Рассмотрим интересную задачу, которая предлагалась абитуриентам МГУ в 2023 году. В этой задаче есть несколько решений, одно из них просит решающего продемонстрировать незамысловатые знания базовых неравенств, которые проходят в 5 классе, а второе показывает красивую взаимосвязь между алгеброй и геометрией.
Положительные числа a,b,c удовлетворяют соотношению
Найдите наибольшее возможное значение выражения:
Первый способ:
Давайте кое-что вспомним, если у нас есть два вещественных числа a,b >0, то что можно сказать про квадрат суммы эти чисел? Он будет неотрицателен!
Действительно:
Рассмотрим:
Теперь, сложив эти два неравенства, получим:
Равенство действительно достигается при
Подставляя это в равенство, можно явно найти a, b, c.
Второй способ:
Условие задачи можно немного переформулировать:
Пусть мы находимся на плоскости, введем некоторые вектора:
Длина этих векторов связана с первым уравнением формулировки задачи и равна:
где (x,y) - скалярное произведение векторов x и y.
Тогда условие нашей задачи явно сводится к минимизации скалярного произведения при заданных ограничениях:
Из неравенства Коши-Буняковского следует
По неравенству о среднем(мы его приводили выше) получим:
Объединив эти неравенства, получим:
При этом равенство достигается, когда вектора x и y равны, отсюда получаем: