Примерно с 7-8 класса в школе начинают проходить функции. И с ними у учеников часто возникают очень серьёзные проблемы, хотя казалось бы - что тут вообще можно не понять? Простая же тема.
Вот в этой статье и разберём эти "подводные камни", на которых поскальзываются не только слабые ученики, но и сильные, и даже учителя.
Величины
Само понятие "функция" основано на понятии "величина" чуть более, чем полностью. Ведь функция - это односторонняя связь между двумя и более величинами. Очевидно, что недостаточное понимание величин автоматически ставит крест на понимании функции.
Понятие "величина" вообще головная боль в школе. Вот спросите у ученика (даже отличника), что "такое величина?" Ни один ученик ни одного возраста не ответит правильно. Вы услышите что угодно - "сантиметры", "линейка"...
Но только не фразу "то, что можно измерить".
Всё, что будут называть ученики, имеет прямое отношение к величине, а то и является составной частью этого понятия. Что явно свидетельствует о знакомстве детей с этим понятием, но очень поверхностным и отрывочном.
Но даже если понятие "величина" освоено в достаточной степени, это ещё не значит, что проблемы закончились.
Связь и зависимость
Функция - это зависимость одной величины от другой. Но что такое "зависимость"? Это не простой вопрос для ребёнка. Особенно, если учителю он кажется тривиальным.
Можно провести эксперимент (я проводил). Дать детям ситуацию, скажем, "растёт дерево" и потребовать выписать на бумагу список величин, которые можно измерять в этой ситуации. Дети довольно быстро накидают десятка три величин (высота, масса, количество листьев, возраст...).
После чего надо попросить выписать пары величин, в которых одна зависит от другой.
Простое задание. Но оно вызывает трудности в силу недопонимания слова "зависит".
Так, например, появляются пары "количество веток зависит от высоты дерева".
Кратко поясню, что тут путают ученики. Есть зависимость, а есть связь (корреляция). Количество веток и высота дерева - действительно связанные величины. Но они связаны, как зависящие от третьей - возраста. Они не зависят друг от друга.
Задание функций
Найдите в учебнике задание на функции с формулировкой "...функция задана..."
Спросите ученика, что значит "функция задана"?.
Ответ вряд ли будет внятным. Потому что каждое слово ученику знакомо, потому что "вот она написана ниже"... Много почему.
Способов задания функции (в школе) не так много. Всего 4: выражением, таблицей, графиком и алгоритмом. И в них действительно нет ничего сложного. Но дети их путают, игнорируют и так далее, просто потому что никто никогда не акцентировал внимания на этих способах.
Внешний вид
Ох уж этот внешний вид. Дети, учась в школе, почти всё (если не всё) идентифицируют по внешнему виду. Даже "вид выражения" для них значит "как выглядит это выражение".
Если что-то похоже на функцию, значит, это функция.
Правда, функция сама очень похожа... на уравнение. И вообще, есть куча визуально очень похожих (порой неотличимых) вещей. И если ориентироваться только на внешний вид, то не мудрено что-нибудь напутать.
Уравнение, формула, функция. Они выглядят совершенно одинаково. Во всех трёх есть знак равенства, буквы и действия. Формула слегка выбивается, потому что в ней не всегда есть буква "x" (но если брать какую-нибудь формулу корней квадратного уравнения...).
В общем, если ученики функцию назвал уравнением, поздравляю - он ориентируется на внешний вид и не видит разницы между этими тремя понятиями.
Графики
График функции - это очень странная вещь. Сначала дети учатся их строить, а потом вдруг эти графики появляются в заданиях. Зачем же "рисовать" функцию, если она уже "нарисована"?
Как бы это тривиально ни звучало - дети не понимают, что такое и зачем нужны графики функций, поэтому легко
путают задание "построить график функции" с заданием функции с помощью графика
Специально выделил эту формулировку. Она - иллюстрация к пункту "задание функций".
Задачи "прочитать график" и "построить график" - очень тесно связаны, и проблемы у них практически все - общие.
Заключение
Я обозначил основные направления, в которых дети испытывают трудности при работе с функциями вообще, и анализом функций в частности. Кое-что я уже освещал в своих статьях (например, величины), кое-что ещё надо осветить.
Понятно, что при кажущейся простоте, тема "функции" имеет места, где можно застрять очень серьёзно. Если не решить эти проблемы, то придётся ждать 10-11 класса, когда матанализ даст ребёнку необходимые алгоритмы для работы с функциями.
PS
Дорогие читатели! Не важно, каким образом Вы относитесь к образованию - учитель, ученик, родитель, наблюдатель...
Когда я в своих статьях пишу "спросите любого ученика" - это не просто фраза для красоты, это руководство к действию. Я действительно предлагаю вам спросить. Если Вы - учитель, то можете провести на любом уроке пятиминутный письменный опрос - раздать листочки и попросить написать ответ на вопрос, который я предлагаю.
Это простое действие (подойти и спросить) разрушит сотни и тысячи иллюзий. Стоит только попробовать.