Уравнение с параметром: три решения

Задача:

Найти все значения параметра a, при которых уравнение

имеет ровно три решения.

Анализ задачи

1. Четность функции:

2. Следствие:

Если x0-корень, то -x0 тоже корень. => Все корни, кроме возможного x = 0, образуют пары.

3. Условие для существования трех корней:

Для получения нечетного числа решений необходимо:

• x = 0 - корень
• Должна существовать ровно одна пара ненулевых корней +-x0

Решение

Подставляем x=0:

Раскрываем уравнение:

Корни:

Случай a = 2:

Уравнение:

Можно легко решить графически:

Случай a =2/3:

Уравнение:

Вторая скобка этого уравнения не меньше 1/9, следовательно, корень, если корень и есть, то он единственный и равен 0. Что означает, a = 2/3 нам не подходит.

Ответ: a = 2