Главное преимущество репетитора перед онлайн-школами в том, что репетитор может объяснять материал каждому ученику по-разному в зависимости от его исходной математической подготовки.
И вроде бы очевидно, что для слабых учеников нужно объяснять темы как-то более упрощённо, а для сильных порой достаточно просто решать задачи и математически грамотно их излагать.
Но на самом деле этого мало.
Те ученики, которые сразу метят на Высокобалльный уровень, порой слишком пренебрежительно относятся к заданиям первой части.
Мол, они слишком простые и там особо не над чем думать.
Можно потакать им в этом и тоже махнуть рукой на первую часть: «Ну эти задачи ты и так уже умеешь решать. Вот Банк ФИПИ – просто прорешай его дома и всё».
Часть сильных учеников после этих слов преподавателя могут полностью забить на первую часть.
Другие, более ответственные, вроде как будут пытаться честно всё решить, но будут относиться к этому как к каторге. Задачи сравнительно несложные, но их так много и они такие однотипные...
Но преподаватель не может позволить себе вот так просто разбазаривать мотивационный ресурс ученика. Поэтому лучше чуть иначе построить работу с задачами первой части.
Есть такое понятие как контекст задачи: это все теоремы, свойства, признаки, связи, идеи, которые используются в ней или около неё.
Иначе говоря, это всё, что окружает задачу.
Когда ученик ныряет в какую-то задачу (даже, возможно, очень простую), интересно не столько её решение, сколько контекст, который она порождает.
И находясь в этом контексте нужно пытаться выжать максимум пользы для дальнейшей работы.
Посмотрим, как можно иначе построить работу, чтобы продуктивнее использовать контекст каждой задачи.
Ниже дам пару примеров задач из первой части, а вы потом сможете самостоятельно творчески развить этот подход для любой задачи из Банка.
1. Планиметрические задачи:
«В прямоугольном треугольнике угол между высотой (или медианой) и биссектрисой (или высотой), проведёнными из вершины угла, равен 14°. Найдите меньший угол треугольника.»
О чём ещё можно поговорить, кроме непосредственно решения:
а) Сюжет «высота в прямоугольном треугольнике»: подобие, равенства углов, выражение высоты через длины проекций катетов на гипотенузу.
б) Биссектриса прямого угла совпадает с биссектрисой угла между медианой и высотой.
в) Угол между медианой и большим катетом совпадает с углом между высотой и меньшим катетом. Схожее свойство для произвольного треугольника (только вместо медианы, отрезок, соединяющий вершину с центром описанной окружности). Доказательство этого свойства. Середина гипотенузы прямоугольного треугольника как центр описанной окружности.
г) Всегда ли биссектриса лежит между медианой и высотой? Почему?
д) Если продлить биссектрису до пересечения с описанной окружностью, где будет точка пересечения?
е) Восстановить прямоугольный треугольник по длинам медианы и высоты, проведённых из вершины прямого угла.
ж) Найти гипотенузу прямоугольника с острым углом в 15°, если известно, что высота треугольника, опущенная на гипотенузу, равна 1.
2. Планиметрическая задача:
«Боковые стороны трапеции, описанной около окружности, равны 15 и 22. Найдите среднюю линию трапеции»
В этой задаче сразу два больших сюжета, которые могут стартовать от этой задачи.
i. Cюжет «Средняя линия трапеции».
а) Что такое средняя линия трапеции? Её свойства.
б) Точное доказательство свойства средней линии – соединить вершину с серединой другой боковой стороны и продлить до пересечения с основанием. Набор разноплановых задач, которые используют этот приём доказательства в параллелограмме и трапеции. В отдалении – выход на сюжет «Прямая Евклида»
в) Равнобедренная трапеция. Отрезки, на которые основание делится перпендикуляром (и причём тут средняя линия).
г) Отрезок, соединяющий середины диагоналей. Доказать его параллельность и найти его длину. Прямая, параллельная диагонали трапеции и выход на сюжет «Дополнительные построения в задачах на трапецию».
д) Середины диагоналей, середины сторон и выход на сюжет «Параллелограмм Вариньона и малый параллелограмм Вариньона».
е) Отрезки, соединяющие точки на боковых сторонах и параллельные основаниям. Поиск их длин. Поиск площадей трапеций, на которые они разбивают исходную трапецию. Выход на сюжет «Площади и пропорции в треугольниках и трапециях».
ii. Сюжет «Вписанная в трапецию окружность».
а) Геометрический смысл её центра. Биссектрисы как ГМТ.
б) Биссектрисы односторонних углов. Угол между ними. Пересекаются на средней линии.
в) Высота трапеции и отрезки, на которые точка касания делит боковую сторону.
г) Свойство описанного четырёхугольника.
3. Задача на производную:
«Прямая у=3x+4 является касательной к графику функции f(x)=3x²-3x+c. Найдите с.»
Сюжеты с выходом на графический метод решения задач с параметром:
а) Несколько способов задания прямой на плоскости. Другой взгляд на коэффициент k в линейной функции. Быстрый способ задать уравнение прямой на плоскости (перекликается со схожей задачей из первой части на графики)
б) Мгновенный вывод уравнения касательной.
в) Альтернативный взгляд на касание графиков двух функций на плоскости. Эффективное решение указанной задачи.
г) Касание графиков в задачах с параметром и применение производной в разных ситуациях.
д) Принципиально иные способы решения задач на касание графиков.
4. Задача с пересечением линейной функции и параболы.
а) Построение параболы по трём точкам. Геометрический смысл коэффициентов параболы.
б) Три способа нахождения вершины параболы. Сравнение этих способов и эффективность использования в различных ситуациях.
в) Нахождение квадратичной функции по двум точкам, одна из которых вершина.
Как видите даже такие простые задачи подгружают материал, через который актуализируют важные сюжеты. Это позволяет органично перекинуть мостик к более глубоким и идейным вещам.
В качестве несложного методического упражнения можете сами выбрать пару задач первой части и развить до содержательных задач из второй.
Если просто по порядку бездумно прорешивать задачи из Банка с сильными учениками, то это может демотивировать их уже на начальном этапе подготовки.
Школьникам выше среднего нет нужды «набивать руку» в таких заданиях. Да и в школе их наверняка заставляют что-то подобное решать по списку (правда, это ещё надо уточнить у ученика).
В крайнем случае, они всё это будут делать на этапе нарешивания вариантов на время.
Поэтому по возможности некоторые задачи первой части лучше использовать как трамплин во вторую часть.
Ну и дополнительно желательно отдельно смотреть самые сложные задачи из Банка, в которых есть какие-то интересные нюансы, необычная формулировка или более быстрый способ решения.
В общем нужно стремиться по максимуму использовать предложенный Банк ФИПИ.
По сути тем преподавателям, кто преподаёт сильным ученикам, нужно пытаться выжать воду из этого камня.