Поступил интересный вопрос:
Не могли бы Вы прояснить вот какой вопрос.
Насчет смещения перигелия Меркурия. Вы писали что это не следствие запаздывания передачи гравитационного взаимодействия, а именно следствие искажения пространства-времени. В частности времени. Но мне непонятно почему элипс орбиты должен постоянно смещаться куда-то. Даже если время там идет быстрее. Мне кажется смещать орбиту может либо влияние других планет, либо неравномерное распределение масс внутри Солнца.
Итак, прежде всего: дело не в запаздывании взаимодействия, уже просто потому, что эффект сильнее всего для самого близкого Меркурия, а не для отдаленных планет, до которых "сигнал" летит намного дольше. Да и нет никакого "сигнала", так как систему Солнце-Меркурий можно считать статичной. Вектор ускорения направлен на Солнце, несмотря на задержки. Это всё мы обсуждали неоднократно.
Теперь вкратце откуда берётся поправка к орбите и нарушение эллиптичности этой самой орбиты.
Парадигма ОТО: пространство-время обладает кривизной, а в пространстве с кривизной может не быть прямых (обычных, школьных), а вместо них "геодезические", которые можно назвать "прямыми путями". Все мы знаем, что такое "прямо" ехать/лететь/плыть, хотя понимаем, что описываем при этом дугу по поверхности Земли, на которой евклидовых прямых вообще нет. Вот, тут то же самое: "прямой" путь будет искривлён просто потому, что пространство с кривизной, а кривизна пути физически -- это ускорение.
Последнее очень понятно: если траектория искривлена в пространстве, то скорость меняется по направлению и движение ускоренное, это в школе проходят. А если траектория прямая в пространстве, но есть ускорение, то она кривая в пространстве-времени, просто потому что прямая это только at+b, и ускорение тогда равно нулю.
Уравнение Эйнштейна (можно для пустого пространства, чтобы не усложнять себе жизнь тензором энергии-импульса) позволяет записать уравнение геодезической линии. Слева у него вторая производная по времени, это с натяжкой ускорение. Справа -- производные компонент метрического тензора.
Если тензор этот постоянен, то производные констант нули и ускорение нулевое, что означает равномерное прямолинейное движение. Всё правильно: в пространстве без кривизны метрический тензор может быть (в подходящих коориданатах) постоянным, а тогда в этих координатах путь прямой; но тогда он в любых координатах прямой (путь от координат не зависит), а это первый закон Ньютона: нет гравиации (и других сил, их изначально нет в задаче) и движение по прямой в пространстве-времени, то есть по прямой и с постоянной скоростью.
Теперь посмотрим на слагаемые справа. Там производные компонент метрического тензора, но они могут быть очень разные по величине. Наиболее значительна компонента, стоящая при времени, то есть как раз его, времени, замедление. Его вид (1-a/r), где r это расстояние до центра звезды (скажем), при условии, что r больше радиуса самой звезды (ведь мы в пустом пространстве), а a -- радиус Шварцшильда. Если подставить формулу для этого самого радиуса, получится (c ⁻² - GM/r). При взятии производных постоянная исчезнет, и в итоге результат совпадает с гравитационным потенциалом Ньютона. То есть вывод из уравнения Эйнштейна совпал с законом Ньютона: мы получили результат "ускорение равно градиенту величины, совпадающей с потенциалом Ньютона", а Ньютон говорил, что "гравитационное ускорение равно градиенту потенциала".
При этом Ньютон постулировал, что сила пропорциональна массе тела, что крайне странно: откуда Солнце знает, с какой силой притягивать тела разной массы, если масса -- это про инерцию и никакого, казалось бы, отношения к гравитации не имеет. В ОТО же тела вообще нет в задаче! Мы написали уравнение геодезической, то есть "самой прямой линии из возможных", а то, что это траектория тела, любого вообще -- это к делу не относится. Лишь бы масса тела была достаточно малой, чтобы не создавать собственную кривизну и не влиять на уравнение геодезической. Есть положение, есть скорость (всё это описано направлением в пространстве-времени) и всё полетит по одной и той же траектории. Таким образом, в ОТО мы сразу получили траекторию, в частности ускорение g, которое для всех едино, а по второму закону Ньютона теперь "сила", которая тут вообще теперь лишняя, пропорциональна массе: F=mg.
Что дальше происходит, если мы изучаем теорию Ньютона-Кеплера? Мы решаем полученное дифференциальное уравнение и после некоторой технической возни получаем решение: эллипс. Замкнутая кривая, по которой с меняющейся по некоторому закону скоростью обращается планета.
Теперь ещё немного уточним задачу. Мы пренебрегли всеми слагаемыми, кроме главного, наибольшего. Но можем учесть и остальные, хоть они и малы. Можно для упрощения что-то там считать постоянным, чем-то пренебречь, детали в учебниках -- но в уравнении появлется что-то ещё. То есть ускорение теперь не равно в точности градиенту потенциала, а есть ещё маленькая добавка. Как эта добавка влияет на решение?
Уравнение можно считать линейным, так как добавка и так мала, можно все нелинейности отбросить (они ещё мельче). Линейное уравнение же можно решать по частям: сначала без добавки -- это кеплеров эллипс, а потом добавить частное решение, какое-нибудь, удобное. Так вот оказывается, что эта добавка к решению есть "медленное вращение", то есть планета к за период не возвращается в исходную точку, и новый "эллипс" начинается уже с другого положения. Он за "год" опять будет почти эллипсом, но опять промахнётся -- и так далее.
Можно, несколько греша против строгости, сказать, что форма уравнения получается такая же, ускорение равно граденту потенциала -- но потенциал отличается от ньютонова некоторой маленькой добавкой. А доказано, что замкнутые орбиты возможны только для некоторых потенциалов. Вот эта добавка всё и портит.
С другой стороны эти самые добавки, если их корректно учесть, приводят к тому, что вектор ускорения направлен точно на звезду, а не туда, где звезда была какое-то время назад. Если мы возьмём Нептун, до которого 2.7 световых часа, то вектор его ускорения направлен на Солнце, а не на ту точку, где Солнце было 2.7 часа назад, когда Нептун был в другом месте своей орбиты.
Само по себе замедление времени нервировать не должно. Для отдаленного наблюдателя всё выглядит так, что чуть ближе к звезде время идёт чуточку медленнее, чем чуть дальше от звезды, то есть край планеты, который ближе к Солнцу имеет скорость немного меньше, чем дальний. Получается эффект "вязкой обочины", когда скорость бортов автомобиля по какой-то причине различна. Можно сконструировать трассу так, что автомобиль будет за счёт этго эффекта двигаться по кругу: руль стоит прямо, но машину заносит в сторону вязкой обочины кольцеобразной дороги. И это, кстати, от массы автомобиля не зависит, при условии, что скорости бортов итакие, как надо.
Ответ на вторую часть вопроса последует далее.