Кубические уравнения

Решение будем искать таким же методом, что и решение квадратных уравнений

Рассмотрим уравнение x³+x+q=0

Будем искать решение в виде степенного ряда, где переменной является свободный член "q"

x= ∑(a(n)*qⁿ) где n от 0 до ∞

Тогда x³= ∑(b(n)*qⁿ) где b(n)=∑a(k)*a(l)*a(m) где n от 0 до n, k от 0 до n, l от 0 до n-k, а m=n-k-l. таким образом k+l+m=n

А свободный член "q" будет представлен одним элементом q= c(1)*q¹

Согласно уравнению сумма коэффициентов каждой степени равна "0"

a(n)+b(n)+c(n)=0

Степень "0"

a(0)+b(0)+c(0)=0, где b(0)=a(0)*a(0)*a(0)=a(0)³, c(0)=0

a(0)+(a(0))³+0=0 → a(0)*(a(0)+1)=0 → a(0)=0 и a(0)²-1=0

Сначало рассмотрим a(0)=0 Корень, полученный при этом будем называть нулевым

Степень "1" a(1)+b(1)+c(1)=0, где b(1)=a(0)*a(0)*a(1)+a(0)*a(1)*a(0)+a(1)*a(0)*a(0)=0, c(1)=1
a(1)+1=0 → a(1)=-1

Ввиду того, что c(n)=0 при n>1, эти коэффициенты не будем учитывать в последующих вычислениях.

Степень "2" a(2)+b(2)+c(2)=0, где b(2)=a(0)*a(0)*a(2)+a(0)*a(1)*a(1)+a(0)*a(2)*a(0)+a(1)*a(0)*a(1)+a(1)*a(1)*a(0)+ a(2)*a(0)*a(0)=0,
a(2)+0=0 → a(2)=0

Ввиду того, что a(0)=0, и a(2)=0 при n>2, все коэффициенты a(2n) будут =0 и их не будем учитывать в последующих вычислениях.

Степень "3" a(3)+b(3)=0, где b(3)=a(1)*a(1)*a(1)=(-1)*(-1)(-1)=1,
a(3)-1=0 → a(3)=1

Степень "5" a(5)+b(5)=0, где b(5)=a(1)*a(1)*a(3)+a(1)*a(3)*a(1)+a(3)*a(1)*a(1)=3,
a(3)+3=0 → a(5)=-3

Степень "7" a(7)+b(7)=0, где b(7)=a(1)*a(1)*a(5)+a(1)*a(3)*a(3)+a(1)*a(5)*a(1)+ a(3)*a(1)*a(3)+a(3)*a(3)*a(1)+a(5)*a(1)*a(1)=-3-1-3-1-1-3=-12
a(3)-12=0 → a(7)=12

Степень "9" a(9)+b(9)=0, где b(7)=a(1)*a(1)*a(7)+a(1)*a(3)*a(5)+a(1)*a(5)*a(3)+ a(1)*a(7)*a(1)+a(3)*a(1)*a(5)+a(3)*a(3)*a(3)+a(5)*a(1)*a(3)+a(5)*a(3)*a(1)+
a(7)*a(1)*a(1)=12+3+3+3+12+3+1+3+3+12=55
a(9)+55=0 → a(9)=-55

Если продолжать, то получим:

Степень │ 1 │ 3 │ 5 │ 7 │ 9 │ 11 │ 13 │ 15 │ 17 │ 19 │ 21 │
значение│ -1 │ 1 │ -3 │ 12 │ -55│ 273│-1428 │7752 │-43263│246675│-1430715│

Все чётные степени равны "0"

Вынесем q за пределы суммы

Степень │ 0 │ 2 │ 4 │ 6 │ 8 │ 10 │ 12 │ 14 │ 16 │ 18 │ 20 │
значение│ -1 │ 1 │ -3 │ 12 │ -55│ 273│-1428 │7752 │-43263│246675│-1430715│

За переменную возьмём q²

Степень │ 0 │ 1 │ 2 │3 │ 4 │ 5 │ 6 │ 7 │ 8 │ 9 │ 10 │
значение│ -1 │ 1 │ -3 │ 12 │ -55│ 273│-1428 │7752 │-43263│246675│-1430715│

x³= q∑(a(n)*(q²)ⁿ) где n от 0 до n

Получаем числа, похожие на числа Каталана, но содержащие 3 сомножителя

Вычислим во сколько каждый член больше предыдущего

a(1)/a(0) =1/-1=1
a(2)/a(1) =-3/1=-3
a(3)/a(2) =12/-3=-4
a(4)/a(3) =-55/12=-(5*11)/(3*4)
a(5)/a(4) =273/-55=-(3*7*13)/(5*11)
a(6)/a(5) =-1428/273=-(4*3*7*17)/(3*7*13)=-(4*17)/(13)
a(7)/a(6) =7752/-1428=-(8*3*17*19)/(4*3*7*17)=-(2*19)/(7)
a(8)/a(7) =-43263/-7752=-(3*3*11*19*23)/-(8*3*17*19)=(3*11*23)/(8*17)
a(9)/a(10) =246675/-43263=-(3*5*5*11*13*23)/(3*3*11*19*23)=-(5*5*13)/(3*19)
a(10)/a(9) =-1430715/246675=-(3*5*11*13*23*29)/(3*5*5*11*13*23)=-(29)/(5)

Добавим множители, чтобы в числителе были множители (3n-1) и (3n-2)

a(1)/a(0) =1/-1=-(3*1*2)/(2*3)
a(2)/a(1) =-3/1=-(3*4*5)/(4*5)
a(3)/a(2) =12/-3=-(3*7*8)/(6*7)
a(4)/a(3) =-55/12=-(3*10*11)/(8*9)
a(5)/a(4) =273/-55=-(3*13*14)/(10*11)
a(6)/a(5) =-1428/273=-(3*16*17)/(12*13)
a(7)/a(6) =7752/-1428=-(3*19*20)/(14*15)
a(8)/a(7) =-43263/-7752=(3*22*23)/(16*17)
a(9)/a(10) =246675/-43263=-(3*25*26)/(18*19)
a(10)/a(9) =-1430715/246675-(3*28*29)/(20*21)

Таким образом получим

a(n)/a(n-1) =(3*(3n-1)*(3n-2))/(2n*(2n+1))

Умножим числитель и знаменатель на "n" a(n)/a(n-1) =(3n*(3n-1)*(3n-2))/(2n*(2n+1)*n)

Нулевой корень кубического уравнения равен X0= q∑(3n!/((2n+1)!*n!)*(q²)ⁿ)

Решение уравнения x³+px+q=0

Разделим левую и правую часть на p^(3/2)
x³/p^(3/2)+x/p^(3/2)+q/p^(3/2)=0
(x/p^(1/2))³+x/p^(1/2)+q/p^(3/2)=0

введём новую неизвестную
y=x/p^(1/2): x=y*p^(1/2)

Тогда
y²+y+q/p^(3/2)=0

Нулевой корень уравнения
Y0= (q/p^(3/2))*∑(3n!/((2n+1)!*n!)*(q²/p³)ⁿ)

Перейдём к исходной переменной X

X0= (q/p^2)*∑(3n!/((2n+1)!*n!)*(q²/p³)ⁿ)