классическому результату, внутренняя энергия равна E = Jw_0/2π; а поскольку J = Sh, где S может быть любым целым числом, мы получаем E_0 = Sw_0.

Теперь E_0 - это также энергия покоя часов, так что E_0 = m_0c^2.
Следовательно, мы получаем

Это дает нам, исходя из уравнения (20),

и поскольку, в общем случае, S принимает произвольные целые значения, оно также является произвольным целым числом. Таким образом, мы избавляемся от необходимости предполагать отдельно, что m_0c^2/ω_0 - универсальная константа, равная h.

Чтобы завершить этот этап развития теории, мы должны
показать, что рассмотренная выше модель приводит к флуктуациям в
фазовом пространстве переменных заданного уровня в соответствии с
тем, что подразумевается принципом Гейзенберга. Другими словами,
необходимо также показать, что величина действия h дает правильную оценку ограничения на степень самоопределения
величин любого уровня.

Чтобы доказать вышеприведенную гипотезу, мы должны отметить, что каждая переменная колеблется, поскольку она зависит от величин более низкого уровня (для которых она является коллективной координатой). Величины более низкого уровня могут изменять свои переменные действия только на дискретные значения, кратные h. Поэтому не исключено, что область колебаний
данной переменной будет тесно связана с величиной возможных
дискретных изменений в составляющих ее переменных более низкого уровня.

Мы докажем теорему, изложенную выше, для частного случая
, когда все степени свободы могут быть представлены в виде связанных
гармонических осцилляторов. Это упрощение реальной задачи
(которая является нелинейной). Реальные движения будут состоять из небольших систематических возмущений на фоне бесконечно турбулентного
фона. Эти систематические возмущения можно рассматривать как
коллективные координаты, представляющие общее поведение
составляющих локальных часов данного уровня. В общем, такое коллективное движение будет иметь форму волнообразных колебаний, которые
до некоторой степени приближения, совершают простое гармоническое движение. Давайте представим переменные действия и угловые
переменные генератора n-й гармоники через J_n и phi_n соответственно.
В той мере, в какой линейная аппроксимация верна, J_n будет
постоянной величиной движения, а phi_n будет линейно увеличиваться со временем в соответствии с уравнением phi_n = w_nt + phi_{0n}, где w_n - угловая
частота n-го генератора. J_n и phi_n будут связаны с
тактовыми переменными с помощью канонического преобразования, такого как (12). Поскольку обобщенная корреляция Бора-Зоммерфельда (16) является
из этого, инвариантного к каноническому преобразованию, следует, что J_n = Sh, где S - целое число. Более того, координаты и импульсы
этих осцилляторов могут быть записаны как

Теперь мы рассмотрим канонический набор переменных более высокого уровня, скрытые переменные в квантовой теории, конкретную пару которых мы обозначим Q^l_i и n^l_i. В принципе, они будут определяться совокупностью всех остальных уровней. Безусловно, следующий более низкий уровень будет основным, который будет влиять на это определение; тем не менее, остальные все равно будут иметь некоторое влияние. Следовательно, в соответствии с нашими предыдущими обсуждениями, мы должны рассматривать n^l_i
и Q^l_i как принципиально независимые от любого данного
набор переменных более низкого уровня, включая, конечно же, переменные следующего более низкого уровня.

В той мере, в какой линейная аппроксимация верна, мы можем
записать

где a_{in} и β_{in} - постоянные коэффициенты, и где, как мы
помним, предполагается, что n охватывает все уровни, кроме l.

Чтобы было логично предположить, что Q^l_i и n^l_i являются
каноническими сопряжениями, необходимо, чтобы их скобка Пуассона была
равна единице или что

С помощью уравнения (25) это становится

Уравнение (25) подразумевает очень сложное движение для Q^l_i
и n^l_i, поскольку в типичной системе связанных осцилляторов w_n, как правило
, различны и не являются целыми кратными друг друга (за исключением возможных наборов нулевой величины). Таким образом, движение будет представлять собой "заполняющую пространство" (квазиэргодическую) кривую в фазовом пространстве, являющуюся обобщением двумерных фигур Лиссажу для перпендикулярных гармонических осцилляторов, с периодами, которые не являются рациональными кратными друг другу.

В течение временного интервала τ, который является довольно длительным по сравнению с периодами 2π/w_n осцилляторов более низкого уровня, траектория Q^l_i и n^l_i в фазовом пространстве будет, по существу, заполнять определенную область, даже если орбита всегда определена.
Теперь мы рассчитаем средние колебания Q^l_i и n^l+i в этой области,
взяв средние значения за время τ. Отметив, что Q^l_i = n^l_i = 0 для таких
средних значений, мы имеем для этих колебаний,

где мы использовали результат, согласно которому cos δ_m cos δ_n = sin δ_m sin δ_n = 0 для m неравному n (за исключением упомянутого выше набора нулевых измерений,в котором w_m и w_n являются рациональными кратными друг другу).

Теперь мы предположим, что все осцилляторы находятся в своих самых низких
состояниях (с J = h), за исключением набора с нулевой мерой. Этот набор
представляет собой неисчислимое количество возбуждений относительно состояния ‘вакуума’. Из-за их небольшого количества они вносят
незначительный вклад в (∆Q^l_i)^2 и (∆n^l_i)^2.

Поэтому мы задаем J_n = h в уравнении (28) и получаем

Затем мы используем неравенство Шварца

Объединив вышеизложенное с уравнениями (26), (27) и (28), получим

Приведенные выше соотношения, по сути, являются соотношениями Гейзенберга. ∆n^l_i и ∆Q^l_i будут фактически представлять ограничения на степень самоопределения l-го уровня, поскольку все величины этого
уровня, очевидно, должны быть усреднены за периоды времени, большие
по сравнению с 2π/w_n. Таким образом, мы вывели
принцип Гейзенберга из предположения о кванте действия.

Отметим, что уравнение (30) уже было получено в разделе 10
совсем другим способом – путем допущения простых случайных флуктуаций поля, напоминающих флуктуации частиц, совершающих броуновское
движение. Следовательно, бесконечное множество переменных более низкого уровня, удовлетворяющих условиям, что J_n дискретно и равно одной и той же константе h для всех переменных, даст долгосрочную картину движений, которая воспроизводит некоторые существенные особенности случайных
флуктуаций броуновского типа.

Таким образом, мы выполнили нашу задачу по предложению общей физической модели, которая объясняет правила квантования наряду с
соотношениями неопределенности Гейзенберга. Но теперь легко
заметить, что наша базовая физическая модель, включающая бесконечное количество часов внутри часов, оставляет место для фундаментальных изменений, которые выходили бы за рамки современной квантовой
теории. Чтобы проиллюстрировать эти возможности, предположим, что такая структура будет существовать только в течение некоторого характерного времени τ_0, после чего она прекратит свое существование и будет заменена другой структурой. Тогда в процессах, которые требуют времени, намного
превышающего τ_0, часы по-прежнему будут ограничены, по сути, теми
же способами, что и раньше, поскольку их ход не будет существенно изменен более глубокой структурой. Тем не менее, в процессах, требующих времени, меньшего, чем τ_0, не будет причин для применения таких ограничений, поскольку структура уже не та. Таким образом, мы видим, как Jn будет ограничено дискретными значениями на определенных уровнях, в то время как на других уровнях они не обязательно ограничены таким образом.

Для уровней, в которых Jn не ограничивается значением, кратным h,
уравнения (30) для колебаний n^l_i и Q^l_i больше не должны применяться.
Вместо h будет указана величина J_m, среднее действие, связанное с рассматриваемыми уровнями. Кроме того, средние значения (cos phi_m
cos phi_n) могут перестать быть незначительными, поскольку время действия слишком короткое. Таким образом, есть место для всех мыслимых изменений
в правилах определения Jn и в тех, которые определяют
величины флуктуаций, связанные с данным уровнем. Тем не менее, на квантовых уровнях обычные правила будут справедливы с
очень высокой степенью приближения.