Мы уже говорили про наибольший общий делитель и наименьшее общее кратное в других статьях. Я показывала быстрые способы их нахождения, но всегда отмечала, что эти способы хорошо работают с небольшими числами. Если у вас число в 4-5 и больше разрядов - нужно искать другой способ.
Наступил момент показать один совершенно удивительный и - главное - невероятно способ нахождения наибольшего делителя (НОД, для сокращения дробей) и наименьшего кратного (НОК, для приведения к общему знаменателю) на случай, если цифры у вас большие.
Выглядит этот способ, как трюк или фокус - но это вовсе не так. Пока просто поверьте, а позже сделаю статью с объяснением :-)
Наибольший общий делитель (НОД)
Допустим, у нас есть два здоровенных максимально неудобных числа: 1936 и 2864.
Задача, найти их наибольший общий делитель.
Например, мы хотим сократить дробь
Как назло, видим, что эта дробь точно не сократится на весь числитель, зато ее можно долго и печально сокращать много раз на 2...
И ооочень долго раскладывать на множители в поисках НОД.
А можно поступить так:
1) Запишем два наши числа рядом, для удобства
2) Вычтем из бОльшего числа меньшее, запишем в новую скобочку
- получившийся ответ
- вычитаемое
Цветом подкрашиваю, что откуда берётся и куда записывается.
3) Посмотрим на новую скобочку: тут снова есть бОльшее и меньшее число. Снова вычтем из бОльшего меньшее и запишем в новую скобочку (ответ; вычитаемое):
4) И так будем продолжать вычитать из бОльшего меньшее и записывать в новой скобочке (ответ; вычитаемое) - (ответ; вычитаемое)... и так далее, до тех пор, пока не получим два одинаковых числа
вы точно, 200%, в какой-то момент обязательно получите два одинаковых
5) Это одинаковое число и есть Наибольший общий делитель (НОД)
Круто, да? )))
За всё вычисление ни разу ничего не умножили и не разделили! ))) А большую часть вычислений можно сделать вообще в уме. Или даже если в столбик - в любом случае вычитать гораздо проще, чем делить.
Наименьшее общее кратное (НОК)
Чтобы найти Наименьшее общее кратное, нужно
перемножить два числа и разделить их на Наибольший общий делитель (НОД)
В нашем случае, когда мы уже нашли НОД, это было бы так:
А можно сделать еще поинтереснее -)
Попробуем записать эту конструкцию в виде дроби:
Давайте проверим: вдруг что-то из написанного в числителе делится на 16? Тогда мы сможем взять и сократить знаменатель полностью :-)
И точно :-) 1 936 можно без остатка поделить на 16. Вот что у нас получилось:
Теперь нам осталось умножить 121 на 2 864 и получить НОК, равный 346 544
Все это время мы оперировали гораздо более маленькими и удобными числами, чем если бы считали традиционным способом.
____________________
А я предлагаю вам попробовать найти НОК и НОД на одном и том же наборе 4-5 значных чисел и сравнить, какой способ будет быстрее и удобнее именно вам.