Массовая школьная математика давно стала гуманитарным предметом. Стандартные приёмы, задачи, правила и алгоритмы. Заучивай на карточках, как правила русского или английского языка. Думать даже не всегда нужно - просто применяй типовые алгоритмы. Иногда полезно и интересно не заучивать, а понимать и выводить. Например, сегодня рассмотрим одно из доказательств формулы тройного угла через геометрию (sin3a=3sina-4sin^3a).
По формулировке на рисунке сразу напрашивается идея с окружностью и углами. Тут нарисована часть правильного многоугольника. Одно из изящных решений через площади. Площадь каждого из трёх равнобедренных (радиусы равны 1) треугольников равны половине синуса угла (по формуле площади треугольника через половину произведения сторон на синус угла между ними).
Площадь из трёх треугольников можно также рассчитать как сумму площади одного большого треугольника (рисунок справа выше) и равнобедренной трапеции. Чтобы найти площадь трапеции мы выражаем сторону многоугольника x по теореме косинусов через радиус (который мы взяли 1 для удобства). Далее применяем формулу для площади трапеции через произведение полусуммы основания на высоту. Большее основание и высоту находим через синус и косинус угла.
Тут важная деталь, что угол AHK равен тоже нашему угла a. Это вписанный угол, который опирается на ту же дугу, что и центральный угол величины 2a. Формулу можно также вывести и через теорему синусов. Тут нам также понадобится длина бОльшего основания трапеции.
Макет в Геогебре по этой задаче:
#педагогика #преподавание #егэ #экономика #математика #ib #alevel #научение #экономика #эконометрика #микроэкономика #макроэкономика #НамНужнаИнаяШкола #ЯндексПрактикум #ЗФТШ #МФТИ #Физтех #ДПО #ЦентральныйУниверситет