Тем, кто работает в школе или вообще общается с детьми лет 13-17, думаю, знакома такая оговорка: ученик говорит "уравнение", а имеет в виду формулу или функцию. Или может говорить о том, чтобы "решить функцию".
Что это - простая оговорочка?
Конечно же нет.
Конечно же, такая "оговорка" очень часто свидетельствует о тотальном непонимании, при чём всех трёх вещей - и функций, и формул, и уравнений.
Почему их так легко путают
Ученики школ (как и многие взрослые) пытаются воспринимать науку по внешнему виду.
Если что-то похоже на уравнение, значит, это - уравнение.
Что делает уравнение похожим на уравнение? Две вещи: буква и знак равенства. То есть, если написать любую запись, в которой есть буква и знак равенства, то ученик назовёт это уравнением.
Запись y=3x²+2x-1 внешне очень похожа на уравнение (есть буква и знак равенства). Значит, это уравнение.
Причины такого отношения - весьма комплексные.
Определения
Во-первых, играет важную роль отсутствие чёткого определения уравнения, формулы и функции. Сейчас кто-то скажет, что детям эти определения даются, что проблема не в отсутствии, а в том, что дети не учат, или учат, но применить не могут... Ну да, есть такие - не учат, не могут применить.
Но давайте взглянем на определение хотя бы уравнения. Уравнения когда проходят? Во 2 классе. Какое определение уравнения даётся в учебнике?
Дословно в учебнике написано следующее:
4+[]=6; 6-4=2; 4+2=6; 6=6;
В этом равенстве неизвестно слагаемое. Чтобы найти неизвестное слагаемое, надо из суммы вычесть известное слагаемое.
x+3=10; x=10-3; x=7; 7+3=10; 10=10
В этом равенстве неизвестное слагаемое обозначили латинской буквой x (икс).
Получилось уравнение.
Число 7 - решение уравнения x+3=10, так как 7+3=10.
Просто неизвестное слагаемое обозначили - и сразу получилось уравнение. И это, между прочим, учебник Гейдмана, который считается "для сильных". А что творится в петерсонском пособии, я даже приводить не буду.
То есть, определения в учебнике вместо того, чтобы давать смысл определения (уравнение - равенство, содержащее неизвестную величину), напротив, напирают на внешний вид - "обозначили буквой".
В последующие годы обучения ни в одном месте не возникает ситуации, чтобы это псевдо-определение не сработало. И к 7 классу оно укрепляется.
Психология и внутренние определения
Дальше работает психология. У ребёнка с 1-2 класса сформировано внутренне определение, что уравнение - это запись с буквой. Кода в 7-8 классе дело доходит до формул и функций, он видит... запись с буквой. Ему не нужно новое определение. Он же точно знает, что это - уравнение. Поэтому как учитель ни старается, а новое определение просто не будет запомнено.
Да, ученики не учат определения. Но они не учат их, потому что одно определение у них уже есть. Второе просто создаст путаницу, из которой мозг не сможет выплыть сам.
Это совершенно стандартный и хорошо изученный паттерн поведения. В психологии может называться "эффект утёнка" или "эффект гусёнка".
Взаимные превращения
Во-вторых, формулы, уравнения и функции в ряде случаев можно (и даже нужно) заменять друг на друга. Скажем, функцию y=x²-2x+1 для решения задания часто надо "превратить" в уравнение x²-2x+1=0. А ещё её отлично можно (нужно) "превратить" в формулу x²-2x+1=(x-1)².
Это не просто похожие записи. Это одна и та же запись, которая в разных ситуациях трактуется по-разному.
Да, опытный математик легко из контекста поймёт, когда эта запись должна восприниматься как функция, а когда - как уравнение. Но ученики этих тонкостей ещё не знают. А учитель и не проговаривает (да и проговаривать бесполезно).
От этого "контекстного" превращения у ребёнка ещё больше возрастает путаница в голове.
Решение проблемы
Как избежать этой путаницы? Ну, учителя предлагают тут разные способы. От "долбать их всё время" до "с этим ничего нельзя сделать".
Однако, воз, как говорится, и ныне там.
Тем не менее, если обратиться к первопричинам (психологии) проблемы, можно разработать более или менее рабочую стратегию поведения.
Дети ориентируются на внешний вид? Давайте разработаем задания, когда опора на этот способ даёт неправильный результат. Попросту говоря, провокационные задания. Это не гарантирует успех, но повысит вероятность того, что отдельно взятый ребёнок будет ориентироваться не только на внешность.
А вообще, у меня есть готовые методики из серии "бери и делай" для формирования верного понимания каждого из этих понятий. Всё те же "волшебные листочки", о которых я уже много писал. Думаю, со временем я опубликую их целиком или хотя бы частично.
