Цепь Штайнера и поризм Штайнера - что это такое.

Немного теории.

Цепь Штайнера лучше всего описана в англоязычной википедии (перевод):

В геометрии цепь Штейнера — это множество из n окружностей, все из которых касаются двух данных непересекающихся окружностей (синей и красной на рисунке 1), где n конечно, и каждая окружность в цепи касается предыдущей и следующей окружностей в цепи. В обычных замкнутых цепях Штейнера первая и последняя ( n -я) окружности также касаются друг друга; напротив, в открытых цепях Штейнера это не обязательно. Заданные окружности α и β не пересекаются, но в остальном не ограничены; меньшая окружность может полностью лежать внутри или снаружи большей окружности. В этих случаях центры окружностей цепи Штейнера лежат на эллипсе или гиперболе соответственно.

Разные варианты цепей Штайнера:

Три варианта - в зависимости от взаимного положения синей и красной окружностей.

Кстати, немецкая фамилия Steiner читается как Штайнер - это понимают все, учившие немецкий в школе.

В русскоязычной википедии больше внимания уделяется поризму Штайнера. Поризм (иногда используют вариант Поризма - древнегреческий математический термин, то же, что теорема) - это такое редкое и непонятное слово, и даже учёные по-разному его определяют:

В нашу литературу понятие “поризм” ввел философ Б. С. Грязнов. “В античной литературе, – писал он, – поризмом называли утверждение, которое получалось в процессе доказательства теоремы или решения задачи, но получалось как непредвидимое следствие, как промежуточный результат. Хотя поризм получается как логическое следствие, но, поскольку он не является целью познавательной деятельности, для исследователя он может оказаться неожиданным”

Понятие это можно определить и несколько иначе. Так, поризмом можно называть такое утверждение, сформулированное в ходе решения какой-либо задачи, которое по содержанию своему охватывает намного более широкий круг явлений, нежели тот, к которому эта задача относилась. Тем самым формулировка поризма оказывается значительно более ценной, чем решенная с его помощью и, тем самым, вызвавшая его к жизни задача. Поэтому поризм с полным правом можно называть “счастливой находкой”.

Сам поризм Штайнера звучит так (перевод всё с той же статьи в англоязычной википедии:

Если для двух данных окружностей α и β существует хотя бы одна замкнутая цепочка Штейнера из n окружностей , то существует бесконечное число замкнутых цепочек Штейнера из n окружностей; и любая окружность, касающаяся α и β таким же образом, является членом такой цепи.

На простом языке это означает, что если цепь Штайнера замкнута для двух окружностей, одна из которых находится внутри другой, как на рисунке ниже, то мы можем начать рисовать 1-ю окружность цепи в любом месте, и новая цепь всё-равно будет замкнутой.

Замкнутая цепь Штейнера из двенадцати чёрных кругов ( n = 12) . Круги показаны синим и красным цветами, которые являются самыми внешними и самыми внутренними кругами соответственно.

Программа для визуализации цепи Штайнера для концентрических окружностей.

Моя программа находится здесь.

Меню по умолчанию рисует такую незамкнутую цепь Штайнера.

Программа написана на чистом JavaScript и довольно проста - она использует только поворот точки вокруг центра координат на определённый угол.

Тем не менее, управляя параметрами, можно исследовать замкнутые и незамкнутые цепи Штайнера для концентрических окружностей разного размера, в т.ч. многоциклические, как статично, так и в динамике, добиваясь разных визуальных эффектов.

Самая простая замкнутая цепь Штайнера с n=9

Незамкнутая многоциклическая цепь Штайнера (190 окружностей и соответствующий коэффициент).

Благодарю за внимание дочитавших до конца статьи.-0-