Если составить воображаемый рейтинг самых нелюбимых для школьников задач профильного ЕГЭ по математике, то в топ-10 точно будет задача на оптимизацию.
Их бывает несколько типов.
Вспомним примерное условие одной из них:
«Владимир является владельцем двух заводов в разных городах. На заводах производятся абсолютно одинаковые товары, но на заводе, расположенном во втором городе, используется более совершенное оборудование. В результате, если рабочие на заводе, расположенном в первом городе трудятся суммарно t² часов в неделю, то за эту неделю они производят 2t единиц товара. Если рабочие на заводе, расположенном во втором городе трудятся суммарно t² часов в неделю, то за эту неделю они производят 5t единиц товара.
За каждый час работы (на каждом из заводов) Владимир платит рабочему 500 рублей. Владимиру нужно каждую неделю производить 580 единиц товара. Какую наименьшую сумму придется тратить еженедельно на оплату труда рабочих?»
Конечно, задача неприятная. В первую очередь из-за слишком вычурной зависимости затраченного времени и производства единиц товара.
Как правило, преподаватели на курсах и на личных занятиях просто рассказывают рецептурное решение в надежде, что школьник что-то поймёт из их рассказа.
В крайнем случае всегда остаётся надежда, что такая задача не попадётся в основной волне.
Это, кстати, один из постоянных спекулятивных вопросов ежегодно перед ЕГЭ – будет или не будет в реальных заданиях оптимизация.
Неприятие этой задачи и страх перед ней связаны с тем, что она, как и многие другие задачи ЕГЭ, просто не подходят для объяснения важных принципов, которые скрываются за этой и подобными заданиями.
Если честно заниматься по школьной программе, то окажется, что эта задача не является какой-то особенной.
По сути это обычная экстремальная задача, различные типы которых в обязательном порядке изучаются в теме «Производная и её применение».
Возьмём учебник «Углубленная математика. 10 класс» (Мерзляк А.Г.) и задачи оттуда:
43.7. Представьте число 8 в виде суммы двух неотрицательных чисел так, чтобы произведение куба одного из этих чисел на второе число было наибольшим.
43.11. Разбейте число 180 на три неотрицательных слагаемых так, чтобы два из них относились как 1:2, а произведение всех трёх слагаемых было наибольшим.
43.13. В треугольник АВС вписан прямоугольник так, что две его вершины лежат на стороне АС, а две другие – на сторонах АВ и ВС. Найдите наибольшее значение площади такого прямоугольника, если АС=12 см, ВD=10 см, где ВD – высота треугольника АВС.
43.15. В полукруг радиусом 20 см вписан прямоугольник наибольшей площади. Найдите стороны прямоугольника.
43.17. Две вершины прямоугольника принадлежат графику функции y=12-x², D(y)=[-2√3; 2√3], а две другие – оси абсцисс. Какую наибольшую площадь может иметь такой прямоугольник.
43.19. Периметр равнобедренного треугольника равен 48 см. Какой должна быть длина основания треугольника, чтобы его площадь принимала наибольшее возможное значение?
43.20. В трапеции меньшее основание и боковые стороны равны а. Найдите большее основание трапеции, при котором её площадь принимает наибольшее значение.
43.21. В равнобедренный треугольник вписана окружность радиусом r. Каким должен быть угол при основании треугольника, чтобы его площадь была наименьшей?
Можно использовать эти задачи, можно их слегка подкрутить в сторону усложнения/упрощения, можно взять любой другой учебник для старших классов – но экстремальную задачу нужно объяснять не на примере искусственной экономической задачи, а через набор разнородных задач возрастающей сложности.
В таком случае и ЕГЭшная задача не будет вызывать такой паники...
А если ещё предварительно в 8 классе прорешать задачи в стиле:
а) «Найдите наименьшее значение выражения х+у, если известно, что xy=9»,
б) «Найдите наибольшее значение ху, если известно, что x+y=10»
(это всё без производной и свойств квадратного трёхчлена!),
то задача на оптимизацию вообще может стать любимой для ученика, т.к. он наконец поймёт, о чём она на самом деле.
Другой пример – один из пунктов последней задачи из ЕГЭ-2021 года:
«Даны три различных натуральных числа такие, что второе число равно сумме цифр первого, а третье — сумме цифр второго.
б) Может ли сумма трёх чисел быть равной 419?»
Её можно решить перебором. Правда, перед этим нужно будет грамотно обосновать рамки этого перебора.
Но гораздо эффективнее использовать тот факт, что сумма цифр числа имеет такой же остаток, что и само число при делении на 9.
С помощью него задача решается в пару строк.
Но недостаточно в 11 классе просто рассказать его школьникам и пойти дальше в надежде, что они теперь точно будут его использовать.
Без многократного решения задач он так и останется очередным забавным наблюдением и не войдёт в качестве рабочего инструмента в арсенал школьника.
Свойство суммы цифр является частью большого раздела «Десятичная запись числа».
Это олимпиадный раздел и есть определённая наработанная практика работы с ним.
Она у каждого преподавателя своя, но как правило опирается не на ЕГЭшные задания, а на олимпиадные задачники и сборники вариантов олимпиад разного уровня прошлых лет.
Только лишь когда ученик разберётся с особенностями задач на десятичную запись числа, тогда и можно перейти к сумме цифр.
В качестве примера возьмём классический сборник олимпиадных задач под редакцией Горбачёва Н.В.
Ниже некоторые задачи оттуда на сумму цифр.
В скобочках уровень сложности задач и источник (МО62 означает Московская Олимпиада 1962 года)
11.259.(10) Может ли сумма цифр точного квадрата равняться 1970?
11.260.(15) Доказать, что тысячезначное число, все цифры которого пятёрки, за исключением, быть может, одной, не является полным квадратом.
11.261.(15) У числа 8¹⁹⁹⁷ нашли сумму цифр, у результата нашли сумму цифр и т. д. В конце концов получилось однозначное число. Найдите его.
11.262.(15) Докажите, что произведение последней цифры числа 2ⁿ и суммы цифр этого числа, кроме последней, делится на 3.
11.263.(15) Докажите, что если число делится на 99, то сумма его цифр не менее 18.
11.264.(20) Может ли четырёхзначное число с цифрами 4, 6, x, у, записанными в произвольном порядке, быть равно 46(40х+у)?
11.265.(20) Докажите, что если натуральные числа от 1 до 1967 включительно выписаны подряд в произвольном порядке, то получившееся число не является точным кубом.
11.266.(20) Из 3-значного числа вычли сумму его цифр. С полученным числом проделали то же самое и так далее, 100 раз. Доказать, что в результате получится 0.
11.267.(15) (МО62) Сумму цифр числа N обозначим S(N). Доказать, что если S(N) = S(2N), то число N делится на 9.
11.270.(20) (МО70) У числа 2¹⁹⁷⁰ зачеркнули первую цифру и прибавили её к оставшемуся числу. С результатом проделали ту же операцию и т. д. до тех пор, пока не получили 10-значное число.
Докажите, что в этом числе есть две одинаковые цифры.
11.271.(20) (МО71) Дано число 2ᵏ, где k > 3. Докажите, что никакое число, полученное из данного перестановкой его цифр, не равно 2ⁿ, где n – любое число, большее К.
11.272.(15) (МО 93) Обозначим через S(n) сумму цифр числа n. Решите уравнения: а) n + S(n) + S(S(n)) = 1993; б) n + S(n) + S(S(n)) + S(S(S(n))) = 1993.
Обратите внимание на последнюю задачу.
Первый пункт в ней – это в точности задача с ЕГЭ-2021, которую мы указали в качестве примера, но с другим числом.
То есть авторы заданий ЕГЭ вдохновляются не сборниками задач экзамена прошлых лет, а иными пособиями.
Конечно, далеко не все задачи из списка выше подойдут для каждого ученика. Скорее всего придётся отбирать задачи с учётом того, что конкретный школьник уже знает.
Лично мне, например, нравится задача 11.270, но её мы разбираем только с теми учениками, с кем мы уже успели разобрать тему остатков по модулю.
В этом смысле полезно смотреть вокруг, тестировать разные пособия для работы и находить задачи оттуда.
Например, на прошлой неделе мы с двумя ученицами разбирали прекрасную задачу 9 класса с Санкт-Петербургской олимпиады 2009 года:
«Приведите пример натуральных чисел a, b, c, d, имеющих одинаковую сумму цифр и таких, что a+b+c+d=2009»
В ней тоже необходимо использовать указанное свойство суммы цифр, а потом применять продвинутый перебор.
Это, кстати, ещё одна причина, по которой последняя задача с ЕГЭ не подходит для подготовки.
Как правило она состоит из трёх пунктов, и все они очень разноуровневые.
Для не очень сильных учеников составители изобрели первый пункт, а остальные два – уже для самых продвинутых.
Но для первых учеников нужно ставить навык подбора и учить хотя бы его не бояться – поэтому лучше брать простые задачи с олимпиад для 5-7 классов. Например, с условного Матпраздника.
А для вторых эта задача слишком простая и их нужно учить уже продвинутому подбору (с упором на поиск грамотных отсечений) на совершенно других задачах.
Наконец, давайте посмотрим на задачу с параметром, которая была предложена в 2019 году на досрочном ЕГЭ:
«Найдите все значения параметра a, при каждом из которых уравнение 2sinx+cosx=a имеет единственное решение на отрезке [π/4; 3π/4]»
В среде тех, кто готовит к ЕГЭ, эта задача порождает разные подходы к подготовке на Высокобалльном уровне.
Часть преподавателей делает вид, что такой задачи нет, и соответственно никак не обсуждает её с учениками.
Другая часть преподавателей просто «проходит» её с учениками.
То есть они подробно рассказывают её решение на занятии, а на дом дают почти такую же задачу с уравнением 3cosx+sinx=a.
Вроде как формально ученик что-то изучил и можно идти дальше.
Сильным школьникам (которые часто ещё и олимпиадники) может и хватает этого – у них есть крепкая база и обширная нарешка, чтобы осознать, о чём эта задача.
Но для большинства учеников такой подход не срабатывает, даже если ровно такая же задача попадётся на ЕГЭ.
Можно попробовать честно научить школьника решать такую задачу. Но здесь есть трудности именно методического характера.
Традиционно тригонометрические уравнения в 13 задании на ЕГЭ довольно примитивные.
Это задание входит в так называемый «джентльменский набор», и как правило стабильно решается школьниками Технического уровня.
Для решения нужно знать формулы приведения, формулы двойного угла, уметь сводить к квадратным уравнения, раскладывать на множители, учитывать простые ограничения (если они есть) и решать элементарные уравнения вида sinx=а.
Даже формулы косинуса или синуса суммы не обязательно знать – составители заботливо вынести их в справочный материал.
Если школьникам дать на ЕГЭ простое уравнение sin5x=sinx, они в массе своей с ним не справятся, т.к. у них как правило нет инструментов (а точнее, рецептов...) для его решения.
А уравнение 2sinx+cosx=a ещё сложнее в части используемых инструментов.
Во-первых, надо владеть техникой введения вспомогательного угла (и глубоко её понимать!).
Во-вторых, нужно уметь работать с аркфункциями.
В-третьих, нужно очень хорошо ориентироваться на тригонометрической окружности.
Если школьник паникует при виде выражения sin(arcsin1/3 + arccos1/4), то он не сможет даже приступить к этой задаче.
Поэтому те преподаватели, у которых есть роскошь личного разговора с учеником, действуют иначе.
Сначала нужно выяснить, насколько ученик себя уверенно чувствует в тригонометрии: работали ли они в школе с аркфункциями? решает ли он уравнение вида 3sinx+4cosх=2,5? может ли он решить неравенство sinx<1/3?
Если видно, что у школьника крепкая база, то можно закрепить все эти навыки через специально подобранные задачи и уже после этого пробовать решать эту задачу.
Если у школьника не такая крепкая база, то нужно садится с ним и честно говорить про эту задачу и про то, какие темы нужно предварительно изучить. Дальше уже принимать совместно с ним решение, нырять ли в эту задачу или лучше повторить другие темы, учитывая все риски.
Если у школьника нет полноценной тригонометрической базы и он только-только пробует свои силы на Высокобалльном уровне, то возможно стоит лишь издалека показать её. Как правило, школьник осознаёт, что это какой-то заоблачный для него уровень и делает ставку на изучение других техник решения.
В любом случае с учеником надо разговаривать, а не прятать голову в песок, выдавая псевдопрогноз «этого-точно-не-будет-на-основной-волне».
Как видите, сама исходная задача была лишь конечным пунктом подготовки к ней.
Она лишь ориентир, которые предложил нам Ященко и ко.
Использовать её, чтобы научить чему-то школьника, бессмысленно – он уже должен очень многое уметь, чтобы хотя бы понять решение этой задачи.
Правда, на этой задаче я с учениками обычно не останавливаюсь и даю им ещё пару несложных олимпиадных тригонометрических задач на схожую комбинацию тем.
Это помогает закрепить все эти техники и не бояться всякого неожиданного на ЕГЭ.