Пошла уже не первая волна внутреннего экзамена по математике в МГУ (ДВИ 2025 по математике). Сегодня рассмотрим вторую задачу на последовательности. Раньше там были в основном арифметические и геометрические прогрессии, но в последнее время, в частности в этом году стали давать более сложные последовательности, которые не укладываются в комфортные школьные формулы по типовым последовательностям.
Итак, задание.
«Дана последовательность a1, a2, a3,... действительных чисел, удовлетворяющим для при каждом натуральном n>=3 равенству a(n)=(-1)^n*3*a(n-1)+a(n-1)^2/a(n-2). Найдите (a(2025))^(1/2024), если известно, что a1=1 и a2=4".
Как подступаться к такой задаче? Выглядит ужасно и не стандартно. Но дробь в конце и напрашивающее вынесение за скобки a(n-1) как бы намекают на замену. В предыдущем ДВИ последовательность также решалась заменой. Вообще замена – довольно частый приём, который важно освоить. Путём замены переменной мы переходим к более простой математической задаче, которую легче решаем, а затем делаем обратную замену.
Итак, выносим a(n-1) за скобки и делим левую и правую часть на этот член последовательности. Он нигде не равен нулю по условию задания последовательности (в знаменателе стоит «плавающий» член последовательности). И вводим замену переменной: a(n)/a(n-1)=b(n). Получаем, что b(n)=(-1)^n*3+b(n-1). На каждом новом «ходе» происходит то прибавление, то вычитание 3, то есть последовательность почти «стоит» на месте. b(2)=a(2)/a(1)=4/1=4.
Таким образом последовательность b будет: 4, 1, 4, 1, 4, 1… Это означает, последовательность a то растёт в 4 раза, то остаётся неизменной. ТО есть последовательность a будет: 1, 4, 4, 16, 16, 64, 64, … То есть для нечётных n a(n)=4^((n-1)/2). a(2025)=4^((2025-1)/2)=2^2024. Тогда искомый ответ получается 2.
Любую последовательность сразу хочется реализовать в Excel, чтобы быстро увидеть её динамику. Она сразу, собственно, даёт подсказку на ответ. А то математика школьная быстро заканчивается в жизни, а вот навыки работы в экселе пригождаются на многих работах.
Удобный файл в pdf с решением: https://disk.yandex.ru/i/7gckFGd8Qy1TZw.
