Есть вещи, в которые веришь с детства. Например, в то, что если что-то правда, то это обязательно можно доказать. Может быть, не сразу. Может быть, придется помучиться. Так, например, Эндрю Уайлс, который 350 лет спустя после Ферма доказал его Великую теорему. Триста пятьдесят лет! Целая вечность, потраченная на поиски одной единственной истины. Но Уайлс ее нашел. И все выдохнули: мир снова в порядке, справедливость существует, а правда всегда находит свое доказательство!
Мы до сих пор живем в этой уверенности. На этом стоят наши законы, наши споры на кухне и наша вера в науку. Мы хотим, чтобы мир был логичной, понятной и доказуемой системой. Набором правил, из которых, как по нотам, можно вывести любую мелодию истины.
В 1931 году, в эту уютную картину мира вошел тихий австрийский логик по имени Курт Гёдель и сказал: «Джентльмены, боюсь, у меня для вас плохие новости».
Новость Гёделя была простой, но ошеломляющей: существуют утверждения, которые являются абсолютно истинными, но доказать их невозможно. Никогда. Ни в рамках нашей математики, ни в рамках любой другой, которую мы когда-либо сможем придумать. Между «истиной» и «доказательством» может оказаться неоприодолимая пропасть.
Достаточно вспомнить старый парадокс. Представьте карточку, на одной стороне которой написано: «Утверждение на другой стороне — ложно». Вы переворачиваете, а там: «Утверждение на другой стороне — истинно». Если первое истинно, то второе ложно, а значит, первое ложно. И так по кругу, до бесконечности. Забавный словесный трюк, не более.
Но Гёдель перенес этот трюк из языка в мир математической логики. Он придумал, как заставить математику говорить о самой себе. Он присвоил каждому математическому утверждению уникальный номер, как ASCII-код для буквы на экране компьютера. И вдруг оказалось, что внутри самой математики можно сформулировать фразу, которая звучит примерно так:
«Это утверждение невозможно доказать в рамках существующих аксиом».
Дальше — чистая логика. У этого утверждения, как у любого уравнения, есть только два варианта: оно либо истинно, либо ложно.
Предположим, оно ложно. Значит, его можно доказать. Но если мы что-то доказали, это по определению должно быть истиной. А мы начали с того, что оно ложно. Противоречие. Система рушится.
Значит, остается только один вариант: это утверждение истинно.
А теперь перечитайте его еще раз. Мы только что пришли к выводу, что это — истина. А говорит оно о том, что его невозможно доказать. Вот она — истина, у которой никогда не будет доказательства. Гёдель поймал математику в ее собственную ловушку.
И что с того? — спросите вы. Какое мне дело до игр логиков начала прошлого века?
Сначала все думали, что это касается только вот таких хитрых, самореферентных фраз. Что это не затронет «настоящую» математику — например, гипотезы о простых числах, над которыми бьются лучшие умы. Но вскооре нашлись абсолютно «нормальные» утверждения о числах, которые оказались истинными, но недоказуемыми.
Например, гипотеза Гольдбаха (каждое четное число больше двух — сумма двух простых) может быть правдой. Всегда. Для всех чисел до бесконечности. Но мы, возможно, никогда не сможем этого доказать. Просто потому, что так устроен мир.
Теорема Гёделя — это не про слабость математики, а про фундаментальное правило жизни. Оно говорит, что ни одна система — ни математическая, ни юридическая, ни философская — не может быть полной. В ней всегда будет что-то, что выходит за ее пределы. Всегда будет истина, которую можно только почувствовать, но не уложить в прокрустово ложе доказательств.
Мы строим искусственный интеллект, надеясь, что он все просчитает и даст нам окончательные ответы на все вопросы. Но в самой основе его логики заложена бомба замедленного действия, на которую еще сто лет назад нам указал Курт Гёдель. Он наглядно показал, что у любого научного знания есть свой предел.
И, возможно, в этом нет ничего плохого. Это оставляет место для веры. Для интуиции. Для того прыжка в неизвестность, который и делает нас людьми. Мир — не идеально работающий механизм, а вечно незавершенный проект познания. И это, пожалуй, лучшая новость из всех.
* * *
Краткая биография
Курт Фридрих Гёдель (1906–1978) — австрийский, а затем американский логик, математик и философ, считающийся одним из величайших мыслителей XX века.
Он родился 28 апреля 1906 года в городе Брюнн, Австро-Венгрия (ныне Брно, Чехия). В 18 лет поступил в Венский университет, где сначала изучал физику, но вскоре переключился на математику. В Вене он был участником знаменитого Венского кружка, где проявлял глубокий интерес к математической логике.
В 1931 году, в возрасте 25 лет, он опубликовал свою самую известную работу — теоремы о неполноте, которая принесла ему мировое признание. После прихода нацистов к власти в Австрии Гёдель эмигрировал в США в 1940 году, где получил должность в Институте перспективных исследований в Принстоне. Там он стал близким другом Альберта Эйнштейна, с которым они часто обсуждали вопросы физики, философии и политики.
К концу жизни у Гёделя развились серьёзные проблемы с психическим здоровьем, в частности, параноидальный страх быть отравленным. Он доверял только еде, приготовленной его женой Адель. После её смерти он практически отказался от пищи и скончался от истощения 14 января 1978 года.
Вклад в понимание окружающего мира
Вклад Гёделя кардинально изменил не только математику, но и наше представление о границах знания в целом.
- Теоремы о неполноте. Это главное достижение Гёделя. Он доказал, что любая достаточно сложная формальная система (например, арифметика) неизбежно является либо неполной (то есть в ней существуют истинные утверждения, которые невозможно доказать средствами самой этой системы), либо противоречивой (в ней можно доказать и утверждение, и его отрицание). Это открытие разрушило многовековую мечту математиков о создании полной и непротиворечивой системы аксиом, из которой можно было бы вывести все математические истины.
- Пределы формального знания. Работа Гёделя показала, что истина и доказуемость — не одно и то же. Существуют истины, которые лежат за пределами досягаемости любой формальной системы. Этот вывод имеет колоссальные последствия для философии, информатики и искусственного интеллекта, указывая на фундаментальные ограничения логических и вычислительных систем.
- Работы в физике и теории множеств. Гёдель также внёс вклад в другие области. Он нашёл решение уравнений Эйнштейна в общей теории относительности, которое теоретически допускало возможность путешествий во времени (метрика Гёделя). Кроме того, он получил важные результаты, связанные с континуум-гипотезой в теории множеств.