На днях мне задали пару вопросов:
1) «Почему дети быстро начинают говорить, а математику осваивают с трудом?»
2) «Как древние люди изобрели математику?»
Для торопящихся – сразу приведу краткие ответы:
1) История цивилизации идёт рука об руку с развитием математики. Чем лучше наши предки узнавали математику, тем больше применений для неё находилось и тем большего они могли достичь. Математика – это язык мироздания, который открывается вслед за тем, как растёт наше понимание окружающего мира.
2) Ребёнок рождается с совсем небольшим набором врожденных умений. В первые годы жизни он должен понять, как управлять своим телом и предметами в реальном мире, как сообщать родителям о своих нуждах, как понимать, чего хотят окружающие, и так далее. Только после 12 (приблизительно) лет в полной мере формируется способность к абстрактному рассуждению, необходимая для изучения математики.
А далее, для интересующихся, будут даны более развёрнутые объяснения.
В основе наших нынешних теорий развития детей лежат, среди прочего, идеи швейцарского психолога Жана Пиаже. Его теория развития интеллекта называется «операциональной»: Пиаже считал, что интеллект представляет собой совокупность взаимозависимых операций, которыми может пользоваться человек.
Точно также, как для решения математической задачи мы должны выполнять действия сложения, вычитания, умножения и так далее, чтобы выполнить любую задачу наш разум должен выполнить сложную цепочку элементарных операций.
Знание этих операций – не врождённое, а приобретённое, и получается ребёнком в ходе сменяющих друг друга этапов развития. В ходе этих этапов ребёнок приобретает, сначала, навыки управления своим телом и взаимодействия с окружающим миром. Затем следует речь и общение, умение рассуждать о гипотетических событиях, строить предположения о будущем.
Кратко опишем стадии развития, которые ребёнок должен пройти в своем развитии перед тем, как получит возможность развить математические навыки.
1. Сенсомоторная стадия развития начинается при рождении и завершается в момент развития речи. На этой стадии ребёнок изучает свойства объектов физического мира, важнейшее из которых – свойство постоянства объектов (мама продолжает существовать, когда ребёнок её не видит).
2. Преоперациональная стадия, продолжающаяся с развития речи до 7 лет, приводит к развитию эгоцентричной речи, умения выразить свои желания и потребности, до-логического мышления – интуиции. Мем «дети невероятно тупы» изображает как раз ребёнка на преоперациональной стадии.
3. Логическое мышление ребёнок приобретает на «стадии конкретных операций», которая продолжается до 11 лет. Именно в этом промежутке развивается понимание основных логических законов и способность к рассуждениям о конкретных предметах. Гипотетическое мышление ещё не развито на этом этапе: ребёнок ещё не может абстрагироваться от свойств объекта и рассуждать об именах и классах.
4. Наконец, с 11 до 14 лет продолжается интересующая нас стадия формальных операций. Применять формальные операции – значит, уметь рассуждать об отвлечённых понятиях, правилах, абстракциях и гипотетических ситуациях. Сам Пиаже считал, что даже не все взрослые обладают способностью к формальным рассуждениям, и взрослая жизнь зачастую не требует их применения.
Только к 11 годам, по Пиаже, закладывается фундамент, необходимый для понимания абстрактных понятий и сложных, в том числе – математических – концепций. На иллюстрации ниже вы можете видеть психологический опыт, который демонстрирует постепенное развитие интеллекта ребёнка: задачи Пиаже на сохранение. До определённого возраста ребёнок не способен отделить свойства количества, величины, веса от расположения в пространстве и формы. Если у вас доступ к детям, попробуйте дать им эти задачи!
Однако следует помнить, что теория Пиаже – это только (1) модель (2) нормального развития ребёнка. Существуют отклонения от этой схемы – как патологические, так и не патологические. Не следует относиться к этому как к святому писанию!
Теперь, поговорив о развитии ребёнка, я попробую дать ответ на другой вопрос. Великий русский психолог Лев Семёнович Выготский считал, что каждая психическая функция появляется на сцене дважды — сперва как коллективная, социальная деятельность, а затем как внутренний способ мышления ребенка. То есть, для того, чтобы ребёнок мог научиться считать в детстве, сначала счёт должен был быть изобретён взрослыми.
Мне на ум приходит наглядная иллюстрация этого принципа из (сравнительно) недавней истории. В конце 18 века шотландский экономист Уильям Плейфар впервые использовал линейчатую диаграмму для визуализации сложных данных (торгового баланса Англии с Норвегией и Данией в течение 18 века). Его график – первое свидетельство использования диаграммы для визуализации данных. Современниками он был не понят. Графики считали пустой забавой: настоящие учёные, безусловно, могут дать себе труд посчитать все данные сами, им не нужны цветные линии, чтобы разобраться в вопросе!
Однако история оказалась на стороне Плейфара, и теперь мы шагу не можем ступить, не проконсультировавшись с графиками. И вы, наверняка, не только умеете читать и строить графики, но и находите это совершенно естественным. А математика, которую вы изучаете в 6 классе, по большей части была развита в ещё более глубоком прошлом: в древнем Египте, Греции, Вавилоне.
Но, все же, почему древние люди изобрели математику? Зачем были все эти сложности? Я считаю, что этот вопрос поставлен немного неверно. Математика не изобретена человеком а, скорее, является выражением основополагающих свойств мира. А люди лишь училось рассуждать об этих свойствах и приобретало их более глубокое понимание.
Как сказал Галилео Галилей, «природа говорит на языке математики», и история всего человечества неразрывно переплетена со все более и более глубоким изучением этого языка. И как только один человек узнает новое правило этого языка, немедленно ему находится применение. А наоборот, как ни странно, не работает: пока нужная математика не открыта, ни у кого нет даже мысли, что им чего-то не хватает (используйте этот аргумент в следующий раз, когда кто-то скажет вам, что математики какой-то фигней маются).
Разумеется, сам процесс развития математики обусловлен культурой и ценностями общества и не происходит «в вакууме». «Древние люди» открывали математику много раз, и каждый раз – по-другому. Математика Китая отличается от математики Индии, та – от греческой и вавилонской. Греки достигли высот геометрии, потому что в платоновских телах их культура видела эталон гармонии. Ориентация на гармонию греческой культуры также привела и к развитию теории музыки.
При этом, хотя в течение веков синонимом астрономии для европейской культуры был александрийский грек Клавдий Птолемей, но греческая астрономия была в достаточно жалком состоянии до тех пор, пока её не обогатила вавилонская традиция. Используя свои огромные архивы наблюдений, вавилоняне были в состоянии достаточно точно предсказывать время и место солнечных затмений, с высокой точностью знали величину корня из двух.
Опять же, арифметику греки ни в грош не ставили. Об этом говорит и то, что они не знали ноля – который в Европе появился только после того, как его доставили из Индии арабские торговцы (правда, в римской записи ноль, изначально, был – но прагматичные римляне со временем забыли его за ненадобностью). В то же время в Индии были достигнуты значительные успехи в области теории чисел. Примечательно, что и одним из величайших ученых современности, подвизавшихся на этом поприще, был индус Сриниваса Рамануджан.
Развитие ребёнка – это великая тайна природы, а развитие человечества – великая тайна истории. То, на открытие чего у человечества ушли тысячи лет, дети изучают за считанные месяцы. С практической точки зрения, кстати, это вызывает вопрос: связана ли логическая и историческая иерархия знаний? Приведёт ли оптимизированное изложение текущего состояния науки к лучшему результату, чем последовательное изложение истории развития предмета? Для меня этот вопрос открыт. Я считаю, что история и педагогика имеют для всех нас первоочередное значение, поскольку формируют, помимо прочего, понимание того, что работает и что нет. Тот, кто не знает истории, обречён повторять ошибки прошлого – и лишён доступа ко многим жемчужинам человеческой мысли. Каждая крупица знания о человеке открывает нам что-то важное о мире, в котором мы живём, и лучше узнавая сами себя, мы оказываемся способны к более глубокому познанию мира.
Автор: Иван Маврин