Представьте: вы дёрнули струну на гитаре. Она изогнулась и тут же начала вибрировать, создавая звук. А теперь задумайтесь — можно ли заранее узнать, как именно она будет колебаться?
Да! Для этого существует волновое уравнение — математический модель, по которой можно предсказать движение струны в любой момент времени.
Что вообще происходит со струной?
Когда вы оттягиваете струну, она деформируется. Если её отпустить, она начинает колебаться — туда-сюда, быстро, с определённой частотой. Эти колебания передаются воздуху — и вы слышите звук.
Но для математиков и физиков интереснее другое: можно ли точно описать, как струна будет двигаться?
Ответ: Можно! И это делается с помощью уравнения, которое связывает форму струны, её ускорение.
Вот как выглядит уравнение, которое описывает движение струны:
Пугаться не стоит. Вот расшифровка:
Смысл прост: ускорение струны в точке зависит от того, насколько она изогнута в этой точке.
Наш эксперимент: отпущенная параболическая струна.
Математическая модель:
Уравнение колебания струны - гиперболическое уравнение на отрезке.
Где u(t,x) - смещение струны в точке x и времени t, a - скорость распространения волны на струне (a^2 = To/po).
Начальные условия:
Форма струны в начальный момент:
Начальная скорость струны:
- струна отпущена из состояния покоя.
Граничные условия:
Закрепленные концы струны: смещение на концах струны равно нулю
u(t, 0) = 0
u(t, 1) = 0
Получаем:
Граничные условия:
Начальные условия:
Как выглядит решение?
Мы получили краевую задачу Штурма — Лиувилля, Решение которой может быть получено методом разделения переменных.
После долгих вычислений получается:
Да, это сложно. Но главное — идея:
Движение струны можно разложить на бесконечную сумму простых «волн», каждая из которых имеет свою частоту и амплитуду.
Это как симфония из чистых тонов: каждая волна играет свою роль.
Давайте посмотрим, как выглядят колебания струны, с помощью полученного решения.