Вариант и описание заданий взяты с официального сайта ВПР - ФИОКО.
Количество заданий, их оценивание и уровень сложности
Работа состоит из 18 заданий - 12 в первой части и 6 во второй.
Задания первой части (1-12) оцениваются в 1 балл. За задания второй части (13 - 18) можно получить до 2 баллов.
Максимальный количество первичных баллов за выполнение работы - 24.
Задания разделены по уровню сложности. К повышенному уровню сложности относятся задания 16, 17 и 18, все остальные - к базовому.
Перевод первичных баллов в отметку
Отметка "2" ставится за 0 - 6 первичных баллов. Отметка "3" за 7 - 12 первичных баллов. Для получение отметок "2" и "3" достаточно решать задания первой части.
Отметка "4" ставится за 13 - 18 первичных баллов. Отметка "5" за 19 - 24 первичных балла. Для получения отметок "4" и "5" необходимо решать как первую, так и вторую часть.
Обзор варианта
Задание 1
Проверяется умение использовать начальные представления о множестве действительных чисел для сравнения, округления и вычислений; изображать действительные числа точками на координатной прямой.
Проверяемый элемент содержания - числа и вычисления.
Пример 1. Найдите значение выражения 3 : (6/7 - 3/4).
Сначала считаем, что получится в скобках, а затем разделим 3 на полученное число. В скобках: 6/7 - 3/4 = 24/28 - 21/28 = 3/28. Делим: 3 : 3/28 = 3 * 28/3 = 28.
Ответ: 28
Пример 2. Найдите значение выражения 4,5 * 5,4 - 6,1.
Сначала умножаем, затем вычитаем. Умножаем: 4,5 * 5,4 = 24,3. Вычитаем: 24,3 - 6,1 = 18,2.
Ответ: 18,2
Задание 2
Проверяется умение решать линейные, квадратные уравнения и рациональные уравнения, сводящиеся к ним, системы двух уравнений с двумя переменными.
Проверяемый элемент содержания - уравнения и неравенства.
Решите уравнение (5x - 2)(3 - x) = 0
Умножение скобок даёт ноль. Тогда либо первая скобка равна нулю, то есть 5x - 2 = 0, отсюда 5x = 2, x = 2/5 = 0,4. Либо вторая скобка равна нулю, то есть 3 - x = 0, отсюда x = 3.
Ответ: x₁ = 0.4. x₂ = 3
Задание 3
Проверяется умение переходить от словесной формулировки задачи к ее алгебраической модели с помощью составления уравнения или системы уравнений, интерпретировать в соответствии с контекстом задачи полученный результат.
Проверяемый элемент содержания - уравнения и неравенства.
Одно число больше другого на 22, а их произведения равна -120. Найдите эти числа.
Пусть x - первое число, y - второе число.
Их разность равна 22, то есть x - y = 22. Их проведение равно -120, то есть xy = -120. Полученные уравнения составляют систему. Решим её. Выразим из первого уравнения y: y = x - 22. Подставим выражение y во второе уравнение: x(x - 22) = -120, раскроем скобки x² - 22x = -120, перенесём все в левую часть x² - 22x + 120 = 0. Решим квадратное уравнение и получим, что x₁ = 10, x₂ = 12. Подставим каждый из x в выражение y: y₁ = 10 - 22 = -12. y₂ = 12 - 22 = -10.
Получаем две пары ответов: 10 и -12; 12 и -10.
Ответ: 10 и -12; 12 и -10
Задание 4
Проверяется умение применять свойства числовых неравенств для сравнения, оценки; решать линейные неравенства с одной переменной и их системы; давать графическую иллюстрацию множества решений неравенства, системы неравенств.
Проверяемый элемент содержания - уравнения и неравенства.
На числовой прямой отмечены числа a и b. Отметьте на прямой какую-нибудь точку x так, чтобы при этом выполнялись три условия: x - a > 0, x - b < 0, a²x > 0.
Судя по рисунку, а - отрицательное число, b - положительное число. Разберём условия. x - a > 0 => x > a. x - b < 0 => x < b. Получается, что x находится в промежутке от а до b. a²x > 0 (делим на a²) => x > 0.
Следовательно, точка x может находиться в пределах синей линии.
Ответ:
Задание 5
Проверяется умение понимать и использовать функциональные понятия и язык (термины, символические обозначения), определять значение функции по значению аргумента, определять свойства функции по ее графику.
Проверяемый элемент содержания - функции.
Установите соответствие между графиками функций и формулами, которые задают эти функции.
Графики:
Формулы: 1) y = 2x - 1; 2) y = -3x - 2; 3) y = 3 / x; 4) y = -1 / 2x.
В таблице под каждой буквой укажите соответствующий номер.
Даны графики двух функций - линейной функции и гиперболы. Линейной функции соответствуют формулы 1 и 2, гиперболе - 3 и 4.
Начнём с линейных функций. Формула 1) y = 2х - 1 задаёт функцию, график которой возрастает (k > 0) и пересекает ось OY в точке с ординатой -1 (b = -1). Этому описанию соответствует график под буквой Г, следовательно, Г - 1. Формула 2) y = -3x - 2 задаёт функцию, график которой убывает (k < 0) и пересекает ось OY в точке с ординатой -2 (b = -2). Этому описанию соответствует график под буквой А, следовательно, А - 2.
Перейдём к гиперболам. Формула 3) y = 3 / x задаёт функцию, график которой расположен в 1 и 3 координатных четвертях (k > 0). Это график под буквой Б, следовательно, Б - 3. Формула 4) y = -1 / 2x задаёт функцию, график которой расположен во 2 и 4 координатных четвертях (k < 0). Это график под буквой В, следовательно, В - 4.
Ответ: 2341
Задание 6
Проверяется умение использовать начальные представления о множестве действительных чисел для сравнения, округления и вычислений; изображать действительные числа точками на координатной прямой.
Проверяемый элемент содержания - числа и вычисления.
Отметьте на числовой прямой число √34.
√34 расположен между √25 и √36, то есть между 5 и 6, но ближе к 6. Следовательно, он располагается в пределах синей линии.
Ответ:
Задание 7
Проверяется умение выполнять тождественные преобразования рациональных выражений на основе правил действий над многочленами и алгебраическими дробями.
Проверяемый элемент содержания - алгебраические выражения.
Найдите значение выражения (xy + y²) / 8x * 4x / (x + y) при x = √3, y = -5,2.
В числителе первой дроби вынесем за скобки y, получим выражение y(x + y) / 8x * 4x / (x + y). Теперь перемножим дроби, записав их числители и знаменатели под одну черту, получим y (x + y) * 4x / 8x * (x + y). Сократим (x + y) и 4x. Получим y / 2. Подставим y = -5,2. -5,2 / 2 = -2,6.
Ответ: -2,6
Задание 8
Проверяется умение находить вероятности случайных событий в опытах, зная вероятности элементарных событий, в том числе в опытах с равновозможными элементарными событиями.
Проверяемый элемент содержания - вероятность и статистика.
На фестивале выступают группы из 15 разных городов. Среди этих городов есть Астрахань, Брянск и Волгоград. Порядок выступления определяется жребием. Какова вероятность того, что группа из Астрахани будет выступать раньше группы из Брянска, но позже группы из Волгограда?
Обозначим Астрахань - А, Брянск - Б, Волгоград - В. Есть всего 6 вариантов распределения их выступления: АБВ, АВБ, БАВ, БВА, ВАБ, ВБА. Подходит единственный - ВАБ. Его вероятность 1/6.
Ответ: 1/6
Задание 9
Проверяется умение распознавать основные виды четырехугольников, их элементы; пользоваться их свойствами при решении геометрических задач.
Проверяемый элемент содержания - геометрия.
Один из углов параллелограмма равен 70°. Найдите тупой угол данного
параллелограмма.
Сумма углов при стороне параллелограмма равна 180°. Один 70°, значит второй 180° - 70° = 110°.
Ответ: 110°
Задание 10
Проверяется умение пользоваться теоремой Пифагора для решения геометрических и практических задач; строить математическую модель в практических задачах, самостоятельно делать чертеж и находить соответствующие длины; владеть понятиями синуса, косинуса и тангенса острого угла прямоугольного треугольника; пользоваться этими понятиями для решения практических задач; вычислять (различными способами) площадь треугольника и площади многоугольных фигур (пользуясь, где необходимо, калькулятором); применять полученные умения в практических задачах.
Проверяемый элемент содержания - геометрия.
Пример 1. На клетчатой бумаге с размером клетки 1 1 × отмечены точки A и B. Найдите расстояние между этими точками.
Построим отрезок, соединяющий точки А и В, а затем ещё два отрезка так, чтобы они образовали треугольник. Расстояние А-В найдём как гипотенузу прямоугольного треугольника с катетами 3 и 1. с² = а² + b² = 3² + 1² = 10 => c = √10.
Ответ: √10
Пример 2. В треугольнике ABC известны стороны: AB = 25 , AC = 40 , BC = 25.
Найдите площадь треугольника ABC.
Воспользуемся формулой Герона: S = √(p * (p - a) * (p - b) * (p - c)), где S - площадь треугольника, а, b и c - стороны треугольника, р - его полупериметр.
p = (25 + 40 + 25) / 2 = 90 / 2 = 45. S = √(45 * (45 - 25) * (45 - 40) * (45 - 25)) = √ (45 * 20 * 5 * 20) = √(20 * 20 * 5 * 5 * 9) = 20 * 5 * 3 = 300.
Ответ: 300
Задание 11
Проверяется умение использовать графические модели: дерево случайного эксперимента, диаграммы Эйлера, числовая прямая.
Проверяемый элемент содержания - вероятность и статистика.
На рисунке изображён граф. Аня обвела этот граф, не отрывая карандаша от листа бумаги и не проводя ни по одному ребру дважды. С какой вершины Аня начала обводить граф, если она закончила его обводить в вершине E?
Чтобы граф можно было обвести, не отрывая карандаша, нужно, чтобы в нём было ровно две вершины нечётной степени, одна из которых будет началом обводки, а другая концом. Вершины B, C, D, F, G имеют четные степени, а вершины А и Е - нечётные. Следовательно, Аня начала обводить граф с вершины А.
Ответ: А
Задание 12
Проверяется умение распознавать основные виды четырехугольников, их элементы, пользоваться их свойствами при решении геометрических задач.
Проверяемый элемент содержания - геометрия.
Укажите номер утверждения, которое является истинным высказыванием.
- Любой параллелограмм, в котором две стороны равны, является ромбом.
- Любой четырёхугольник, в котором две диагонали равны и перпендикулярны, является квадратом.
- Любой параллелограмм, в котором диагонали равны, является прямоугольником.
- В любой трапеции оба угла при меньшем основании тупые.
Разберём утверждения.
- Любой параллелограмм, в котором две стороны равны, является ромбом. Неверно. Этими двумя равными сторонами могут быть противоположные стороны параллелограмма, которые равны по определению.
- Любой четырёхугольник, в котором две диагонали равны и перпендикулярны, является квадратом. Неверно. Такого признака квадрата нет.
- Любой параллелограмм, в котором диагонали равны, является прямоугольником. Верно. Это признак прямоугольника.
- В любой трапеции оба угла при меньшем основании тупые. Неверно. В прямоугольной трапеции, например, один из углов при меньшем основании прямой.
Ответ: 3
Задание 13
Проверяется умение решать линейные, квадратные уравнения и рациональные уравнения, сводящиеся к ним, системы двух уравнений с двумя переменными.
Проверяемый элемент содержания - уравнения и неравенства.
Решите уравнение 4x² + 12x + 9 = (x - 4)².
Раскроем скобки: 4x² + 12x + 9 = x² - 8x + 16.
Перенесём все в левую часть: 4x² + 12x + 9 - x² + 8x - 16 = 0.
Приведём подобные: 3x² + 20x - 7 = 0
D = 20² - 4 * 3 * (-7) = 400 + 84 = 484. √D = √484 = 22.
x₁ = (-20 + 22) / 2 * 3 = 2/6 = 1/3, x₂ = (-20 - 22) / 2 * 3 = -42/6 = -7.
Ответ: x₁ = 1/3, x₂ = -7
Задание 14
Проверяется умение извлекать и преобразовывать информацию, представленную в виде таблиц, диаграмм, графиков; представлять данные в виде таблиц, диаграмм, графиков.
Проверяемый элемент содержания - вероятность и статистика.
На диаграмме представлены данные о годовом количестве осадков в Москве. По горизонтали указаны годы, а по вертикали – количество осадков, в мм.
Ответьте на вопросы.
1) В какие годы из указанного периода в Москве за год выпало менее 600 мм осадков?
Судя по диаграмме, в 2014 и 2019 годах.
Ответ: 2014 и 2019 годы
2) Примерно на сколько мм в 2021 году выпало осадков больше, чем в 2022?
В 2021 году выпало примерно 650 мм осадков, в 2022 выпало примерно 818 мм осадков. Следовательно, в 2021 году выпало на 818 - 650 = 168 мм осадков больше, чем в 2022 году.
Ответ: 168 мм
Задание 15
Проверяется умение переходить от словесной формулировки задачи к ее алгебраической модели с помощью составления уравнения или системы уравнений, интерпретировать в соответствии с контекстом задачи полученный результат.
Проверяемый элемент содержания - уравнения и неравенства.
Расстояние между пунктами А и В по реке равно 45 км. Из пункта А в пункт В по течению реки отправился плот, а через час вслед за ним отправилась моторная лодка, которая, прибыв в пункт В, тотчас повернула обратно и возвратилась в пункт А. К моменту возвращения лодки в пункт А плот проплыл 32 км. Найдите скорость лодки в неподвижной воде, если скорость течения реки равна 4 км/ч.
Такая задача может встретиться в 21 задании ОГЭ. Разбор 21 задания здесь.
Плот проплыл 32 км. Скорость течения = скорости плота = 4 км/ч. Найдём время. Чтобы найти время, нужно путь разделить на скорость, следовательно, время, которое плыл плот = 32/4 = 8 часов.
Лодка вышла через час после плота, следовательно, плыла 8 - 1 = 7 часов.
Пусть x км/ч – скорость лодки в неподвижной воде. Тогда скорость движения лодки по течению реки составляет х+4 км/ч, а скорость движения лодки против течения реки – х-4 км/ч. Выразим время, которое было затрачено на движение против течения и на движение по течению. Чтобы найти время, необходимо путь разделить на скорость, тогда время против течения составляет 45 / (х-4) ч, а время по течению – 45 / (х+4) ч.
Составим уравнение. Время плавания = время (по течению) + время (против течения), то есть 7 = 45/(x – 4) + 45/(x + 4).
Решим уравнение. ОДЗ: (x – 4) ≠ 0 и (х + 4) ≠ 0 => x ≠ 4, x ≠ - 4.
Сложим дроби в правой части уравнения: 7 = (45(x + 4) + 45(x – 4)) / (x – 4)(x + 4).
Раскроем скобки: 7 = (45x + 180 + 45x – 180) / (x – 4)(x + 4).
Приведём подобные: 7 = 90x / (x – 4)(x + 4). Отсюда 90x = 7(x – 4)(x + 4), значит 90x = 7x² - 112, то есть 7x² - 90x – 112 = 0.
D = (- 90)² - 4 * 7 * (-112) = 8100 + 3136 = 11236. √D = √11236 = 106.
x₁ = (90 + 106) / 2 * 7 = 196/14 = 14, x₂ = (90 - 106) / 2 * 7 = -16/14 = -8/7.
За х обозначали скорость лодки в неподвижной воде, которую нужно найти. Скорость не может быть отрицательной, следовательно, ответ 14 км/ч.
Ответ: скорость лодки в неподвижной воде равна 14 км/ч.
Задание 16
Проверяется умение находить вероятности случайных событий в опытах, зная вероятности элементарных событий, в том числе в опытах с равновозможными элементарными событиями.
Проверяемый элемент содержания - вероятность и статистика.
Правильный игральный кубик бросают два раза. Найдите вероятность того, что сумма выпавших очков окажется не меньше 9.
Заполним таблицу, указав в её ячейках суммы очков, которые могут выпасть при бросании кубиков.
Всего может быть 6 * 6 = 36 вариантов. Вариантов, когда сумма была не менее 9 (то есть 9 и больше) - 10. Тогда вероятность 10/36 = 5/18.
Ответ: 5/18
Задание 17
Проверяется умение применять понятие арифметического квадратного корня; находить квадратные корни, используя при необходимости калькулятор; выполнять преобразования выражений, содержащих квадратные корни, используя свойства корней.
Проверяемый элемент содержания - числа и вычисления.
Найдите значение выражения √(7 - 4√3)) + √3.
√(7 - 4√3)) + √3 = √(4 - 4√3 + 3) + √3 = √(2 - √3)² + √3 = 2 - √3 + √3 = 2.
Ответ: 2
Задание 18
Проверяется умение применять полученные знания на практике: строить математические модели для задач реальной жизни и проводить соответствующие вычисления с применением подобия и тригонометрии (пользуясь, где необходимо, калькулятором).
Проверяемый элемент содержания - геометрия.
В прямоугольном треугольнике ABC с гипотенузой AB провели высоту CD и биссектрису CL. Найдите величину угла DCL, если ∠CAB =25°. Ответ дайте в градусах.
Треугольники ABC и CDB подобные по двум углам (общий острый угол В и равные прямые углы). Отсюда следует равенство углов: ∠CAB = ∠DCB = 25°.
СL - биссектриса, которая делит прямой угол С на два угла по 45°: ∠ACL = ∠BCL = 45°.
Искомый угол DCL равен разности углов BCL и DCB, то есть 45° - 25° = 20°.
Ответ: 20°
Спасибо за прочтение
Надеюсь, эта информация была вам полезна.
Подписывайтесь на мой канал, ставьте лайк и оставляйте свой комментарий.