Вариант и описание заданий взяты с официального сайта ВПР - ФИОКО.
Количество заданий, их оценивание и уровень сложности
Работа состоит из 16 заданий - 10 в первой части и 6 во второй.
Задания первой части (1-10) оцениваются в 1 балл. За задания второй части (11- 16) можно получить до 2 баллов.
Максимальный количество первичных баллов за выполнение работы - 22.
Задания разделены по уровню сложности. К повышенному уровню сложности относятся задания 9, 10, 15 и 16, все остальные - к базовому.
Перевод первичных баллов в отметку
Отметка "2" ставится за 0 - 6 первичных баллов. Отметка "3" за 7 - 11 первичных баллов. Для получение отметок "2" и "3" достаточно решать задания первой части.
Отметка "4" ставится за 12 - 17 первичных баллов. Отметка "5" за 18 - 22 первичных балла. Для получения отметок "4" и "5" необходимо решать как первую, так и вторую часть.
Обзор варианта
Задание 1
Проверяется умение применять понятие арифметического квадратного корня; находить квадратные корни, используя при необходимости калькулятор; выполнять преобразования выражений, содержащих квадратные корни, используя свойства корней.
Проверяемый элемент содержания - числа и вычисления.
Найдите значение выражения √32 * √6 / √12.
Нет сложения и вычитания, поэтому можем записать все подкорневые выражения под один корень: √32 * √6 / √12 = √(32 * 6 / 12) = √(32 / 2) = √16 = 4.
Ответ: 4
Задание 2
Проверяется умение решать линейные, квадратные уравнения и рациональные уравнения, сводящиеся к ним, системы двух уравнений с двумя переменными.
Проверяемый элемент содержания - уравнения и неравенства.
Решите уравнение x² - 36 = 5x,
Переносим всё в левую часть: x² - 5x -36 = 0. D = (-5)² - 4 * 1 * (-36) = 25 + 144 = 169. √D = √169 = 13.
x₁ = (5 + 13) / 2 = 18/2 = 9, x₂ = (5 - 13) / 2 = -8/2 = -4.
Ответ: x₁ = 9, x₂ = -4
Задание 3
Проверяется умение распознавать основные виды четырехугольников, их элементы; пользоваться их свойствами при решении геометрических задач.
Проверяемый элемент содержания - геометрия.
Укажите номер утверждения, которое является истинным высказыванием.
- Любой параллелограмм, в котором две стороны равны, является ромбом.
- Любой четырёхугольник, в котором две диагонали равны и перпендикулярны, является квадратом.
- Любой параллелограмм, в котором диагонали равны, является прямоугольником.
- В любой трапеции оба угла при меньшем основании тупые.
Разберём утверждения.
- Любой параллелограмм, в котором две стороны равны, является ромбом. Неверно. Этими двумя равными сторонами могут быть противоположные стороны параллелограмма, которые равны по определению.
- Любой четырёхугольник, в котором две диагонали равны и перпендикулярны, является квадратом. Неверно. Такого признака квадрата нет.
- Любой параллелограмм, в котором диагонали равны, является прямоугольником. Верно. Это признак прямоугольника.
- В любой трапеции оба угла при меньшем основании тупые. Неверно. В прямоугольной трапеции, например, один из углов при меньшем основании прямой.
Ответ: 3
Задание 4
Проверяется умение применять свойства числовых неравенств для сравнения, оценки; решать линейные неравенства с одной переменной и их системы; давать графическую иллюстрацию множества решений неравенства, системы неравенств.
Проверяемый элемент содержания - уравнения и неравенства.
На числовой прямой отмечены числа a и b. Отметьте на прямой какую-нибудь точку x так, чтобы при этом выполнялись три условия: x - a > 0, x - b < 0, a²x > 0.
Судя по рисунку, а - отрицательное число, b - положительное число. Разберём условия. x - a > 0 => x > a. x - b < 0 => x < b. Получается, что x находится в промежутке от а до b. a²x > 0 (делим на a²) => x > 0.
Следовательно, точка x может находиться в пределах синей линии.
Ответ:
Задание 5
Проверяется умение распознавать основные виды четырехугольников, их элементы; пользоваться их свойствами при решении геометрических задач.
Проверяемый элемент содержания - геометрия.
В ромбе KLMN диагонали пересекаются в точке T. Из точки T опущен перпендикуляр TH на сторону KN. Найдите тупой угол ромба, если ∠LTH = 153°. Ответ дайте в градусах.
Углы LTH и NTH смежные, в сумме дают 180°. Тогда ∠NTH = 180° - ∠LTH = 180° - 153° = 27°. TH - перпендикуляр, следовательно, угол THN прямой. Рассмотрим треугольник TNH, в котором два угла известны, следовательно, можем найти третий. ∠TNH = 180° - ∠THN - ∠NTH = 180° - 90° - 27° = 63°. Угол TNH является половиной угла N ромба (диагонали ромба являются биссектрисами его углов), отсюда угол N = 2 * 63° = 126°.
Ответ: 126
Задание 6
Проверяется умение понимать и использовать функциональные понятия и язык (термины, символические обозначения), определять значение функции по значению аргумента, определять свойства функции по ее графику.
Проверяемый элемент содержания - функции.
На рисунке изображён график линейной функции. Напишите формулу, которая задаёт эту линейную функцию.
Найдём две точки, принадлежащие графику - это точки с координатами (-1; -3) и (2; 3). Подставим имеющие координаты в уравнение линейной функции y = kx + b. Получим -3 = -k + b и 3 = 2k + b. Выразим из первого уравнения b: b = k - 3. Подставим выражение b во второе уравнение% 3 = 2k + k - 3. Отсюда k = 2. Затем в выражение b подставим k: b = 2 - 3 = -1. Итого k = 2, b = -1, а искомое уравнение имеет вид y = 2k - 1.
Ответ: y = 2x - 1
Задание 7
Проверяется умение выполнять тождественные преобразования рациональных выражений на основе правил действий над многочленами и алгебраическими дробями.
Проверяемый элемент содержания - алгебраические выражения.
Найдите значение выражения 2x / (x - 4) - (2x² - 32) / (x² - 8x + 16) при х = 3,96.
Первую дробь оставим неизменной, поработаем со второй.
В числителе вынесем за скобку 2, получим 2(x² - 16). А затем x² - 16 разложим как разность квадратов. Получим: 2(x - 4)(x + 4). Знаменатель представляет собой разложение квадрата разности, преобразуем его: x² - 8x + 16 = (x - 4)².
Запишем итоговое выражение: 2x / (x - 4) - 2(x - 4)(x + 4) / (x - 4)². Приведём дроби к общему знаменателю (x - 4)², получим: (2x(x - 4) - 2(x - 4)(x + 4)) / (x - 4)². Приведём подобные: (2x² - 8x - 2x² + 32) / (x - 4)² => (-8x + 32) / (x - 4)². Вынесем в числителе -8 за скобку: -8(x - 4) / (x - 4)². Сократим дробь на (x - 4), получим -8 / (x - 4). Подставим x = 3,96. -8 / (3,96 - 4) = -8 / - 0,04 = 200.
Ответ: 200
Задание 8
Проверяется умение находить вероятности случайных событий в опытах, зная вероятности элементарных событий, в том числе в опытах с равновозможными элементарными событиями; использовать графические модели: дерево случайного эксперимента, диаграммы Эйлера, числовая прямая.
Проверяемый элемент содержания - вероятность и статистика.
При формировании продуктового заказа сборщик кладёт в пакет примерно 3 кг картофеля. Расположите следующие события в порядке возрастания их вероятностей.
A «Масса картофеля в пакете составляет от 2,9 до 3,2 кг».
B «Масса картофеля в пакете отклоняется от 3 кг не более чем на 100 г».
C «Масса картофеля в пакете отклоняется от 3 кг не более чем на 200 г».
D «Масса картофеля в пакете составляет от 2,5 до 3,5 кг».
Рассмотрим все варианты. А - от 2,9 до 3,2 (охватывает 300 г), В - от 2,9 до 3,1 (охватывает 200 г), С - от 2,8 до 3,2 (охватывает 400 г), D - от 2,5 до 3,5 (охватывает 1000 г). Вероятность события тем больше, чем больше его диапазон. В порядке возрастания диапазона: BACD.
Ответ: BACD
Задание 9
Проверяется умение использовать графическое представление множеств и связей между ними для описания процессов и явлений, в том числе при решении задач из других учебных предметов и курсов.
Проверяемый элемент содержания - вероятность и статистика.
В графе 14 рёбер. Каждая вершина графа имеет или степень 2, или степень 5. Причём вершин степени 2 столько же, сколько вершин степени 5. Сколько вершин в этом графе?
Сумма степеней вершин равна удвоенному количеству рёбер, то есть 14 * 2 = 28. Возьмём пару вершин, одна из которых степени 2, а вторая степени 5. Тогда сумма их степеней равна 7. Таких пар в этом графе 28 : 7 = 4. 4 пары, то есть 8 вершин.
Ответ: 8
Задание 10
Проверяется умение переходить от словесной формулировки задачи к ее алгебраической модели с помощью составления уравнения или системы уравнений, интерпретировать в соответствии с контекстом задачи полученный результат.
Проверяемый элемент содержания - уравнения и неравенства.
Число A является суммой квадратов трёх последовательных натуральных чисел. Найдите остаток от деления числа A на 3.
Обозначим первое число как n, второе - n + 1, третьей - n + 2. Посчитаем сумму квадратов этих чисел: n² + (n + 1)² + (n + 2)² = n² + n² + 2n + 1 + n² + 4n + 4 = 3n² + 6n + 5 = 3(n² + 2n) + 5. 3(n² + 2n) делится на 3 без остатка, 5 делится на 3 с остатком 2.
Ответ: 2
Задание 11
Проверяется умение применять свойства числовых неравенств для сравнения, оценки; решать линейные неравенства с одной переменной и их системы; давать графическую иллюстрацию множества решений неравенства, системы неравенств.
Проверяемый элемент содержания - уравнения и неравенства.
Решите неравенство (2x - 3) / 5 - (4x - 7) / 15 > (8x - 7) / 3.
Домножим неравенство на 15, чтобы избавиться от знаменателей. Получим 3(2x - 3)- (4x - 7) > 5(8x - 7). Раскроем скобки: 6x - 9 - 4x + 7 > 40x - 35. Перенесём неизвестные влево, известные вправо и приведём подобные. Получим -38x > -33. Тогда x < 33/38.
Ответ: x < 33/38
Задание 12
Проверяется умение находить вероятности случайных событий в опытах, зная вероятности элементарных событий, в том числе в опытах с равновозможными элементарными событиями.
Проверяемый элемент содержания - вероятность и статистика.
Правильный игральный кубик бросают два раза. Найдите вероятность того, что сумма выпавших очков окажется не меньше 9.
Заполним таблицу, указав в её ячейках суммы очков, которые могут выпасть при бросании кубиков.
Всего может быть 6 * 6 = 36 вариантов. Вариантов, когда сумма была не менее 9 (то есть 9 и больше) - 10. Тогда вероятность 10/36 = 5/18.
Ответ: 5/18
Задание 13
Проверяется умение решать линейные, квадратные уравнения и рациональные уравнения, сводящиеся к ним, системы двух уравнений с двумя переменными.
Проверяемый элемент содержания - уравнения и неравенства.
Пример 1. Решите уравнение (x - 3)⁴ - 4(x - 3)² - 5 = 0.
Введём переменную t: t = (x - 3)², причем t > 0. Тогда уравнение примет вид t² - 4t - 5 = 0. Решим его (через дискриминант или теорему Виета) и получим корни: t₁ = -1, t₂ = 5. Первый корень не соответствует условию, остается t = 5.
Делаем обратную замену: 5 = (x - 3)² => 5 = x² - 6x + 9 => x² - 6x + 4 = 0. D = (-6)² - 4 * 1 * 4 = 36 - 16 = 20, √D = √20 = 2√5. Тогда x₁ = (6 + 2√5) / 2 = 3 + √5, x₂ = (6 - 2√5) / 2 = 3 - √5.
Ответ: x₁ = 3 + √5, x₂ = 3 - √5
Пример 2. Корнем квадратного уравнения 2x² + 3√2*x + c = 0 является число √2 - 1. Найдите второй корень данного уравнения.
Пусть второй корень уравнения - x₂. Согласно теореме Виета, √2 - 1 + x₂ = - 3√2 / 2. Отсюда x₂ = - 3√2 / 2 - 2√ + 1 = -5√2 / 2 + 1.
Ответ: x₂ = -5√2 / 2 + 1.
Задание 14
Проверяется умение применять свойства точки пересечения медиан треугольника (центра масс) в решении задач; владеть понятием средней линии
треугольника и трапеции, применять их свойства при решении геометрических
задач; пользоваться теоремой Фалеса и теоремой о пропорциональных отрезках, применять их для решения практических задач; применять признаки подобия треугольников в решении геометрических задач; пользоваться теоремой Пифагора для решения геометрических и практических задач; строить математическую модель в практических задачах, самостоятельно делать чертеж и находить соответствующие длины; владеть понятиями синуса, косинуса и тангенса острого угла прямоугольного треугольника; пользоваться этими понятиями для решения практических задач; вычислять (различными способами) площадь треугольника и площади многоугольных фигур (пользуясь, где необходимо, калькулятором); применять полученные умения в практических задачах.
Проверяемый элемент содержания - геометрия.
Боковая сторона равнобедренного треугольника ABC равна 3, а основание AC равно 2. В этом треугольнике провели биссектрисы AL и CM. Найдите длину отрезка LM.
Треугольники ALC и AMC равны (AC - общая, ∠А = ∠С как углы при основании равнобедренного треугольника АВС, ∠АСМ = ∠LAC как половины равных углов). Из равенства треугольников следует равенство отрезков: AM = CL.
AB = BC, AM = CL => BM = BL, следовательно, треугольник MBL равнобедренный. Для равнобедренных треугольников ABC и MBL угол B общий, следовательно, ∠A = ∠C = ∠BML = ∠BLM. Тогда треугольники ABC и MBL подобны по двум углам.
∠A = ∠BML, следовательно, прямые AC и ML параллельны. Из параллельности прямых следует равенства накрест лежащих углов MAL и MLA, значит, треугольник AML равнобедренный, следовательно, MA = ML. Аналогично равны накрест лежащие углы LCM и LMC, значит, треугольник MLC равнобедренный, следовательно, LC = LM.
Обозначим MA = ML = LC = x.
Треугольники ABC и MBL подобные, значит, можем записать пропорциональность сторон: MB / AB = ML / AC. Подставим имеющиеся данные: (3 - x) / 3 = x / 2. Раскроем пропорцию: 2(3 - x) = 3x. Отсюда 6 - 2x = 3x => 5x = 6 => x = 6/5 = 1,2.
Ответ: 1,2
Задание 15
Проверяется умение переходить от словесной формулировки задачи к ее алгебраической модели с помощью составления уравнения или системы уравнений, интерпретировать в соответствии с контекстом задачи полученный результат.
Проверяемый элемент содержания - уравнения и неравенства.
Расстояние между пунктами А и В по реке равно 11 км. Из пункта А в пункт В одновременно отправились плот и моторная лодка. Моторная лодка, прибыв в пункт В, тотчас повернула обратно. В двух километрах от пункта А лодка встретила плот. Найдите скорость лодки в неподвижной воде, если скорость течения реки равна 3 км/ч.
Такая задача может встретиться в 21 задании ОГЭ. Разбор 21 задания здесь.
В двух километрах от пункта А лодка встретила плот, значит плот проплыл 2 км. Скорость течения = скорости плота = 3 км/ч. Найдём время. Чтобы найти время, нужно путь разделить на скорость, следовательно, время, которое плыл плот = 2/3 часа.
Лодка плыла столько же, сколько и плот, следовательно, 2/3 часа.
Пусть x км/ч – скорость лодки в неподвижной воде. Тогда скорость движения лодки по течению реки составляет х+3 км/ч, а скорость движения лодки против течения реки – х-3 км/ч. Выразим время, которое было затрачено на движение против течения и на движение по течению. Чтобы найти время, необходимо путь разделить на скорость, тогда время против течения составляет 9 / (х-3) ч, а время по течению – 11 / (х+3) ч.
Составим уравнение. Время плавания = время (по течению) + время (против течения), то есть 2/3 = 11/(x + 3) + 9/(x - 3).
Решим уравнение. ОДЗ: (x – 3) ≠ 0 и (х + 3) ≠ 0 => x ≠ 3, x ≠ - 3.
Сложим дроби в правой части уравнения: 2/3 = (11(x - 3) + 9(x + 3)) / (x – 3)(x + 3).
Раскроем скобки: 2/3 = (11x - 33 + 9x + 27) / (x – 3)(x + 3).
Приведём подобные: 2/3 = (20x - 6) / (x – 3)(x + 3). Отсюда 3(20x - 6) = 2(x – 3)(x + 3), значит 60x - 18 = 2x² - 18, то есть 2x² - 60x = 0. Разделим уравнение на 2: x² - 30x = 0. Вынесем x за скобку: x(x - 30) = 0. Тогда либо x = 0, либо (x - 30) = 0, то есть x = 30.
За х обозначали скорость лодки в неподвижной воде, которую нужно найти. Скорость не может быть равна нолю, так как лодка двигалась, следовательно, ответ 30 км/ч.
Ответ: скорость лодки в неподвижной воде равна 30 км/ч.
Задание 16
Проверяется умение распознавать основные виды четырехугольников, их элементы; пользоваться их свойствами при решении геометрических задач; применять свойства точки пересечения медиан треугольника (центра масс) в решении задач; владеть понятием средней линии треугольника и трапеции, применять их свойства при решении геометрических задач; пользоваться теоремой Фалеса и теоремой о пропорциональных отрезках, применять их для решения практических задач; применять признаки подобия треугольников в решении геометрических задач; пользоваться теоремой Пифагора для решения геометрических и практических задач; строить математическую модель в практических задачах, самостоятельно делать чертеж и находить соответствующие длины; владеть понятиями синуса, косинуса и тангенса острого угла прямоугольного треугольника; пользоваться этими понятиями для решения практических задач; вычислять (различными способами) площадь треугольника и площади многоугольных фигур (пользуясь, где необходимо, калькулятором); применять полученные умения в практических задачах; владеть понятиями вписанного угла и центрального угла, использовать теоремы о вписанных углах, углах между хордами (секущими) и угле между касательной и хордой при решении геометрических задач; владеть понятием описанного четырехугольника, применять свойства описанного четырехугольника при решении задач.
Проверяемый элемент содержания - геометрия.
Боковые стороны AB и CD прямоугольной трапеции ABCD равны соответственно 40 и 41. Биссектриса угла ADC проходит через середину стороны AB. Найдите площадь трапеции.
Для нахождения площади трапеции необходимо вычислить длины её оснований и высоты.
Проведём высоту CG. ABCD - прямоугольная трапеция, значит CG = AB = 40.
Биссектриса угла ADC проходит через середину стороны АВ в точке F, следовательно, AF = FB, а также путь она пересекает продолжение стороны CB в точке E. DE - биссектриса, тогда ∠ADE = ∠CDE.
ABCD - трапеция, следовательно, прямые AD и BC (CE) параллельны, из чего следует равенство накрест лежащих углов: ∠ADE = ∠CED. Итого: ∠ADE = ∠CDE = ∠CED. Тогда треугольник CDE равнобедренный => EC = DC = 41.
Треугольники ADF и EBF равны (AF = BF, ∠A = ∠B (прямые углы трапеции), ∠ADE = ∠CED), следовательно, AD = EB.
В прямоугольном треугольнике CDG известны гипотенуза и катет. Найдём второй катет. DG² = DC² - CG² = 41² - 40² = 81 => DG = √81 = 9..
Итого мы знаем: CG = AB = 40, AF = FB, EC = DC = 41, AD = EB, DG = 9.
ABCD - трапеция, значит AD = AG + GD = BC + GD = BC + 9.
EC = EB + BC = AD + BC = BC + 9 + BC = 2BC + 9 = 41. Отсюда 2BC = 32, BC = 32/2 = 16. Тогда AD= 16 + 9 = 25.
Найдём площадь трапеции. S = (AD + BC) / 2 * CG = (25 + 16) / 2 * 40 = 41 / 2 * 40 = 41 * 20 = 820.
Ответ: 820
Спасибо за прочтение
Надеюсь, эта информация была вам полезна.
Подписывайтесь на мой канал, ставьте лайк и оставляйте свой комментарий.