Разница в стиле и в оттенках значений. Possess является словом официального стиля. Его используют, когда говорят о владении и контроле над чем-то масштабным:
nations that possess nuclear weapons – нации, которые владеют ядерным оружием.
Это не исключает использования этого слова в значении владения каким-то небольшим личным предметом. Просто, когда говорят о чем-то масштабном скорее выберут possess.
I'm afraid this is the only suitcase I possess. – Боюсь, что это единственный чемодан, который у меня есть.
The gallery possesses a number of the artist's early works. – Галерея владеет рядом ранних работ художника.
Own используют, когда говорят о купленной вещи, когда хотят подчеркнуть, что это чья-то собственность.
Do you own your house or do you rent it? – Вы собственники своего дома, или арендаторы?
При этом эта собственность может быть во временном пользовании у кого-то другого:
to own a house that is rented to tenants – владеть домом, который сдается жильцам.
Почти во всех приведенных примерах можно использовать have. (Нельзя заменить own на have в первом примере с own. Если это сделать, будет потеряно противопоставление «быть собственником vs быть арендатором».) Have является словом с самым широким семантическим полем (имеет больше всего значений и оттенков значений). Также have имеет самую большую сочетаемость из этих слов, например:
to have money – иметь деньги,
to have rights – иметь права,
to have discretion – иметь свободу выбора,
to have a disease – иметь заболевание,
to have a glimpse – увидеть мельком,
to have an idea – иметь идею,
to have a friend's umbrella – иметь (в своем временном распоряжении) зонтик друга.
Рассмотрим теперь значения, в которых можно использовать own, а possess – нельзя.
Own someone в разговорной речи означает «одержать победу над кем-то». В русском языке в аналогичных ситуациях используют «сделать кого-то».
I just totally owned you, dude. – Парень, да я просто сделал тебя.
В сочетании c up, to, up to, слово own означает «признать(ся)», хотя в этом значении изредка используется и без послелогов.
The one who did it had better own up. – Тому, кто это сделал, лучше признаться.
I own to being uncertain about that. – Я признаюсь, что был неуверен в этом.
I own that you are right. – Я признаю, что ты прав.
Own может означать «взять на себя ответственность», особенно за ошибку, особенно в сочетании с it.
I am not always proud of what I say, but I need to own it. – Я не всегда горжусь тем, что я говорю, но я должен нести ответственность за это.
Ниже я привожу значения, в которых мы можем использовать possess, но не можем – own. На русский язык в этих значениях possess переводится как «обладать».
Во-первых, «Обладать какой-либо чертой или навыком».
I'm afraid he doesn't possess a sense of humour. – Боюсь, что он не обладает чувством юмора.
Во-вторых, possess используется, когда над человеком возобладала какая-то эмоция.
Absolute terror possessed her. – Всепоглощающий страх овладел ею.
«Обладать знаниями» тоже сюда относится.
to possess a little French – немного знать французский.
В сочетании с of, possess означает «стать обладателем».
I am possessed of the necessary information. – Мне в руки попала необходимая информация.
И последнее. Когда мы хотим сказать: «Что на тебя нашло?», мы тоже используем possess.
Whatever possessed you to act so foolishly? – Что на тебе нашло, что ты так глупо поступил?
Успехов!
PS: Own и possess являются статичными глаголами, а это значит, что они не используются во временах группы Continuous (Progressive).