В качестве иллюстрации того, какая глубокая и разноплановая должна быть подготовка к последним задачам ЕГЭ, рассмотрим такой сюжет.
Старинная математическая задача:
«Три брата получили в наследство от отца 17 верблюдов. Старшему отец завещал половину стада, среднему – треть, а младшему – девятую часть. Братья пытались поделить наследство и выяснили, что старшему брату придётся взять 8 верблюдов и кусок верблюда, среднему – 5 верблюдов и кусок верблюда, а младшему – верблюда и кусок верблюда. Естественно, разрезать верблюдов не хотелось никому, и братья решили попросить помощи у Мудреца, проезжавшего мимо них на верблюде.
Как Мудрец помог братьям?»
Эта классическая задача часто встречается в кружковых сборниках. Например, см. задачу 51 в книге «Сказки и подсказки» (Козлова Е.Г. ).
Решение у неё такое:
«Мудрец спешился и присоединил своего верблюда к стаду братьев. От нового стада из 18 верблюдов Мудрец отделил половину – 9 верблюдов для старшего брата, затем треть – 6 верблюдов для среднего брата, и наконец девятую часть – двух верблюдов для младшего брата. После успешной делёжки Мудрец сел на своего верблюда и продолжил путь. А братья стали думать, почему же каждый из них получил больше верблюдов, чем полагалось. Сможете ли вы объяснить, что же произошло?»
Здесь можно порассуждать о том, что 1/2 + 1/3 + 1/9 = 17/18 и это меньше единицы. То есть даже если можно было бы как-то разрезать верблюда, то всё равно у братьев осталась бы нераспределённой 1/18 часть богатства.
Это хорошая кружковая задача, её можно показывать школьникам в 5-6 классе.
Но зачем им это? Какой смысл в этой задаче?
История, бесспорно, сама по себе забавная. Но трюк с добавленным верблюдом кажется искусственным и даже немного шулерским.
Если уж продолжать душнить, то можно пожаловаться на исходные цифры, которые здесь подогнаны слишком удачно.
Приходится ли школьникам дальше эта идея добавления?
Ещё как пригодится!
Задача: «Разложите на множители выражение x⁴+4»
Обычный крепкий семиклассник уже чувствует подвох в этом задании и как правило торопится сказать, что это невозможно.
Действительно, он уже привык к простому разложению методом группировки:
x³+5x²+x+5 = (x³+5x²)+(x+5) = x²(x+5)+(x+5) = (x+5)(x²+1)
Он может даже умеет разбивать слагаемое в трёхчлене:
x²+7x+12 = x²+4x+3x+12 = (x²+4x)+(3x+12) = x(x+4)+3(x+4) = (x+3)(x+4)
Само собой он знает про разность квадратов и, возможно, про разность и сумму кубов:
x²-y² = (x-y)(x+y)
x³-y³ = (x-y)(x²+xy+y²)
x³+y³ = (x+y)(x²-xy+y²)
Он также наверняка хорошо знает, что выражение x²+y² ни при каких обстоятельствах не раскладывается на множители.
С таких багажом он точно сможет разложить на множители выражение x⁴-4:
x⁴-4 = (x²)²-2² = (x²-2)(x²+2)
И вроде бы запрет на разложение x²+y² должен распространяться на x⁴+4. Это формально тоже сумма квадратов.
И вот здесь к нам приходит на помощь дополнительный алгебраический «верблюд».
К x⁴+4 добавим и вычтем 4x².
x⁴+4 = x⁴+4x²+4-4x² = (x⁴+4x²+4)-4x² = (x²+2)²-(2x)² = (x²+2-2x)(x²+2+2x)
После этого школьник как правило без проблем раскладывает на множители выражения вроде 4x⁴+1, x⁴+x²+1 и m⁴+2m²+9.
Пока не встретится с такой задачей: «Разложите на множители выражение x⁵+x+1».
Говорят, что это задачу давал своим школьникам сам А.Н.Колмогоров...
Где в этой задаче наш верблюд?
Это сложная задача, поэтому не каждый может догадаться, что нужно добавить и вычесть x²:
x⁵+x+1 = x⁵-x²+x²+x+1 = (x⁵-x²)+(x²+x+1) = x²(x³-1)+(x²+x+1) = x²(x-1)(x²+x+1)+(x²+x+1) = (x²+x+1)(x²(x-1)+1) = (x²+x+1)(x³-x²+1)
Как только ученик понимает, что можно поиграть с кубами и неполным квадратом суммы или разности он может одолеть разложение и вот таких выражений: x⁴+x³+x²+2, 2x³+x²+x-1 и x¹⁰+x⁵+1.
Но верблюд может быть связан не только со сложением. Мы ведь можем и домножать с пользой.
Например, вычислите значение выражения cos20°cos40°cos80°.
Все углы «некрасивые», то есть тригонометрические функции от них не считаются напрямую.
Попытки перейти к косинусу двойного угла не приводят к успеху – получается громоздкий многочлен от неприятного cos20°.
А на помощь здесь приходит неказистый sin20°.
Домножим на него и разделим, а потом свернём несколько раз по формуле синуса двойного угла.
cos20°cos40°cos80° = sin20°cos20°cos40°cos80/sin20° = 1/2⋅2sin20°cos20°cos40°cos80/sin20° = 1/2⋅sin40°cos40°cos80/sin20° = 1/4⋅2sin40°cos40°cos80/sin20° = 1/4⋅sin80°cos80/sin20° = 1/8⋅2sin80°cos80/sin20° = 1/8⋅sin160°/sin20° = 1/8⋅sin20°/sin20° = 1/8.
В общем, этот приём с добавлением чего-либо и с последующим его удалением используется в математике сплошь и рядом.
Но дело в том, что все эти алгебраические техники решения задач, которые обычно идут уже после 7 класса, должны падать на подготовленную почву.
Часть детей просто не понимает самого концепта. Для них это так и остаётся магией, очередным кроликом из бесконечной шляпы методов решения задач.
Вот учитель захотел что-то добавить и потом это вычел. Зачем, почему – неясно.
Старинная задача про верблюда – это не просто дань уважения истории. Это полноценный инструмент в руках преподавателя.
Я много раз слышал, что эта или подобная задача не нужны. Мол, лучше решить на кружке ещё какую-нибудь техническую задачу на турниры или на взвешивания, чтобы лучше подготовить несколько топовых школьников к олимпиаде.
Зачем ходить вокруг да около таких задач, стремясь до всех донести довольно простую мысль?
Но кружки и не должны превращаться в натаскивание на очередную олимпиаду ради потехи самолюбия руководителя кружка и кучки родителей.
Если понимать глубину этой и подобных задач, вся школьная программа станет гораздо объёмнее и взаимосвязаннее.
И дело не только в математике. Например, в химии есть концепт катализатора, который ускоряет химические реакции. Что это, как не наш добавленный верблюд?
А знаете, где ещё используется эта метафора?
Вспомните сказку «Каша из топора»:
«Шёл солдат со службы домой и устал по дороге. Ему сильно хотелось есть, а у самого ничего нет. Подходя к деревне, герой постучался в первую избушку, отдохнуть попросился, да попросить еды. Жила там старуха, отдохнуть пустила, но пожалела она солдату еды и сказала, что у самой ничего нет. Солдат увидел топор под лавкой и предложил из него кашу сварить. Старушка дала ему котелок, а солдат помыл и положил топор в котелок на огонь, стал помешивать. Попробовал, говорит соли не хватает. Старуха сбегала за солью. Снова солдат топор варит. Пробует и попросил горсточку крупы. Старуха бежит, несёт мешочек крупы. Затем солдат попросил масла — старуха и масло принесла.
Сварил солдат кашу, сели они со старухой есть. Старуха удивляется, что из топора такую вкусную кашу сварить можно, и спрашивает солдата: «Когда топор есть будем?» Тот отвечает, что топор не сварился, и он доварит его по дороге и съест. Так солдат и каши поел и топор унёс.»
Добавил топор – сварил кашу – убрал топор.
Не было бы топора, кашу бы солдат не сварил, даже при наличии всех ингредиентов в доме.
На подсознательном уровне дети отлично считывают этот паттерн.
Это всё к вопросу о пользе сказок в начальной школе, а не натаскивания на математические олимпиады с пелёнок.
И наконец, вернёмся к совсем прагматичным вещам.
Преподаватели порой рассуждают так: «Зачем нам вся эта философия, какие-то возвышенные вещи про математику. Нам бы школьников к ЕГЭ подготовить...»
Однако вся эта статья стала результатом обсуждения именно ЕГЭшной задачи 2018 года:
«Найдите все значения a, при каждом из которых система уравнений
x² + y² = a², 2xy = 3a² − 4a имеет ровно два различных решения.»
У этой задачи несколько решений, и одно из них использует то самое добавление/вычитание. Благо составители любезно оставили во втором уравнении именно величину 2xy, не просто xy, как бы намекая нам на эффектное решение.
Действительно, выражение 2xy (точнее, всё второе уравнение целиком) и есть наш верблюд.
Если мы добавим к первому уравнению второе, то получится:
x² + y² + 2xy = 4a² − 4a
(x + y)² = 4a² − 4a
Если вычтем из первого уравнения второе:
x² + y² − 2xy = -2a² + 4a
(x − y)² = -2a² + 4a
А дальше уже смотрим, чем является на координатной плоскости каждое из этих уравнений в зависимости от параметра а: двумя параллельными прямыми, просто прямой или пустым множеством. И наконец ищем случаи, когда пересечения происходят ровно в двух точках.
Так вот некоторым школьникам тяжело решить эту задачу. Они не осознают более глобального принципа при использовании такого метода решения. Идея задачи не цепляется за какие-то знакомые сюжеты.
Возможно потому, что им своевременно не рассказали правильную сказку и не объяснили парадокс в верблюжьем наследстве...