Математика считается точной наукой. Это же относят к геометрии, её разделу. Но в школьной геометрии есть одно интересное исключение.
Доказательство.
Доказательство в школьной геометрии "не точное". Даже если в нём присутствуют формулы, геометрические значки и так далее - это литературный текст, а не точный "алгоритм".
Вот пример.
Докажите, что если медиана треугольника является его биссектрисой, то этот треугольник - равнобедренный.
Доказательство. Рассмотрим треугольник 𝐴𝐵𝐶, у которого отрезок 𝐵𝑀 — медиана и биссектриса. Надо доказать, что 𝐴𝐵=𝐵𝐶. На луче 𝐵𝑀 отложим отрезок 𝑀𝐷, равный отрезку 𝐵𝑀. В треугольниках 𝐴𝑀𝐷 и 𝐶𝑀𝐵 имеем: 𝐴𝑀=𝑀𝐶 (так как по условию 𝐵𝑀 — медиана), 𝐵𝑀=𝑀𝐷 по построению, углы 𝐴𝑀𝐷 и 𝐶𝑀𝐵 равны как вертикальные. Следовательно, треугольники 𝐴𝑀𝐷 и 𝐶𝑀𝐵 равны по первому признаку равенства треугольников. Тогда стороны 𝐴𝐷 и 𝐵𝐶, углы 𝐴𝐷𝑀 и 𝐶𝐵𝑀 равны как соответственные элементы равных треугольников. Так как 𝐵𝐷 — биссектриса угла 𝐴𝐵𝐶, то ∠𝐴𝐵𝑀=∠𝐶𝐵𝑀. Поскольку ∠𝐶𝐵𝑀=∠𝐴𝐷𝑀, то получаем, что ∠𝐴𝐵𝑀=∠𝐴𝐷𝑀. Тогда получаем, что треугольник 𝐷𝐴𝐵 — равнобедренный, откуда 𝐴𝐷=𝐴𝐵. И уже доказано, что 𝐴𝐷=𝐵𝐶. Следовательно, 𝐴𝐵=𝐵𝐶.
Доказательство взято с сайта ГДЗ, и наверняка проверено и оценено уже не одним учителем.
Это текст. В котором есть совершенно не "точные" слова "рассмотрим", "следовательно", "тогда получаем", "поскольку"... Хотя, безусловно, создают научный стиль повествования.
Где здесь точность, присущая математическим формулам? Какие-то туманные формулировки "имеем", "получаем".
В этой статье я хочу разобрать два важных момента в доказательствах геометрии, которые очень часто остаются "за кадром" во время обучения даже в очень сильных школах и классах.
Размытость формулировок
Сплошная портянка частично геометрического текста примерно со второй строки вводит ученика в уныние. Подчас в этих текстах разобраться трудно даже учителю. Что уж говорить о том, что допустить ошибку очень легко?
Такой текст не просто разложить на "атомы" - примитивные шаги. За одним словом может скрываться два определения к ряду, а может и за целой фразой не скрываться ничего.
Формулировки не просто размыты, они наполнены какими-то умолчаниями. В одном месте говорится, что равенство треугольников обеспечивается теоремой, а в другом месте равенство углов как-то следует из факта биссектрисы, но по какой теореме - не сказано, мол, догадайтесь сами.
Это, кстати, подводит нас ко второй части.
Глубина доказательства и умолчания
В доказательстве есть такой момент:
𝐴𝑀=𝑀𝐶 (так как по условию 𝐵𝑀 — медиана)
В учебнике за 7 класс вы не найдёте такой теоремы или аксиомы, которая говорила, что из того, что есть медиана, следовало бы равенство отрезков. Нет такого.
Есть определение медианы, но в нём говорится не о равенстве отрезков, а о середине отрезка. А вот в определении середины как раз и говорится о равенстве.
То есть, связка "𝐵𝑀 — медиана => отрезки равны" - голословна, ни на что не опирается. И, следовательно, не может быть принята, как легитимное доказательство.
С другой стороны, доказать это можно всего в один шаг - воспользоваться определениями медианы и середины.
Удобство и строгость
Все эти моменты - литературно размытые формулировки, умолчания - естественно, сделаны "для удобства".
Это действительно удобно.
Но удобно - для чего?
Удобно, чтобы записать, удобно, чтобы прочитать, передать. Даже удобно, чтобы завуалировать ошибки.
Но удобно ли для того, чтобы научить доказывать?
А вот это вопрос - так вопрос.
Если этот текст крайне тяжело разложить на "атомы", в нём откровенно пропущено что-то (что считается "само собой разумеющимся"), формулировки не чёткие... То легко ли по нему будет разобраться ученику, который вообще с геометрией знаком только пару месяцев-то?
Конечно, нет.
То есть, если нам нужно доказать факт, что треугольник равнобедренный, такое доказательство пойдёт. Но если нам нужно обучить кого-то доказательству, то трудно придумать что-то хуже, чем такой текст.
А ведь именно по таким текстам учат. Пытаются учить.