В этом году средний балл на экзамене по профильной математике составил 62 балла.
Руководители профильных ведомств преподносят этот как прорыв в массовом математическом образовании и отчитываются о готовности таких абитуриентов к учёбе на инженерных специальностях.
Однако из-за искаженной шкалы перевода баллов такой средний балл можно получить, даже не приступая к письменной второй части, да ещё и допустив пару ошибок в тестовой первой части.
Полностью правильно выполненная первая часть (12 заданий без письменного ответа) даёт 70 баллов. А так как суммарно таких заданий около двухсот и все они есть в открытом Банке заданий ФИПИ, то за три месяца можно научить школьника, который освоил программу 8 классов, сдавать ЕГЭ на 70 баллов.
Большинство коллег поддержало тезис о простой первой части экзамена.
Но некоторые из них усомнились в том, что возможно подготовить восьмиклассника в такой короткий срок. Ведь порой и 10-11-классников не удаётся вывести на этот уровень.
Не будем углубляться в эту полемику – словами тут сложно кого-то переубедить.
Давайте просто проследим КАК ИМЕННО можно подготовить ученика за три месяца.
Чтобы обозначить какие-то рамки, будем отталкиваться от следующей вполне реальной ситуации:
1. У нас есть выпускник старших классов, которому через 3 месяца надо сдавать ЕГЭ по математике.
2. Он готов заниматься, то есть у него есть личный предметный интерес к занятиям и он выделил для них время.
3. Он успешно освоил программу профильного 8 класса, то есть у него были не просто твёрдые пятёрки по алгебре и геометрии, но и реальные знания по этим предметам.
4. Считаем, что потом он потерял интерес к учёбе и, допустим, увлёкся музыкой или профессиональным спортом.
5. ОГЭ по математике он сдал на 4, решив только задания первой части и, возможно, текстовую задачу. Часть он списал с ответов, которые были доступны во время экзамена.
6. В 10-11 классах он лишь формально посещал уроки математики. Знание предмета было таким, чтобы хоть как-то писать контрольные на тройки.
7. На первичной диагностике показал, что база знаний за 8 класс сохранилась, однако требует актуализации.
8. По другим дисциплинам на ЕГЭ у него нет таких серьёзных проблем. Авральная подготовка только по одному предмету – математике.
Ниже будет описана одна из траекторий, занимаясь по которой он сможет успешно подготовиться к заданиям первой части.
Будем рассматривать три основных формы работы:
а) Ученик прорешивает задачи из Банка ФИПИ самостоятельно, а на занятиях мы разбираем нюансы, сложные случаи и т.д.
Такая форма работы нужна для тех заданий, в которых ученик в 8 классе уже имел навыки решения задач.
б) На занятиях мы решаем задачи из Банка, а дома ученик решает схожие задачи в качестве закрепления.
Эта форма работы подходит для заданий, в которых ученик уже получил некоторую базу, но не имеет твёрдого навыка решения.
в) На занятиях мы полноценно изучаем нужные для экзамена базовые темы школьной программы 9-11 класса, чтобы потом приступить к задачам из Банка. Дома ученик их закрепляет.
Так как часть заданий ученик может решать сам, то фактически у нас будет два параллельных пути: самостоятельное прорешивание Банка (набивание руки с небольшой корректировкой педагога) и предварительная работа с педагогом и последующее решение схожих задач.
Первым делом в параллельном треке стартуем с планиметрии. В ней больше всего заданий, которые может самостоятельно решать подготовленный восьмиклассник.
На самих занятиях отдельно и подробно нужно будет вспомнить про синусы, косинусы и тангенсы: определения, формулы и значения для основных углов. На занятии также можно прорешать пул простых заданий не из Банка и дать похожие на дом для закрепления.
Ещё желательно освежить в памяти формулы для правильного треугольника, квадрата и правильного шестиугольника. В зависимости от силы ученика возможно имеет смысл все их быстро вывести.
На самом же втором занятии желательно быстро разобрать задачи на векторы. Они есть в профильной программе 8 класса по геометрии, но про их координаты говорят только в 9 классе. Там есть пара формул, которые достаточно заучить и дальше просто показать как решать типовые задания.
Дальше желательно как можно раньше попросить ученика заучить дома стереометрические формулы. Фигуры он уже обычно визуально знает. Требуется: выучить объём для призмы и пирамиды, объём для цилиндра и конуса заучивать не требуется (они идейно такие же как и для призмы и пирамиды), выучить площадь боковой поверхности для конуса, для цилиндра объяснить как строится, выучить объём и площадь поверхности шара.
Без знания этих формул к стереометрии приступать нельзя.
Задачи по стереометрии нужно будет прорешивать с учеником на занятии, а дома закреплять.
Как правило в стереометрии остаётся где-то седьмая часть заданий, в которых ученики испытывают серьёзные трудности (например, там, где используются подобия объёмных фигур или комбинации тел вращения). Их можно оставить далеко на потом, если останется ещё время.
Дальше нужно освежить всё, что касается алгебры. Нужная связка: линейные уравнения – квадратные уравнения – линейные неравенства – разложение трёхчлена на множители /квадратные неравенства – дробно-рациональные уравнения – дробно-рациональные неравенства. Учим раскладывать трёхчлен на множители и проверять корни через т.Виета и их произведение. Часть из этого проходят в 9 классе, поэтому придётся сделать полноценные занятия на эти темы. Всё это пригодится для решения уравнений, текстовых и практических задач и потом для задач на нахождение экстремума.
Из алгебры ещё нужно будет вспомнить способы решения систем линейных уравнений как с двумя, так и с тремя неизвестными. Если ученик владеет методом алгебраического сложения – хорошо. Если нет, то даже про него не вспоминаем – решаем всё напрямую через подстановку.
Параллельно можно дать ученику на дом прорешать задачи на простую теорию вероятностей. С ней он справится. А вот сложную теорию вероятностей придётся прорешивать позже и только вместе.
Параллельно можно пробовать давать ученику на самостоятельное решение текстовые задачи. С одной стороны у него все необходимые знания есть, с другой – в них всё же бывают трудности. Где-то до трети задач ученик может не суметь прорешать сам. Особенно часто возникают проблемы в последних задачах на концентрацию. То есть возможно существенную часть основного времени занятий придётся потратить на разбор сложных текстовых задач (например, см. типовые задачи на громоздкие смеси или на бюджет семьи).
Дальше можно вспомнить с учеником основные графики – линейной функции (прямая), квадратичной функции (парабола) и обратной пропорциональности (гипербола).
Особенное внимание нужно уделить коэффициенту k наклона линейной функции. Вплоть до того, что нужно потренироваться угадывать по рисунку, какой примерно коэффициент наклона у прямой.
После этого решать соответствующие задачи из Банка.
Параллельно можно будет самостоятельно решать практические исследовательские задачи. Их в Банке довольно много, поэтому это займёт некоторое время. Правда, предварительно я рекомендовал бы вместе прорешать 2-3 задачи оттуда, чтобы ученик понял правила игры в этих заданиях. Также в этих заданиях есть с десяток неприятных типов, которые требуют знаний 10-11 класса (вроде степеней с дробным показателем и тригонометрических формул). Но их тоже можно пропустить и оставить на потом.
Далее на занятиях можно разобрать простейшие свойства показательных функций, показательные уравнения, свойства логарифмов для преобразования выражений и логарифмические уравнения. Это тоже обычные полноценные занятия рецептурного типа. Как правило пары-тройки занятий для этого хватает. Можно даже без прорешивания заданий из Банка, т.к. там задачи ровно такие же, как и во всех школьных учебниках.
После этого можно доразобрать графики показательной и логарифмической функции и тоже прорешать соответствующие задачи из Банка.
Дальше на занятиях полноценно изучаем тригонометрию 10-11 класса: единичная окружность, формулы приведения, нахождения одной триг.функции по другой, формулы двойного угла и т.д. Это довольно идейная тема, поэтому она займёт некоторое время.
Уже примерно к этому моменту бОльшая часть материала пройдена, поэтому выбираем удобный сборник вариантов и начинаем прорешивать дома дополнительно по 1-2 варианта. Те задания, которые не прошли – пропускаем. Если попадаются задачи сложной теории вероятностей, то на занятии пробуем разбирать данный тип. Ученик находится в контексте, поэтому это уместно. Дома – схожая задача с другими цифрами.
Если в сборниках появляются авторские задачи, сильно расходящиеся с Банком, их тоже пропускаем.
Как только с учеником прошли всё главное в школьной тригонометрии, можно параллельно давать задания из Банка на самостоятельное прорешивание.
Дальше производные и всё, что вокруг них.
Без понимания заучиваем основные формулы производных, начиная со степенной функции, и учимся их считать. Т.к. корни высших степеней, а также дробно-рациональные степени мы не рассматривали, то в целом игнорируем эти темы. Но нужно объяснить, что √x = x¹ᐟ², а x√x = x³ᐟ².
Выработка навыка вычисления производных потребует некоторого времени, поэтому можем параллельно на занятиях разбирать задачи сложной теории вероятностей.
Доходим до производной сложной функции, но не затрагиваем её, т.к. тема как правило слишком непонятная.
Объясняем, что такое число е и что такое натуральный логарифм.
Заучиваем формулы для производных функций еˣ и ln(x+а).
Для производных сложных функций рассматриваем лишь еʸ. Для неё просто рецептурно чисто под такую функцию говорим, что делать.
Для ln5x и ln(x+3)⁵ не считаем производную напрямую как сложную функцию, а учим сначала преобразовывать по свойствам логарифмов.
Чтобы дальше переключиться на задачи поиска экстремумов, минимального и максимального значений функций, нужно будет объяснить, что такое производная в точке.
Для простоты говорим, что это просто особый коэффициент наклона. Можно использовать метафору альпиниста, который лезет в гору и спускается с горы, а в точках экстремума («холмики и ямки») отдыхает.
Далее решаем задачи на экстремум. Последние задачи на поиск экстремума в тригонометрии не берём. Задания с корнями смотрим, насколько получаются. Если тяжело, то их тоже не стоит брать.
Когда разобрались с тем, как связаны производная и возрастание и убывание функции, можно переходить к задачам, где на графиках нужно что-то показать. Они очень визуальны. Трудность только в том, чтобы научиться отличать график функции от графика производной. Как правило, даже если ученик это не до конца поймёт, он может просто на уровне узнавания научиться выбирать нужный алгоритм действий.
Первообразную и явное уравнение касательной не берём – это не успеть за отведённое время. Физический смысл производной наоборот разбираем, т.к. этот тип заданий обычно ученику по силам.
Дальше нужно будет добить сложную теорию вероятностей. Школьная ТВ идейно очень бедная, и по факту задачи экзамена – это просто ограниченный набор малосвязанных сюжетов.
После этого как правило ещё остаётся время, поэтому можно заняться чисто повторением (=прорешиванию вариантов).
Дополнительно можно посмотреть некоторые самые сложные задания первой части.
Если ученик чётко понимает, что такое целые и натуральные числа, знает признаки делимости, знает про среднее арифметическое нескольких чисел, то можно для ознакомления решить несколько задач 19а. Хотя бы для того, чтобы на экзамене ученик не побоялся поперебирать варианты...
Ещё несколько пояснений к этой схеме работы:
а) Это не программа изучения математики в старших классах. Это способ набрать как можно больше баллов за ограниченное время подготовки. К сентябрю всё выветрится, и в голове у ученика останутся только прежние знания 8 класса. Что легко пришло, легко и уйдёт.
б) Мы отталкивались от того, что ученик нормально усваивает материал. Как правило, если до 8 класса включительно он учился и действительно освоил программу, средний навык понимания математического материала у него есть.
в) Траектория не является оптимальной. Нужно смотреть на ученика и разговаривать с ним. Возможно, к каким-то темам он более предрасположен, и уместно будет начать именно с них.
г) «Трюк выполнен профессионалами, не пытайтесь повторить его в домашних условиях»
Заниматься математикой с оглядкой на ЕГЭ нужно не за три месяца до, а хотя бы за 1-2 года, а ещё лучше с 7 класса. И ориентироваться больше на задания второй части. Описание действий выше – это максимальное использование особенностей самого экзамена и некорректного распределения баллов.
д) Коллеги жалуются, что даже 10-11-классников по такой схеме тяжело подготовить.
Но это означает лишь то, что по факту у нас не так много старшеклассников, которые к началу 11 класса вполне освоили программу 8 классов по математике...
е) Чтобы набрать эти 70 баллов на экзамене, должен попасться вариант чуть легче среднего. Примерно как в этом году. Однако в каждом задании есть такие примеры, которые за такой короткий период не разобрать. Их мало, но они есть. Если в каждом задания составители предложат именно такие самые неприятные задания, то удачей будет просто перейти порог. Но учитывая малое количество таких заданий можно считать, что на реальном экзамене попадётся одна такая задача. Ещё можно заложить, что ученик сделает одну ошибку по невнимательности. Получается результат в среднем 58 баллов. Что тоже неплохо, учитывая короткий срок подготовки.
ж) Преподавателю-новичку такая работа как правило не по плечу. Но в то же время преподаватель хотя бы с трёхлетним стажем подготовки к первой части ЕГЭ уже вполне может справиться с такой экстремальной задачей. При стаже больше пяти лет любой грамотный коллега сможет подготовить чуть ли не с закрытыми глазами.
з) По числу и продолжительности занятий это примерно три раза в неделю по полтора-два часа. Многое зависит от ученика (насколько он выдержит такое непрерывное взаимодействие с математикой). Каждый день заниматься не рекомендуется, т.к. должно быть время на выполнение домашнего задания.
Конечно, занимаясь раз в неделю, ничего получится. Но и занятия по пять раз в неделю тоже как правило не эффективны из-за того, что ученик не успевает осознать, что происходит.
и) Нет цели в этом коротком посте научить готовить к первой части ЕГЭ. Даже в том, что описано выше, есть ещё много нюансов, которые мы разбираем при индивидуальной работе с коллегами.
Цель – показать, что это принципиально возможно сделать.
И показать ошибочность утверждения, что школьник, который получил 60 баллов, вполне усвоил школьную программу и готов к обучению на инженерных специальностях.
Ведь по сути это может быть просто восьмиклассник, которого натренировали на сдачу экзамена за три месяца плотной работы.