Наименьшее общее кратное (НОК) - Самый простой способ нахождения

В шестом классе школьников учат находить НОК - наименьшее общее кратное - совершенно не объясняя, зачем это нужно, да еще каким-то совершенно нечеловечески сложным способ: разложить на множители, выписать со степенями, перемножить...

В этой статье упрощу шестиклашкам жизнь: поговорим, что такое НОК, зачем оно вообще нужно и как его находить быстро и понятно.

Что такое наименьшее общее кратное простыми словами

Есть два числа: А и В.

Наименьшее общее кратное - это третье число, которое можно без остатка поделить и на число А и на число В.

Допустим, у нас есть числа 8 и 12.

Вопрос: какое число можно поделить и на 8 и на 12 без остатка?

24: 8 = 3 (без остатка)

24: 12 = 2 (без остатка)

НОК = 24

Ответ на этот вопрос - число 24 - и будет тот самый НОК.

Теперь ответим на еще один вопрос:

Зачем вообще кому-то нужно знать наименьшее общее кратное (НОК)

На текущем этапе ответ вообще не очевидный и кажется, что шестиклашек зачем-то учат решать странную головоломку.

Но на самом деле НОК очень и очень нужен. Для дробей.

В 4 и 5 классах мы складывали и вычитали дроби исключительно с одинаковым знаменателем. Да еще учителя много раз говорили, что складывать и вычитать дроби с разными знаменателями нельзя.

Чтобы сложить и вычесть дроби с разными знаменателями - сначала нужно превратить их в дроби со одинаковым знаменателем.

Эта процедура называется "приведение к общему знаменателю" - и о ней мы поговорим в отдельной статье.

Собственно, наименьшее общее кратное (НОК) - это и есть тот самый одинаковый (или "общий") знаменатель для двух дробей, которые изначально были с разным знаменателем.

Поэтому умение быстро находить НОК не просто необходимо, а единственный способ выживания на математике дробей - без него, начиная с шестого класса уже мало что получится решить.

К счастью, в реальной жизни находить его намного проще, чем по инструкции из учебника - и никаких особо сложных действий для этого не требуется.

Самый простой и быстрый способ нахождения

Поскольку мы тут говорим, что НОК - это общий знаменатель для двух дробей, сразу оговорюсь вот самый-пресамый простой способ найти общий знаменатель - это перемножить два знаменателя: если числа можно умножить друг на друга, то потом их можно и поделить на эти же числа без остатка.

При всей своей быстроте, способ этот не самый удобный, потому что чем больше НОК - или "общий знаменатель" - тем сложнее с ним дальше обращаться.

Напр., когда дойдет дело до сокращения дробей - на большой знаменатель придется потратить гораздо больше времени, чем на поиск наименьшего общего кратного (то есть самый маленький из возможных знаменателей).

Поэтому будем все-таки учиться искать НОК.

Не нужно никаких разложений на множители, и степеней тоже не нужно.

1. Просто из двух чисел попробуем разделить большее число на меньшее.

Если это получилось без остатка - значит большее число и есть НОК.

Пусть у нас есть числа 6 и 24.

Разделим 24 на 6.

24 : 6 = 4 (остаток 0)

Поделилось без остатка.

НОК будет то число, которое делили.

НОК = 24

И мы нашли его за одну секунду.

2. Большее число не поделилось на меньшее без остатка.

Тогда бОльшее число умножим на 2 и снова попробуем поделить на меньшее без остатка.

Если это получилось - НОК будет наше бОльшее число, умноженное на 2.

Пусть у нас числа 12 и 18.

Разделим 18 на 12. Получается с остатком.

18 : 12 = 1 (ост. 6) - есть остаток, найти НОК не получилось

Тогда 18 умножим на 2 - получилось 36.

Разделим 36 на 12 - поделилось без остатка.

36 : 12 = 3 (ост. 0)

НОК = 36

НОК - то число, которое делили

3. Умножение бОльшего числа на 2 не помогло?

Попробуем умножить бОольшее число на 3, и потом поделить на меньшее число.

Если это получилось - НОК будет наше бОльшее число, умноженное на 3.

Пусть у нас числа 15 и 20

Разделим 20 на 15. Без остатка не вышло.

Умножим 20 на 2 (получается 40) и разделим на 15. Снова не выходит без остатка.

Умножим 20 на 3 (получается 60) и разделим на 15. Ответ получился без остатка.

НОК = 60.

________
Если не получается после умножения бОльшего числа на 3 - двигаемся дальше и умножаем его на 4, после чего делим на меньшее число.

Снова не получилось? Умножим на пять и разделим на меньшее число...

И так дальше, пока бОльшее число не разделится на меньшее без остатка.

Как вы уже догадываетесь, ваш самый большой множитель будет равен меньшему из двух чисел.

Потому что - см. выше - если умножить два числа, то результат умножения гарантированно поделится на эти числа без остатка.

Но в большинстве школьных случаев вы обойдетесь, максимум, умножением на 2 - 6.

Когда не стоит применять этот способ поиска НОК

Указанный выше способ удобно использовать с числами не более 3 знаков.

Начиная с тысяч, если не получилось быстрой найти НОК, умножив бОльшее число на 3 (три) - уже имеет смысл переходить к вычислению НОК традиционным способом (раскладывая на множители).

Как раскладывать числа на множители - покажу в отдельной статье.

Успехов!