Это моя заключительная статья на тему проблемных случаев, неоднозначно трактуемых в условиях работы с мат. выражениями в элементарной математике.
Попрошу внимательно взглянуть на следующее мат. выражение.
Здесь одна запись выполнена с буквенным написанием, а другая - с числовым. Обратите внимание, что левые записи выполнены со знаком деления: "двоеточие", а правые со знаком деления: "горизонтальная" черта (или "наклонная" черта - не важно).
Таким написанием хотят подчеркнуть, что левые выражения (со зн. "двоеточие") еще только предстоит разделить между собой (То есть так обозначается только НАМЕРЕНИЕ разделить выражения), а правые написания ( с "чертой) показывают, что операция деления уже состоялась.
Отчего вкладывается такой разный философский подтекст в такое написание - давайте и разберемся чуть подробнее.
Возьмем три числовых выражения: "2"; "3" ; "4"; Далее межу числами запишем знак "+", (Который означает операцию "сложение"). Получим такое выражение:
2+3+4=? Такая запись означает сумму этих чисел. Но прежде чем ее найти требуется "прочесть" запись этих мат. символов.
В грамматике установилась практика написания и чтения букв: "Слева направо и сверху вниз". Это правило касается любого грамматического текста, написанного на странице . (Назовем такой подход к написанию условно, как: "Европейский стиль").
В математике не стали менять такой подход к написанию и чтению мат. символов. В нашем случае читать "сверху вниз" еще пока нечего, поэтому читаем строчку мат. символов только "Слева направо":
2+3+4; - читаем так: "2"- плюс -"3" - плюс-"4";
Решается выражение в том же порядке, в каком мы его и прочли (То есть: "Слева направо"):
2+3+4=5+4=9;
Давайте решим данное выражение иначе, посмотрим какой получится результат?
2+4+3=9; или так: 4+2+3=9; а со скобками: 2+(3+4)=2+7=9; или так: 3+(4+2)=9;
Совершенно безразлично как выполнять операцию сложения мат. выражений: то ли слева направо, или справа налево, или произвольно объединяя выражения в скобки - РЕЗУЛЬТАТ СЛОЖЕНИЯ ВСЕГДА ОСТАЕТСЯ ПРЕЖНИМ. И мы говорим, что при сложении мат. выражений МОЖНО ОТСТУПАТЬ ОТ ТРЕБОВАНИЯ КОРЕННОГО ПРАВИЛА ПРИ РЕШЕНИИ ПРИМЕРОВ. То есть дозволяется выполнять сложение чисел не СТРОГО СЛЕВА НАПРАВО, а в любом произвольном порядке!! Такое же не строгое требование к применению правила "слева направо" допускается и при вычитании, и при умножении выражений!
Теперь рассмотрим как обстоят дела с делением выражений. Чтобы легче делилось возьмем другие числа:
12:6:2=?
Прочтем это выражение слева направо: "12" - разделить - "6" - разделить - "2".
Далее решаем в том же порядке, слева направо:
12:6:2=2:2=1; - это, так называемый, условно БАЗОВЫЙ ответ.
Решим это же выражение, справа налево:
2:6=2/6; далее 12:(2/6)=36; или так: 2:6=2/6; далее (2/6):12=1/36:- ответ уже другой!
Поменяем местами два первых числа и решим пример слева направо:
6:12:2=(1/2):2=1/4; - ответ уже другой!
Возьмем два последние числа в скобки и решим пример, слева направо:
12:(6:2)=12:3=4; - ответ снова другой!
ВЫВОД:
Если в примере записан знак деления "двоеточие" (В любом их количестве), то предписывается уже СТРОГО придерживаться такого порядка: ЧИТАЕМ И РЕШАЕМ такой пример СТРОГО СЛЕВА НАПРАВО и только в ПОРЯДКЕ ЕГО НАПИСАНИЯ. Не допускается проводить в таком примере предварительные преобразования, кроме преобразования выражения, записанного в отдельных скобках, - если есть в этом рациональная необходимость. Потому как выражение в отдельных скобках - всегда считается ОТДЕЛЬНЫМ выражением.
Такое же строгое предписание касается и тех примеров в которых знаки деления "двоеточие" записаны совместно со знаками умножения "точка" ( Или она может опускаться в особо оговоренных случаях)!!
Давайте рассмотрим пример в котором в "обильном" количестве записаны знаки "двоеточие" и "точка".
48 : 5 * 3 : 4 : 2 * 4 * 5 =? - Как следует решать этот пример?
Именно таким образом остро встал вопрос перед математиками, когда было принято решение отказаться от написания множественных скобок в подобных примерах. Понятно, что нет причин отказываться от применения фундаментального правила: "Решаем пример слева направо, в порядке написания чисел в примере". Однако посчитали, что знаки "двоеточие" и "точка" слишком хаотично записаны в примере, поэтому будет полезно внести некоторую "упорядоченность" в расстановку этих знаков, ЕЩЕ ДО ПРИМЕНЕНИЯ ЭТОГО ПРАВИЛА. Есть смысл выполнить операцию с умножением чисел - в первую очередь, чтобы оставшиеся только деления чисел - выполнить уже по Правилу "слева направо" . Или наоборот: выполняют деление чисел - в первую очередь (строго слева направо), чтобы оставшиеся умножения чисел выполнить позже. Эту операцию уже можно было выполнять не строго "слева направо" , а в произвольном порядке. Рассмотрим эту процедуру подробнее.
1), Решение примера после того, как произвели, предварительно, умножение чисел.
48:5*3:4:2*4*5=48:(5*3):4:(2*4*5)=48:15:4:40=(Далее, слева направо)=0,02;
Такое решение называется: Решение примера с учетом условного "приоритета умножения над делением чисел .( Здесь под этим термином подразумевают только порядок выполнения действий умножения - в первую очередь) .
2). Решение примера после того, как произвели, предварительно, деление чисел.
48:5*3:4:2*4*5=(48:5)*(3:4:2)*4*5=9,6*0,375*4*5=72;
Такое решение называется: Решение примера с учетом условного "приоритета деления" над умножением чисел. ( Здесь, так же, под "приоритетом деления" подразумевается только начальный порядок выполнения деления - в первую очередь ).
3). Решение примера, которое выполнено сразу по Правилу "слева направо", без предварительной подготовки примера. (Такой подход наиболее удобный и простой для школьника, а так же наиболее точно отвечает Базовому порядку решения примера).
48:5*3:4:2*4*5=9,6*3:4:2*4*5=28,8:4:2*4*5=7,2:2*4*5=3,6*4*5=14,4*5=72;
ЗАМЕЧАНИЕ:
Решение примера и по Правилу "слева направо", и по Правилу "приоритета деления над умножением" - ВСЕГДА ДАЮТ ОДИНАКОВОЕ РЕШЕНИЕ ПРИМЕРА!!
А теперь выясним: Являются ли найденные нами "равноправные" ( или "равнозначные") ответы: "72" и: "0,02" - единственными, или возможны и другие решения примера. Чтобы ответить на этот вопрос выполним решение примера в произвольном порядке (Для этого обозначим скобками различные, но возможные приоритетные действия).
4). 48:5*3:4:2*4*5=48:5*3:(4:2*4*5)=48:5*3:40=9,6*3:40=28,8:40=0,72;
5). 48:5*3:4:2*4*5=48:5*3:4:(2*4*5)=48:5*3:4:40=9,6*3:4:40=28,8:4:40=7,2:40=0,18;
Мы дополнительно получили еще два разных, но таких же "равноправных" решения примера. А всего можно получить 9 (девять) "равноправных" (или "равнозначных") решений примера, если применим другой способ группировки чисел и будем решать не только "слева направо", но, также, и "справа налево", поскольку направление решения примера "слева направо" подчинено, в своей основе, "человеческому" фактору, но никак не "математическому"!!
Следовательно знак деления "двоеточие" указывает на то обстоятельство, что такой пример еще только предстоит решить, или опираясь на фундаментальное Правило равного приоритета умножения и деления чисел ( Которое традиционно применяется в большинстве стран мира), или на Правило условного приоритета умножения над делением ( Которое еще традиционно применяется в некоторых отдельных странах). То есть "двоеточием" обозначается еще только НАМЕРЕНИЕ решить такой пример одним из двух общепринятых в мире способами, а дальнейшее решение такого примера, выполненное через написание "горизонтальной" черты указывает на то, что такое намерение - уже окончательно состоялось и записано в виде однозначного решения. (Надо помнить, что в некоторых случаях написания примеров со знаком "двоеточие" - их решения двумя разными способами могут вполне совпадать между собой!),
Поэтому, в случае отличающихся решений, совершенно НЕДОПУСТИМО корректно оформлять решение примеров со знаком (знаками) "двоеточие", ЕСЛИ НЕ ВВОДИТЬ КРАТКИЕ ПОЯСНИТЕЛЬНЫЕ СИМВОЛЫ в написание решения примера.
Своим АВТОРСКИМ ПРАВОМ я вношу такие пояснительные поправки в решение линейных примеров.
1). " (1!) " - так предлагаю обозначать решение примера по наиболее популярному в большинстве стран мира ( В том числе и в " Р.Ф.") правилу "Равного приоритета умножения и деления чисел" (Проще: решаем пример последовательно,"слева направо").
2), " (2!) " - так предлагаю обозначать решение примера по менее популярному, но еще применяемому в отдельных "забугорных" странах правилу условного "Приоритета умножения над делением" чисел ( Проще: сначала выполняем все действия умножения чисел и только потом, "слева направо" - выполняем оставшиеся действия деления в примере).
3). " (Х!) " - так предлагаю обозначать решения примера в произвольном порядке. ( Такой порядок носит не прикладной характер, а скорее - чисто теоретический характер, когда желают найти все возможные решения примера!).
ТОГДА КОРРЕКТНЫЕ ЗАПИСИ РЕШЕНИЯ ПРИМЕРОВ БУДУТ ВЫГЛЯДЕТЬ ТАК:
1). 48:5*3:4:2*4*5= (1!)=72;
2). 48:5*3:4:2*4*5=(2!)=0,02;
3). 48:5*3:4:2*4*5= (Х!)=0,72; или: 4). 48:5*3:4:2*4*5=(Х!)=0,18;
,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,
С учетом данного обстоятельства следует записывать решение и такого примера
1). 6:2(1+2)=(1!)=6:2*(1+2)=6(1+2)/2=18/2=9;
2). 6:2(1+2)=(2!)=6:[2(1+2)]=6/2(1+2)=6/6=1;
,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,
С учетом данного обстоятельства следует записывать и деление одночленов.
1). Задание: Разделить одночлен: "2аb" на одночлен: "3cde". но деление в примере записано без скобок:
а). 2ab : 3cde=(1!)=2аb:3*с*d*е=(2ab/3)*c*d*e = 2abcde/3:
б). 2ab : 3cde = (2!)=2ab/3cde;
2). Задание: Разделить одночлен: "2аb" на одночлен: "3cde" но деление записано уже со скобками:
а,а). (2ab) : (3cde)=(1!)=2ab/3cde;
б,б). (2ab) : (3cde)=(2!)=2ab/3cde;
ВЫВОД: Если выражение: "Разделить один одночлен на другой одночлен" подразумевает, что деление необходимо произвести ВСЕГО ВЫРАЖЕНИЯ первого одночлена на ВСЕ ВЫРАЖЕНИЕ другого одночлена. ( Т. е для получения такого однозначного дробного вида: "2ab/3cde"). Тогда надо признать, что если выполнять деление одночленов по "Правилу, слева направо" (или согласно моему символу "(1!)"), то одночлены ВСЕГДА НАДО ПИСАТЬ СО СКОБКАМИ!(Если не писать скобки, то получим "2abcde/3 ", вместо ожидаемого "2ab/3cde"). А если выполнять деление одночленов по "Правилу условного приоритета умножения над делением чисел" ( Или согласно моему символу "(2!)"), то деление одночленов ЗАПИСЫВАЮТ ВСЕГДА БЕЗ СКОБОК! ( Поскольку скобки здесь просто излишни! Сравните выражения: "б)." = "б,б)."="2аb/3cdе" ).
Эта информация будет весьма полезна тем лицам, кто бездумно вопрошает: а как там у них, "за бугром", записывают деление одночленов: со скобками или без скобок?! В ОТДЕЛЬНЫХ "забугорных" странах деление одночленов записывают БЕЗ СКОБОК. Однако в ПОДАВЛЯЮЩЕМ БОЛЬШИНСТВЕ "забугорных" стран деление одночленов, так же как и у нас, - записывают только СО СКОБКАМИ !
__________________________________________________________________________
ДАЛЕЕ МЫ С ВАМИ ПОПЫТАЕМСЯ УЧИТЬСЯ ПРАВИЛЬНО ЧИТАТЬ МАТ. ВЫРАЖЕНИЯ. ( Что совершенно необходимо для правильного решения примеров).
Обращаю Ваше внимание, что символ: "(1!)" носит важную пояснительную функцию, поскольку указывает на правило по которому решается данный пример! ( Т.е. по правилу "слева направо"). Совершенно понятно, что данный пример можно решить и иначе:
2). 6:2(1+2) = (2!) =6:[2(1+2)]=6:(2*3)=6:6=1;
Здесь символ : "(2!)" - указывает на то, что пример решается с привлечением другого правила, а именно: "Правила условного приоритета умножения над делением чисел". Такое решение считается НЕПРАВИЛЬНЫМ в большинстве стран мира. (В том числе и в Р.Ф.), однако в отдельных "забугорных" странах такое решение признается ПРАВИЛЬНЫМ, а правильный у нас ответ "9" ,- они воспринимают, как НЕПРАВИЛЬНЫЙ!
Далее будут рассматриваться решения примеров, которые я выполню только по Правилу "слева направо" - что является базовой основой для правильного решения примеров в большинстве стран мира (И в нашей стране тоже). Соответственно и собираюсь употреблять и знак "(1!)" - как символ применения именно этого Правила: "слева направо"!
Замечание:
а). Необходимо всегда ссылаться на то, что указанное преобразование справедливо, если выполняется условие, что: "а ≠0";
б). При написании решений этих примеров необходимо вносить символ: "(1!)", который указывает на то, что применяется Правило "слева направо".
2). 6:2(х+2) = (1!) = 6:2*(х+2) = 6/2*(х+2) = 3(х+2) ; -!!
3). 6:ас*2(х+2) = (1!) = 6:а*с*2*(х+2) = 6/а*с*2*(х+2) = 12с(х+2)/а ; -!! при условии, что "а≠ 0";
Давайте теперь выясним: как повлияют или не повлияют на решение последнего примера, выставленные скобки в выражении: "(ас)" .
3). 6:ас*2(х+2)=(1!)=6:а*с*2*(х+2)=12с(х+2)/а ; при условии, что а≠ 0 ;
4). 6:(ас)*2(х+2)=(1!)=6:(ас)*2*(х+2)=12(х+2)/ас ; при условии, что и а≠ 0; и с ≠0;
Чтение линейной записи примера - совершенно не особо сложно. Сложнее читать вертикальные и смешанные записи примеров.
Предлагаю Вашему вниманию несколько характерных случаев написания, чтения и решения дробных выражений.
Подчеркну важное значение написания скобок при делении одной ДРОБИ на другую Дробь. Если дробные выражения не записывать в скобки, то получим, в итоге, другое прочтение выражения и, соответственно, - совершенно другое решение выражения. Поэтому обоснованно считается НЕКОРРЕКТНОЙ ЗАПИСЬЮ деление дробных выражений, ЕСЛИ ОНИ ЗАПИСАНЫ БЕЗ СКОБОК. Записывать УМНОЖЕНИЕ дробных выражений без скобок, (Поскольку чтение и решение дробных выражений, записанных, как со скобками, так и без скобок - дают совпадающие ОДИНАКОВЫЕ решения ) - ВПОЛНЕ ДОПУСКАЕТСЯ, но будет считаться более предпочтительным вариантом, если и при умножении дробей записать их в скобках для того, чтобы подчеркнуть производство именно операции: "Умножение дробей". А при сложении и вычитании дробей брать, последние, в скобки, - будет уже совершенно излишне, поскольку это считается ничем необоснованной и неразумной тратой чернил на их написание!
,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,
Далее рассмотрю несколько "спорных" мат. выражений, которые выродились в окончательно оформившиеся штампы, "требующие" однозначного их "выпиливания" из искаженного сознания учеников.
1). 2а ; и 2*а ;
В первом случае: "2а" - очень многие полагают, что здесь записан коэффициент "2" при переменой букве: "а". И тогда полагается считать выражение "2а" - как "единое" и "неделимое" выражение. Во втором случае: "2*а" они полагают, что коэффициент: "2" уже "оторван" от буквы: "а" и тогда ими можно будет "манипулировать" в выражениях, как независимыми, друг от друга, -отдельными величинами. ( Такое составное выражение, лишь для дальнейшего удобства работы с их отдельными частями, разделили, по -отдельности, на числовой коэффициент и буквенное выражение). Бесполезно уже говорить такому человеку, что если нашей двойке, однажды, назначили персональный термин: "Коэффициент", то от этого она не перестала быть сомножителем в выражении: "2а" и продолжает оставаться таковым- всегда. Просто "Правило возможного опускания написания "точки", в особо оговоренных случаях, позволяет выполнять такую запись, и с точкой, и без точки - по желанию ученика. То есть: "2а=2*а" ;
Также часто слышу утверждение, что коэффициент "2" всегда пишется перед буквой, вот так: "2а". Не желают понимать простую вещь, что коли "2" выступает в качестве сомножителя в выражении: "2а", то нет принципиальной разницы, если сомножители в выражении поменяются местами. То есть: "2а=2*а=а*2=а2 ; Просто место за буквой уже "зарезервировано" конкретно за степенью такого выражения. Поэтому, чтобы избежать возможных "степенных непоняток", ( Т. е. чтобы случайно не спутать коэффициент "2" с показателем степени "2" при букве "а") выражение "а2" чаще, совершенно намеренно, разделяют точкой вот так: "а*2". Всего и делов -то!
2). 2(1+2) ; и 2*(1+2) ;
Здесь проблема в понимании первого выражения, записанного без "точки" между сомножителями: "2" и "(1+2)".
Такое преобразование, в обиходе, звучит как: "Вынесение общего множителя "2" за скобку "(2+4)" Т.е. "(2+4)=2(1+2)". Тогда, коли вынесли двойку за скобку и не отделили ее точкой от скобки - то очень многие человеки полагают, что, таким образом, полагается однозначно воспринимать их единство и двойку, в такой записи, следует обязательно "возвращать" в скобку. То есть уже, сам по себе, термин: "Вынесение общего множителя за скобку", якобы подразумевает "автоматическую прописку" и возврат общего множителя внутрь этих скобок - АБСОЛЮТНО ВО ВСЕХ СЛУЧАЯХ ! Потому-то и отсутствие разделяющей "точки" должно еще сильнее укрепить стороннего читателя в пользу такого умозаключения. ( Они заявляют: ну вот неспроста записывается или опускается "точка" в математических выражениях !!). Вот такая железобетонная и дремучая чушь завладела умами многих человеков ! Поэтому хочется, в таких случаях, крикнуть громко, ОЧЕНЬ ГРОМКО, ЧТОБЫ МЕНЯ УСЛЫШАЛ ДАЖЕ "ГЛУХОНЕМОЙ":- "Ну конечно же, неспроста, записывают или опускают "точку" в мат. выражениях. Конечно же "точка" разделяет единое мат. выражение на отдельные и независимые, друг от друга,- составные части, НО ТОЛЬКО В ВЫРАЖЕНИЯХ, В КОТОРЫХ ДЕЛЕНИЕ ЗАПИСАНО "НАКЛОННОЙ" ЧЕРТОЙ, НО НИКАК НЕ "ДВОЕТОЧИЕМ".( Да и только лишь с правой стороны черты, а с левой стороны она утрачивает это свое свойство). Для деления с "двоеточием" написание "точки" или ее пропуск - НЕ ИГРАЕТ НИКАКОЙ РОЛИ! Если взрослые дяди и тети не могут отделять "мух" от "котлет", тогда пускай они их лопают вместе - сытнее будет для их организма !!"
Еще они совершенно упускают из вида, что запись такого вида: "(2+4)=2(1+2)" - означает, в первую очередь, запись ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ВЫРАЖЕНИЯ ИЗ ВИДА: "(2+4)" в запись выражения, в виде ПРОИЗВЕДЕНИЯ УЖЕ ДВУХ СОМНОЖИТЕЛЕЙ, выполненная общепризнанным и широко применяемым в математике, способом вынесения общего множителя из выражения: "(2+4)". Тогда число: "2" -полагается считать, как первый сомножитель, а выражение в виде скобки: "(1+2)" - это второй сомножитель. И точку между сомножителями ,то есть между числом и скобкой, можно, как писать, так и не писать - на усмотрение ученика. Такова трактовка "Правила возможного опускания написания знака "точка", в особо оговоренных случаях". То есть всегда полагается считать, что: "2(1+2)=2*(1+2)".
Нам совершенно "по барабану", как записывать различные преобразования и "возвращать или не возвращать" в первоначальное коренное выражение наше , вновь образованное, выражение: ас(2+4)=ас2(1+2)=а2с(1+2)=2ас(1+2)=2а(с+2с)=с(2а+4а)=(2ас+4ас) ; или такие же преобразования, но выполненные уже с точкой:
а*с*(2+4)=а*с*2*(1+2)=а*2*с*(1+2)=2ас*(1+2)=2а*(с+2с)=с*(2*а+4*а) ;
Мы сами выбираем форму написания таких выражений, только исходя из их дальнейшей ЦЕЛЕСООБРАЗНОСТИ !!
3). Читатели чрезмерно излишне "налегают", в своих рассуждениях, на специфические термины, что, иногда, приводит к ложным выводам. Например разделяют примеры на "арифметические" и "алгебраические". Смутно полагают, что если арифметика "работает" только с числовыми символами, то такие примеры автоматически переводятся в разряд специфических "арифметических" примеров с какими- то их сомнительными "индивидуальными" особенностями. (Я не говорю об устоявшейся практике обязательного написания точки в таких выражениях) А если они написаны буковками, то такой пример считают уже "алгебраическим" - тогда, как ни крути, уже придется учитывать еще и некие мнимые "алгебраические" особенности примера. ( И здесь я не говорю об общеизвестном факте, что такие примеры допустимо записывать, как с точкой, так и без точки). Ну а как назовем смешанный пример, где записаны и числа и буковки,- одновременно: "Банально Арифметический- Небанально Алгебраический пример", так что ли?! Как будто от названия примера зависит порядок решения таких примеров.
Не проще ли будет "арифметическому примеру" дать такое нейтральное название, как: "Числовое мат. выражение" !
"Алгебраический пример" - назвать; "Буквенное мат. выражение" !
А смешанный пример - назвать: "Число- буквенное мат. выражение" !
Ведь все эти выражения решаются по одному и тому же универсальному алгоритму, который называется: " Правило равного приор. умнож. и дел. чисел", или согласно упрощенной его интерпретации: " Примеры со знаком деления "двоеточие" решаются СТРОГО СЛЕВА НАПРАВО и В ПОРЯДКЕ НАПИСАНИЯ МАТ. ВЫРАЖЕНИЙ В ПРИМЕРЕ". В рамках таких нейтральных определений совершенно не играет никакой роли в какой форме записано выражение и нет никакой помехи для того, чтобы поменять написание чисел на буквы и сделать наоборот: поменять буквы на числа. Подход к решению таких преобразованных написаний мат. выражений - никак не изменится !! Зато мы избавимся от того непомерного хаоса в голове, какое случается при употреблении "арифметических" и "алгебраических" характеристик примеров и выражений.
В сознание школьника вброшено большое количество специфических названий, определений, правил и прочего "мусора". Как они сочетаются между собой, какое мат. правило предпочтительнее другого мат. правила - уже невозможно разобраться, отсюда и неизбежные ошибки при оценке того или иного примера. Не удивительно, что в таком море рукотворного хаоса и "утонуло" важнейшее и краеугольное "Правило слева, направо", став рядовым и ничем не примечательным правилом среди бесконечного множества других, подобных ему, - правил. Часто говорят так:- "Поскольку деление и умножение имеют равный приоритет между собой, то ТОЛЬКО ПОЭТОМУ и решают примеры в порядке: "слева, направо". Как будто другой порядок решения этого же примера, но "справа, налево" - будет считаться уже каким -то, "из рук вон", существенным НЕПОРЯДКОМ?!
Поэтому я решил написать небольшую шпаргалку для "Бабушки", которая, однажды, найдет для себя время, чтобы помочь своей любимой внучке выполнить домашнее задание по арифметике, совершенно грамотно и со знанием дела !
Перечень случаев возможного пропуска знака умножения необычайно обширен, но для школьника начальных классов такого краткого перечня будет вполне достаточно. Далее я кратко озвучу порядок решения примеров, в которых знак деления записан в виде "двоеточия".
Что касается широко распространенного мнения, что поскольку в выражении: "2(1+а)" - двойка не отделена от скобки точкой, то это значит, что, якобы таким способом, двойка и скобка - "СТЯГИВАЮТСЯ в ЕДИНОЕ ВЫРАЖЕНИЕ". Или, что 2(1+а) - это есть "алгебраическое" выражение, а 2*(1+а) - это уже "арифметическое" выражение, поэтому у них и разные решения. И прочее, и прочее. Все эти художественные домыслы опираются на неудачную попытку академиков П.С. Александрова, А.Н. Колмогорова и других мозгоедов, предпринятую ими в середине прошлого века, когда, последние, предложили реформировать некоторые классические понятия и определения принятые в элементарной математике. Речь идет об этом их предложении:
Я уже многократно давал оценку этому "мылу" , поэтому скажу чуть проще:
Открывайте любой учебник по математике, написанный для учеников начальных классов, и проштудируйте его от корки и до корки. Во всех доступных учебниках всегда сохраняется написание ПРАВИЛА ВОЗМОЖНОГО ОПУСКАНИЯ ЗНАКА УМНОЖЕНИЯ (ТОЧКА) в отдельных выражениях, а ГИПОТЕТИЧЕСКОГО "КОЛМОГОРОВСКОГО" : - " В алгебре знак умножения связывает компоненты действия сильнее, чем знак деления...." , ЕГО, ПОПРОСТУ, - НЕ НАЙДЕТЕ !!
ВАЖНОЕ ПОЯСНЕНИЕ:
1). Колмогоров, Репьев... "со товарищи" предлагали считать, что в выражениях вида: "а:bс", будет правильным вот такое решение: "а:bc= а:(bс) = а/(bc) ;" , поскольку в "ихней алгебре" приоритет умножения они предлагали считать выше деления, то и "точку" между "bс" и внешние скобки , по ихней якобы "устоявшейся традиции", - они предложили никогда не записывать!
2). А Правило возможного пропуска написания знака умножения "точка" позволяет ее: как записывать, так и не записывать - поскольку считается, что это одно и то же выражен. Отсюда и решение другое: "а:bc=а:b*с=(а:b)*c=(а/b)*с ";
Поскольку эти два подхода к оценке написания буквенного выражения - СОВЕРШЕННО ПРОТИВОРЕЧАТ ДРУГ ДРУГУ и ДАЮТ РАЗНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ РЕШЕНИЯ ОДНОГО и ТОГО ЖЕ БУКВЕННОГО ВЫРАЖЕНИЯ, то тогда следует одно из них напрочь удалять из учебника. И без сожаления, еще сто лет тому назад, выбросили на помойку истории (Очень надеюсь, что навсегда !!) именно предложение "александровых", "колмогоровых", "шустефых" ,"репьевых", и им подобным.
Все эти разнообразные "консервы от колмогоровской и репьевской кухни", со временем, - значительно протухли и стали очень опасны для здорового "пищеварения" нынешнего неопытного школьника.
Тогда зачем, так настойчиво, некоторые современные человеки с таким маниакальным упорством продолжают "впрягать" в арбу ишака, который еще сто лет тому назад - благополучно издох и, по этой причине, не собирается предпринимать самостоятельных шагов по своему внезапному и сказочному "возрождению"?! Ответ совершенно очевиден: наблюдается значительная нехватка "масла" в головах таких вот человеков - "аналитиков" !!
,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,
Если "Бабушка" слегка "растеряется", читая мои обширные разглагольствования, тогда предложу вниманию заинтересованной общественности более краткий вариант вышесказанного:
Прежде чем попрощаться с моим, наверняка утомившимся читателем, хотелось бы узнать его мнение относительно решения некоторых элементарных примеров и выражений:
Решите:
а). 1а : 1а=? ; 1а : 1*а=? ; 1а : а*1=? ; (1а) : 1а =? ; 1а : (1а)=?; 1а/1а=?; 1а/1*а=?;
б). 2/3 : 4/5=? ; (2/3) : 4/5=? ; 2/3 : (4/5)=? ; (2/3) : (4/5)=? ; 2/3/4/5 =? ; (2/3)/(4/5)=?
в). 5а:2*bcd=? ; 5а:2b*cd=? ; 5а:(2bc)d=? ; 5а:(2bcd)=? ; 5а/2bcd=?; 5*а/2b*cd=?;
г). Если, например: (2+4)=2(1+2) ; Тогда, пускай: (2+4)=а/bc* (........) ; - Какае выражение, на Ваш взгляд, следует записать в скобках ! Установите допустимые ограничения для всего правого выражения, которое Вы, я не сомневаюсь, наверняка сможете записать!!
Несмотря на кажущуюся простоту указанных выражений, я полагаю, что Вам стоит потратить некоторое время для неспешных размышлений. Тогда,- удачи Вам !!
,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,
С уважением к моему читателю, А. Андреев. 04.08 2025г. (12 : 00) мск. времени.
Р.S.
Считаю нужным сделать некоторые пояснения.
1). Рассмотрим простое число- буквенное выражение: "2bcd".
Такое выражение позволительно записывать , как с "ТОЧКАМИ", причем в любой части этого выражения, так и БЕЗ "ТОЧЕК". ( Таков регламент "Правила возможного опускания написания точки в некоторых выражениях"). Именно поэтому выражения: 2bcd=2*bcd=2b*cd=2bc*d=2*b*c*d ; - Это совершенно равнозначные выражения. Но согласно установившейся практике его, чаще всего, пишут без точек: "2bcd". Повторю: но если захочешь, -то можешь записать и с точкой.
Давайте запишем теперь уже "СКОБКИ" в любой части выражения. Получим выражения: 2(bcd)=2b(cd)=2с(bd)=cd*(2b); - Это тоже - равнозначные выражения. Тогда, коли скобки не меняют значение всего выражения, тогда зачем их писать? Их и не пишут - за полной ненадобностью, последних ! Казалось - бы: ситуация с написанием или не написанием, в таких выражениях, "точек" и "скобок" предельно понятна. Какие здесь могут быть еще какие -либо "непонятки"?! Но если записать это выражение совместно с другим выражением через знак деления, то получим нечто интересное. Поскольку знаков деления три вида, тогда рассмотрим их все.
1). Деление со знаком "двоеточие".
Такие примеры решаются исключительно по "Прав. равн. приор. умнож. и дел." Или конкретнее: решаем пример слева, направо -в порядке его написания. Запомните: данное правило озвучено в своем ПОЛНОМ РАБОЧЕМ ОБЪЕМЕ и в нем не предусмотрены какие - либо исключения или иные поправки. ( Например такие: если точка где- то написана, то тогда решение примера будет такое, а если не написана, то решение уже другое ). Поскольку в данном "Правиле" отсутствуют исключения, то оно, словно могучий "Танк", неотвратимо и последовательно катится по примеру : слева, направо и любую "дыру" в примере ( Т.е. отсутствующую "точку" в нем), все равно, воспринимает как знак умножения, -без разницы: записана здесь "точка" или она опущена !!
а). Рассмотрим особенности деления с написанием "точки".
5a : 2bcd = 5*а : 2*b*c*d= (5а:2)*bcd ; 5*а:2bсd=(5a:2)*bcd ;
5а:2*bcd=(5a:2)*bcd ; 5а:2b*cd=(5а:2)*b*cd ; 5а:2bc*d=(5а:2)*bc*d ; - Написание "точки" совершенно НИКАК НЕ ВЛИЯЕТ на конечный результат.
б). Рассмотрим особенности деления с написанием "скобок".
5а:(2b)cd=[(5a):(2b)]*cd ; 5а:(2bc)d=[(5a):(2bc)]*d ; - Здесь написание "СКОБОК", в начальных выражениях, - играет ВАЖНОЕ ЗНАЧЕНИЕ !!
(5а):2bcd=(5a:2)*bcd ; 5а:2(bcd)=(5a:2)*(bcd) ; 5а:2b(cd)=(5a:2)*b(cd) ; - А здесь написание "скобок", в начальных выражениях, - уже НЕ ИГРАЕТ НИКАКОГО ЗНАЧЕНИЯ. Поэтому их, в таких случаях, и не записывают вовсе !!
2). Деление со знаком: "Горизонтальная черта".
Со знаком "гор. черта" - здесь безразлично будет, как записывать деление первоначальных выражений: или с точками, или без точек. Или со скобками, или без скобок. Здесь нет нужды учитывать и "Правило: слева, направо".Такая запись настолько "демократична", что всегда однозначно понимается широким кругом пользователей. И ее рассмотрение - я опускаю !
3). Деление со знаком: "Наклонная" черта.
"Правило: слева, направо" - здесь, тоже, совершенно бессмысленно, поскольку такая форма написания деления уже подчинена своим индивидуальным требованиям и является самодостаточной. И если учитывать это правило - то можем, даже, нанести вред правильному пониманию такого выражения !!
Здесь есть свои особенности, которые необходимо всегда знать и соблюдать.
а). 5а/2b*cd= [(5a)/(2b)]*cd ; - Здесь "точка" РАЗДЕЛЯЕТ ПРАВОЕ выражение: "2b*cd" - на две независимые части: "2b" и "cd" ;
б), 5*а/2bcd=(5*a)/(2bcd) ;- А здесь "точка" уже НЕ РАЗДЕЛЯЕТ ЛЕВОЕ выражение "5*а" на составные части, как это было, выше,- с правой частью выражения.
в). 5+а/2b+cd=5+[a/(2b)]+cd ; - А здесь знак "+" уже разделяет, как ЛЕВОЕ, так и ПРАВОЕ выражения !!
,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,
Оцените еще и написание вот таких выражений и постарайтесь их не путать, между собой, никогда:
а). "а:bc" ; и "а:b*c" ; - Означает: "а:bc=a:b*c=(a:b)*c ;
б). "а/bc" ; и "a/b*c" ; - Означает: "а/bc=a/(bc)" ; но уже: "a/b*c=(a/b)*c" ;
,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,
Оцените и важность возможного написания скобок в таких вот выражениях:
а). 12:(6)=2; - Здесь скобки надежно "защищают" делитель: "6" от такой вульгарной интерпретации, которая может проистекать со стороны некоторых лиц:
Например, делитель "6" они могут представить в виде произведения двух чисел: "6=2*3". Тогда решение примера примет вид: "12:6=12:2*3=6*3=18 ;- ??
Но если запишем скобки, тогда уже: "12:(6)=12:(2*3)=12:(6)=2 ; -!!
ЗАМЕЧАНИЕ: Однако согласно установившейся традиции, "число- делитель", никто и никогда не записывает в скобках ( Совершенно обоснованно считая его всегда, как ЕДИНОЕ ЧИСЛО), поэтому я вполне лояльно отношусь к такой традиции написания делителя без скобок. Но считаю необходимым, дополнительно, делать еще вот такое замечание, обозначенное в скобках:
12:6=2; ( При условии, что: "12=(12)"; "6=(6)"; 2=(2);).
Такое пояснение, например, "12=(12)" - указывает на то, что "голое" число "двенадцать" следует всегда воспринимать только в таком формате написания, как оно записано в скобках. Если возникает нужда изменить его вид, тогда необходимо будет переходить к его "скобочному" эквивалентному варианту. Например:
12:6=(12):6=(9+3):6=(12):6=12:6=2; Или такое: 12:6=12:(6)=12:(2*3)=12:(6)=12:6=2;
б). 24:3!=24:(3!)=24:(1*2*3*)=24:(6)=4; - !!
24:3!=24:1*2*3=24*2*3=48*3=144 ; - ?? - А ЭТО, УЖЕ НЕДОПУСТИМАЯ ОШИБКА !!
Поскольку выражение: "3!" - предписывается рассматривать всегда, как ЕДИНОЕ ВЫРАЖЕНИЕ, то скобки здесь: "24:(3!)" - совершенно излишни, но я сохраняю их написание, чтобы придать выражению уверенную однозначность. И, кроме того, когда мы "расписываем" факториал выражения на составляющие сомножители, то необходимо всегда писать скобки, чтобы избежать возможной формальной ошибки в примерах с делением в виде знака "двоеточие".
в). 18:3²=18:(3²)=18:(3*3)=2;
И здесь выражение: "3²" - является, по определению, - ЕДИНЫМ ВЫРАЖЕНИЕМ. Поэтому записывать скобки здесь: "18:(3²)" - нет никакой нужды. Но деление со знаком "двоеточие" настолько "капризное занятие", что скобки помогают надежно избежать возможной технической ошибки!
*********************************************
Я наглядно показал, что знаки деления "двоеточие" и "накл. черта" в МНОГОЗНАЧНЫХ ВЫРАЖЕНИЯХ - УЖЕ КАТЕГОРИЧЕСКИ НЕРАВНОЗНАЧНЫ !!!
Скажу другими "новомодными" словами: Если "явное" и "скрытое" умножение играет важную роль в выражениях, где деление записывается знаком: "Накл. черта", то В ВЫРАЖЕНИЯХ С "ДВОЕТОЧИЕМ" - ОНИ НЕ ИГРАЮТ УЖЕ НИКАКОЙ РОЛИ !! Еще раз услышьте меня: НИ - КА - КОЙ РОЛИ !!!
,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,.
Целью данной статьи - является намерение рассмотреть некоторые особенности выражений со знаком деления "двоеточие". Поскольку именно такие выражения вызывают известные затруднения из- за их неоднозначной трактовки и возможных множественных решений. В отличие от деления со знаком "двоеточие", деление выражений со знаками "гор. черта" и "накл. черта",- всегда читаются легко и дают только однозначные решения. Поэтому их трактовка и решения никогда не вызывают каких -либо особых затруднений и легко усваиваются массовыми пользователями! Читатель наглядно убедился в том, что деление со знаком "двоеточие" приобрело настолько предельно сложный характер, что математики обоснованно приняли решение не развивать дальше технику деления мат. выражений со знаком "двоеточие", а просто ИСКЛЮЧИЛИ ( Т. е. выбросили, как дырявое ведро) ЕГО НАПИСАНИЕ ( Вместе с его сопутствующими правилами) ИЗ ВСЕХ МАТ. ВЫЧИСЛЕНИЙ, А ТАК ЖЕ ИЗ ВСЕХ ФОРМУЛ И ВЫРАЖЕНИЙ, - ЗАМЕНИВ ЗНАК "ДВОЕТОЧИЕ" НА ЗНАК "ГОРИЗОНТАЛЬНАЯ ЧЕРТА", которая предполагала уже совершенно новый и более простой подход к выполнению операции деления мат. выражений. А, в школе, всем ученикам выше четвертого класса стали настойчиво рекомендовать и, в обязательном порядке, всячески избегать написания любых мат. выражений со знаком деления: "двоеточие", отдавая предпочтение знаку деления, -"гориз. черта".
И оказалось, что, фактически, знак деления: "двоеточие", вместе со своими правилами, - стали ничем не примечательной "детской" забавой или "пустышкой", которая перестала играть в "серьезной" математике уже КАКУЮ -ЛИБО ЗАМЕТНУЮ ПОЛЕЗНУЮ РОЛЬ !! Поэтому осмелюсь дать моему читателю небольшой совет:
- Если Вы испытываете какие- либо, даже незначительные, затруднения с чтением и решением примеров со знаком деления: "двоеточие", то, без сожаления, выбрасывайте эту "детскую погремушку" далеко от себя в сторону, - она вам больше никогда в жизни не пригодится, даже в том случае, если Вы наметили для себя цель: стать доктором физ. мат. наук. Однако, если Вы нахально и самоуверенно похваляетесь, на каждом перекрестке, своим ромбиком (значком о высшем образовании) на лацкане пиджака, то мало уже лепетать такие знакомые всем слова: " Сначала: скобки, затем: решаем пример слева, направо...". Всегда будьте готовы к тому, что вам предстоит, вероятнее всего, более предметно обосновывать столь непростые решения примеров со знаком деления "двоеточие".
Тогда приложите усилия для того, чтобы научиться "копать", такие примеры, чуть поглубже !!
,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,
Все !