Очень, очень интересный вопрос я вынес в заголовок.
Многие не видят в нём ничего странного. Я уж не говорю о том, что классе в 7-8, когда в школе на математике начинают проходить функции, ученики усердно начинают его задавать. Уверен, каждый учитель математики, каждый репетитор слышал хотя бы раз этот вопрос. Ну пусть не вопрос, но как минимум это словосочетание - "решить функцию".
Но что-то в этой фразе настораживает, не так ли?
Что можно решить?
Решить можно "какую рубашку сегодня надеть". Решить можно задачу. Ну, в крайнем случае, решить можно пример или уравнение. Я даже слышал, что некоторые решают интегралы (хотя чаще их всё-таки берут).
Что значит "решить задачу"? Значит выполнить какой-то алгоритм и получить какой-то ответ.
Что значит "решить уравнение"? Найти все корни или доказать, что их нет.
"Решить пример" - выполнить все действия (какие только можно).
Но что значит "решить функцию"? - Это ещё более любопытный вопрос.
Почему функцию "решают"?
Такая "оговорка" имеет несколько взаимосвязанных предпосылок.
Во-первых, до 7 класса на математике дети занимаются только одним - они решают. Решают всё подряд: примеры, задачи, уравнения, пропорции, дроби, корни... Даже, чёрт возьми, треугольники - и те решают!
Всегда математику проходят только так - появляется новый объект, и тут же дети начинают его решать в огромных количествах, чтобы закрепить алгоритм. Во втором классе появляется умножение - начинаем решать примеры на умножение. Появляются задачи - их начинаем решать. Уравнения - святое дело.
Не удивительно, что когда появляется новый объект "функция", дети рвутся его решать. И после многолетнего решения уравнений, фраза "решить функцию" звучит как-то сама собой.
Во-вторых, и кстати - как раз об уравнениях. Функции дети очень часто путают с уравнениями. Даже если понимают, что это разные вещи, всё равно могут назвать функцию уравнением, потому что визуально они очень похожи.
А раз похожи внешне, значит, похожи и по сути - детей всю жизнь учат ориентироваться на внешние признаки (скажем, "признаки задач на движение в одном направлении"). И значит, с функциями делать можно ровно то же, что и с уравнениями.
У ребёнка просто не возникает мысли, что с функциями можно делать что-то другое, кроме как решать.
Кто первый встал - того и тапки
И тут возникает шикарная цепочка.
Ребёнок сталкивается с новым объектом (функция), и тут же задаётся вопросом "как решать?" - потому что это естественный для него вопрос.
Вопрос "как решать?" подразумевает только один вариант ответа - алгоритм. Список действий. Никаких пониманий, никаких "подумай". Если ребёнок уже задал этот вопрос, его удовлетворит только алгоритм с чёткими и однозначными шагами.
А так как на на каждый объект у нас есть всего один алгоритм (максимум - два), то первый же алгоритм, в котором будет использовано понятие "функция" в условии, будет воспринят ребёнком как "алгоритм решения функции".
Функция - это один из первых объектов в школе, с которым можно и нужно делать много разных вещей. Но с чего бы учитель ни начал - сработает первый алгоритм.
Даже если учитель будет "говорить" на уроке со всей математической строгостью - "построй график", "найди область определения", "исследуй на монотонность"... Это не поможет. Это будет лишний шум, который затмит только один вопрос "как?".
Исследование функции - пожалуйста. Через год дайте ребёнку задание с функцией с формулировкой "реши-ка", он проведёт алгоритм исследования. Минимумы, нули, промежутки... - кто что учил.
Построение графика - ещё лучше. "Решение функции" будет заключаться в построении графика. А что? В геометрии же "решение" тоже включает рисование картинок.
Кстати, я сталкивался с таким, что в качестве "решения функции" было дифференцирование. Или ещё интересный случай - юноша уловил в задачах на функции то, что из них часто делают уравнения f(x)=0, и решают его. После чего из всех функций делал уравнения и решал их - в любой задаче. Особенно интересно было наблюдать его решение задачи "построить график функции y=x²+4" в виде правильного графика под которым написано "x1=2, x2=-2"
Фундаментальная проблема
На самом деле все эти проблемы произрастают из одной - фундаментальной.
Тотальная подмена математики сборником алгоритмов.
На самом деле ученику не нужны определения, не нужны теоремы... Ему нужен чёткий алгоритм и признаки, по которым можно можно понять, что применить требуется именно этот алгоритм.
Дайте ему матрицы - он будет "решать матрицы". Лишь бы алгоритм не слишком длинный, чтобы в память влез.
Почему так? Да потому что он привык. Его всю жизнь, с детского сада учили - "сначала выучи, а потом поймёшь". "Количество перерастёт в качество".
Ну вот и получайте. Потом ребёнок действительно понял. Понял, что единственное, что нужно - это учить. Учить алгоритмы, учить таблицы, учить даты, учить неправильные глаголы, учить учить учить.
А думать - не, думать не надо. Зачем думать, если уже есть алгоритм.
PS.
И очередное руководство к действию: как только ребёнок в классе или дома произнёс эту фразу "решить функцию" тут же остановите его и попросите дать письменный ответ на вопрос "что значит решить функцию?". Многие иллюзии разобьются об этот ответ. Многие.