Решение задачи из учебника геометрии Волчкевича (8 класс)

Вершина параллелограмма и середины двух его противоположных сторон образуют равносторонний треугольник. Найдите углы параллелограмма.

Рисунок автора

РЕШЕНИЕ

1) Пусть LM ∩ BC = P. Тогда △MCP = △LMD по стороне и прилежащим углам (DM = MC по условию, ∠CMP = ∠DML, как вертикальные, ∠PCM = ∠LDM, как накрест лежащие при параллельных прямых BC, AD и секущей DC). Значит, MP = LM = BM = > △BMP — равнобедренный. ∠LMB = 60°, так как △BML – равносторонний = > ∠BMP = 180° – ∠LMB = 120°. Значит, ∠PBM = 30°.

Чертёж автора

2) Пусть LM ∩ AB = Q. Тогда △LQA = △LMD по стороне и прилежащим углам (AL = LD по условию, ∠ALQ = ∠DLM, как вертикальные, ∠QAL = ∠LDM, как накрест лежащие при параллельных прямых AB, DC и секущей AD). Значит, QL = LM = BL = > △QLB — равнобедренный. ∠BLQ = 180° – ∠BLM = 120°. Значит, ∠QBL = 30°.

Таким образом, ∠ABC = ∠ABL + ∠LBM + ∠MBC = 120°.

3) Так как ∠DAB + ∠ABC = 180°, то ∠DAB = 60°. ∠ABC = ∠ADC = 120°, ∠DAB = ∠DCB = 60° (так как противоположные углы параллелограмма равны).

Ответ: 60°, 60°, 120°, 120°.

Прикладываю также информационную карточку для скачивания.

Решение автора