Впервые отмеченную Гейзенбергом в 1938 году зависимость масштаба
масс элементарных частиц от фундаментальной длины 𝑙_0 далее (в 1952 г.)
продолжил Ёитиро Намбу в работе [1] (впоследствии Нобелевский лауреат 2008 года за открытие механизма спонтанного нарушения симметрии). Намбу обратил внимание на существование эмпирических («бальмероподобных») зависимостей в спектре масс элементарных частиц, подчиняющихся следующей формуле:
где 𝑁 – положительное число, 𝑚_e – масса электрона. В дальнейшем эмпирические зависимости этого вида изучались многими авторами (см. литературу в [2–5]).
Формула Намбу может быть записана также через постоянную тонкой
структуры:
что приводит к так называемому α-квантованию масс элементарных частиц.
В связи с вышеизложенным возникает следующая задача: дать теоретико-групповую интерпретацию эмпирических зависимостей в бальмероподобных формулах спектра масс, то есть дать теоретическое обоснование
числа 𝑁 в формуле Намбу. Решение задачи даётся следующей массовой формулой (вывод формулы см. в [4,5]):
Здесь l и \dot{l} - квантовые числа, задающие собственные значения l(l+1) и \dot{l}(\dot{l}+1) операторов Казимира 𝐗^2 и 𝐘^2 группы Лоренца. Первый вариант этой формулы был дан в статье [6].
Массовая формула ассоциирована с каждым узлом весовой диаграммы алгебры Ли sl(2,C) группы Лоренца, показанной на рис. 1.
На осях двумерной системы координат (весового пространства) обозначены собственные значения генераторов Картана X_3 и Y_3. Основное состояние (0, 0) (центр весовой диаграммы, см. рис. 1) соответствует циклическому
вектору | τ_0,0 ), т.е. вакуумному вектору, где τ_0,0 - единичное представление группы SL(2, C) ≃ Spin_+(1, 3). Вакуумный вектор соответствует стационарному состоянию спектра материи с наименьшей энергией. Из массовой формулы следует, что mground = m_e/2. Все остальные состояния на весовой диаграмме достигаются из основного состояния (0, 0) с использованием энергии mground посредством действия лестничных операторов (генераторов Вейля X±, Y±). Представление спектра материи в рамках весовой диаграммы алгебры sl(2,C) позволяет рассматривать всю совокупность состояний (частиц) как единую квантовую систему.
Показано (см. [5]), что массы состояний в лептонном и адронном секторах
спектра материи пропорциональны массе покоя электрона (кванту массы)
в среднем с точностью 0,41%.
В последнее время редукционистская идеология уступает место своей противоположности - холистическому подходу. Становится очевидным, что квантовые явления по своей сути холистичны, а квантовые системы по своей природе несепарабельны. Этот ключевой факт подтверждается многочисленными экспериментальными проверками неравенств Белла. Квантовая механика нелокальна и, следовательно, не нуждается в привязке к пространству-времени. Поскольку физика элементарных частиц полностью работает в области квантовых явлений, пространство-время не требуется для построения модели элементарных частиц, и следует заменить традиционную локализацию в пространстве-времени чисто холистической структурой. В отличие от холизма редукционизм вообще не даёт решения проблемы спектра масс (это 14-я проблема из списка Гинзбурга). Редукционизм не позволяет охватить весь спектр в целом, т. е. представить всю совокупность элементарных частиц как единую квантовую систему. А именно такое представление спектра частиц является главным (выигрышным) преимуществом холизма. В кварковых моделях (SU(3) и SU(6)) есть массовые формулы (Гелл-Манна-Окубо, Бега-Cинга), но их точность не превышает 4%. Повышение точности в холистической модели возможно, если перейти к более высокой симметрии, от группы Лоренца к конформной группе, но это потребует такой огромной вычислительной работы, что я даже не берусь к ней подступиться сейчас.
ЛИТЕРАТУРА
1. Numbu Y. An Empirical Mass Spectrum of Elementary Particles // Prog. Theor. Phys. 1952. Vol. 7. P. 595-596.
2. Варламов В. В. Квантование массы и группа Лоренца // Математические структуры и моделирование. 2017. № 2 (42). C. 11–28. https://msm.omsu.ru/jrns/jrn42/varl1701.pdf
3. Varlamov V.V. Lorentz Group and Mass Spectrum of Elementary Particles. 2017. URL: arXiv: 1705.02227 [physics.gen-ph]. https://arxiv.org/abs/1705.02227
4. Варламов В.В. О квантовании массы // Метафизика, 2023, № 1 (47). С. 115-134. https://hlrsjournal.ru/metaphysics/article/view/34309
5. Varlamov V.V. Group Theory and Mass Quantization. 2023. https://arxiv.org/abs/2311.16175
6. Varlamov V. V. Spinor Structure and Internal Symmetries // Int. J. Theor. Phys. 2015. Vol. 54. P. 3533–3576. https://arxiv.org/abs/1409.1400