Немного теории
Степень точки
относительно данной окружности - это число d*d - R*R, где d — расстояние от точки до центра окружности, a R — радиус окружности.
Из определения следует, что точки вне окружности имеют положительную степень, точки внутри окружности — отрицательную, а точки на окружности — равную нулю.
Радика́льная ось
геометрическое место точек, степени которых относительно двух данных окружностей равны. Для не концентрических окружностей, это прямая, перпендикулярная линии центров:
Что касается концентрических окружностей, где оба расстояния d — расстояния от точки до центра окружности— конечно же, равны, то радикальной осью будет любая прямая в любом направлении, но удалённая на бесконечность от обеих окружностей. То есть, в практическом смысле, например для расчётов и построений, это не имеет смысла.
Ортогональная окружность
пересекает данную окружность так, что касательные к этим двум окружностям в точках пересечения перпендикулярны друг другу. На первом рисунке штриховой линией показаны ортогональные окружности - их центр находится на пересечении радикальной оси и прямой, проходящей через центры двух окружностей. Радиус ортогональной окружности легко определяется по теореме Пифагора.
Инверсия
- как выбрать окружность инверсии и полюс инверсии, чтобы неконцентрические окружности преобразовались в концентрические.
Что такое инверсия, я писал ранее:
Далее порядок действий таков:
- Строим ортогональную окружность по методике, указанной выше;
- Выбираем центр окружности инверсии (полюс инверсии) в одной из двух точек пересечения ортогональной окружности с горизонтальной осью - как нам удобнее, лучше в дальней - это повысить точность вычислений. На первом рисунке вверху это точки A и B;
- Выбираем радиус окружности инверсии - такой, какой нам удобен, желательно побольше - он не влияет на концентричность инвертированных окружностей, но также влияет на точность вычислений.
- Итак, окружность инверсии определена - теперь две неконцентрические окружности будут инвертированы в две концентрические окружности.
Алгоритм геометрических построений в программе.
Программа позволяет строить цепь Штайнера как для симметричного кольца, так и для несимметричного.
Программа построения цепи Штайнера для симметричного кольца описана здесь:
В двух словах, всё должно быть понятно из следующего чертежа:
Программа построения цепи Штайнера для несимметричного кольца использует точно такой же алгоритм, но предварительно неконцентрические окружности инвертируются в концентрические, и весь расчет построений идет в этой неотображаемой области. Затем рассчитанные окружности цепи инвертируются обратно и изображаются.
Описание программы.
Программа находится здесь:
Меню программы не требует каких-то пояснений (слайд-шоу пока в процессе - будет позже уже сделано и работает).
Надо отметить, что цепь Штайнера для несимметричного кольца характеризуется ещё двумя геометрическими фигурами:
- Центры окружностей цепи лежат на эллипсе, один из фокусов которого находится в центре большой окружности (желтый цвет на рисунке внизу).
- Точки касания окружностей цепи между собой лежат на окружности, центр которой находится на продольной оси вышеупомянутого эллипса (бирюзовый цвет на рисунке внизу).
Кстати, на картинке вверху изображена ЗАМКНУТАЯ цепь Штайнера из 11-и звеньев.
То, что мы можем вращать её с помощью слайдера "Угол начала цепи,°", и окружности не наплывают друг на друга, уже доказывает поризм Штаенера, описанный ранее:
Приятного просмотра и спасибо за внимание!
∎