Сие: из этюдов к Единой Кинематической Теории Зубчатых Передач (ЕКТЗП).
Принципиальный момент: вращение червяка приводит к кажущемуся смещению его коноидной поверхности вдоль оси собственного вращения червяка. Заменим реальное вращение инструментального червяка поступательным перемещением его коноидной поверхности вдоль бывшей оси вращения. В результате такой подмены получим своеобразную реечную передачу, роль рейки в которой играет червяк. Применим к получившейся передаче (фундаментальнейший!) метод Р.Виллиса, остановив вращение червячного колеса. Тогда обкаточное движение инструментального червяка в каждый момент времени представляет собой вращение этого червяка относительно некоторой мгновенной оси вращения. (Разумеется, каждая такая мгновенная ось вращения будет параллельна бывшей оси вращения зубчатого колеса. Бесконечное множество мгновенных осей вращения образует цилиндрическую поверхность, которую будем называть называемую центроидной для червячного колеса.)
Рассмотрим такое взаимоположение инструментального червяка и заготовки червячного колеса, когда мгновенная ось вращения находится вне тела червяка. Очевидно, что в каждый отдельный момент времени огибающая поверхность, формируемая производящей поверхностью инструментального червяка, будет сводиться к некоторой линии, состоящей из точек производящей поверхности, расположенных на минимальном расстоянии от мгновенной оси вращения. Такие точки можно найти на линиях сечения производящей поверхности плоскостями, перпендикулярными мгновенной оси вращения (рис.1).
Рис.1
Уравнения для линий сечения (рис.2)
Рис.2
будут иметь вид (рис.3):
Рис.3
Для нахождения искомых точек в уравнения из рис.3 нужно подставить решение уравнения (рис.4) для параметра r :
Рис.4
Очевидно, что уравнение из рис.4 не имеет аналитического решения в общем случае.
Замечание 1: в очередной раз встаёт вопрос о том, каким должен быть математический аппарат, чтобы он давал аналитическое решение прикладной задачи, если она - что совершенно очевидно - имеет решение?..
Получив массив точек для различных положений мгновенной оси вращения червяка, нетрудно получить искомую поверхность зуба червячного колеса (рис.5):
Рис.5
Выводы: 1) мы получили поверхность зуба червячного колеса методом, который у Ф.Л.Литвина называется именем российского механика 19-го века Х.И. Гохмана. Приведённые результаты позволяют - в очередной раз! - усомниться в научной добросовестности тов. Литвина в той части его монографии, где он приводит результаты, касающиеся получения математического описания поверхности зуба червячного колеса; 2) решение уравнения из рис.4 прикладными способами требует тщательного анализа с точки зрения устойчивости решения; 3) если мгновенная ось вращения будет находиться по другую сторону производящей поверхности, то будет формироваться поверхность подрезания точками производящей поверхности, наиболее удалёнными от мгновенной оси вращения. Когда же мгновенная ось вращения будет пересекать производящую поверхность, то (с точки зрения формирования поверхности зуба колеса) будет иметь место комбинация обкатки и подрезания. Что приведёт к ещё большей сложности построений по методу Гохмана.
Замечание 2: совершенно очевидно, с помощью какой команды и с какими настройками из геометрических ядер КАД-систем можно получить кривую L из рис.1. Это даёт возможность построить поверхность зуба червячного колеса по алгоритму из рис.5. Ошибки, присущие, например, ядру C3D, достаточно очевидны при диагностике результатов и вполне поддаются исправлению искушёнными пользователями. Аналогичным образом можно относительно быстро моделировать процессы обкатки для произвольных образующих поверхностей.
Если учесть положения из части II-ой сего этюда, то можно придти к совершенно простому и наглядному способу аналитического описания поверхности зуба червячного колеса для линейчатой производящей поверхности.
Так что…