Вариант и описание заданий взяты с официального сайта ВПР - ФИОКО.
Количество заданий, их оценивание и уровень сложности
Работа состоит из 17 заданий - 11 в первой части и 6 во второй.
Задания первой части (1-11) оцениваются в 1 балл. При этом за задание 5, состоящее из двух пунктов, можно получить 2 балла (по одному за каждый пункт). За задания второй части (12 - 17) можно получить до 2 баллов.
Максимальный количество первичных баллов за выполнение работы - 24.
Задания разделены по уровню сложности. К повышенному уровню сложности относятся задания 10, 11, 15, 16 и 17, все остальные - к базовому.
Перевод первичных баллов в отметку
Отметка "2" ставится за 0 - 6 первичных баллов. Отметка "3" за 7 - 12 первичных баллов. Для получение отметок "2" и "3" достаточно решать задания первой части.
Отметка "4" ставится за 13 - 18 первичных баллов. Отметка "5" за 19 - 24 первичных балла. Для получения отметок "4" и "5" необходимо решать как первую, так и вторую часть.
Обзор варианта
Задание 1
Проверяется умение выполнять, сочетая устные и письменные приемы, арифметические действия с рациональными числами; находить значения числовых выражений; применять разнообразные способы и приемы вычисления значений дробных выражений, содержащих обыкновенные и десятичные дроби.
Проверяемый элемент содержания - числа и вычисления.
Вычислите: 6⁴ : 4² * 9³.
Применим свойство степени, разложив числа на множители. Получим 2⁴ * 3⁴ : 2² * 2² * 3³ * 3³. Применим свойства степени для 2: основание останется неизменным, а показатель будет равен 4 -2 -2 = 0. Применим свойства степени для 3: основание останется неизменным, а показатель будет равен 4 -3 – 3 = -2. Получим итоговое выражение 2⁰ * 3⁻² = 1 * 1/3² = 1 * 1/9 = 1/9.
Ответ: 1/9
Задание 2
Проверяется умение выполнять, сочетая устные и письменные приемы, арифметические действия с рациональными числами; находить значения числовых выражений; применять разнообразные способы и приемы вычисления значений дробных выражений, содержащих обыкновенные и десятичные дроби.
Проверяемый элемент содержания - числа и вычисления.
Найдите значение выражения (11,6² - 6,4²) / (4,3² + 2 * 4,3 * 1,7 + 1,7²).
В числителе дроби разность квадратов: 11,6² - 6,4² = (11,6 – 6,4) * (11,6 + 6,4) = 5,2 * 18. В знаменателе дроби разложение квадрата суммы: 4,3² + 2 * 4,3 * 1,7 + 1,7² = (4,3 + 1,7)² = 6² = 36.. В итоге получаем следующее выражение: 5,2 * 18 / 36 = 5,2 / 2 = 2,6.
Ответ: 2,6
Задание 3
Проверяется умение описывать и интерпретировать реальные числовые данные, представленные в таблицах, на диаграммах, графиках.
Проверяемый элемент содержания - вероятность и статистика.
Катя младше Тани, но старше Даши. Ксюша не младше Даши. Укажите номера истинных утверждений.
- Таня и Даша одного возраста.
- Среди указанных девочек нет никого младше Даши.
- Таня старше Даши.
- Таня и Катя одного возраста.
Разберём текст задания. Катя младше Тани, но старше Даши, то есть, распределив девочек от самой младшей к самой старшей, можно записать их так: Даша, Катя, Таня. Ксюша не младше Даши, то есть Ксюша в списке идёт после Даши. Тогда истинные утверждения - это утверждения под номерами 2 и 3.
Ответ: 2 и 3
Задание 4
Проверяется умение распознавать изученные геометрические фигуры, определять их взаимное расположение, изображать геометрические фигуры, выполнять чертежи по условию задачи; измерять линейные и угловые величины; решать задачи на вычисление длин отрезков и величин углов; проводить вычисления и находить числовые и буквенные значения углов в геометрических задачах с использованием суммы углов треугольников и многоугольников, свойств углов, образованных при пересечении двух параллельных прямых секущей; решать практические задачи на нахождение углов.
Проверяемый элемент содержания - геометрия.
Угол B треугольника ABC равен 62°. Внешний угол при вершине A равен 138°. Найдите градусную меру внешнего угла при вершине C.
Внешний угол при вершине С равен сумме двух углов треугольника, не смежных с ним, то есть сумме углов А и В. Угол В дан. Найдём угол А. Внешний угол при вершине А равен 138°, то есть сумма углов В и С равна 138°. Отсюда найдём угол С: 138° - 62° = 76°. Теперь найдём угол А. Сумма углов треугольника 180°. Чтобы найти угол А, нужно из 180° вычесть углы В и С: 180° - 62° - 76° = 42°. Теперь найдём внешний угол при вершине С: 42° + 62° = 104°.
Ответ: 104°
Задание 5
Проверяется умение читать информацию, представленную в таблицах, на диаграммах; представлять данные в виде таблиц, строить диаграммы (столбиковые (столбчатые) и круговые) по массивам значений; описывать и интерпретировать реальные числовые данные, представленные в таблицах, на диаграммах, графиках; использовать для описания данных статистические характеристики: среднее арифметическое, медиана, наибольшее и наименьшее значения, размах.
Проверяемый элемент содержания - вероятность и статистика.
Объём воды в крупных водоёмах измеряют в кубических километрах (1 км3 = 1 млрд м3). В таблице указаны некоторые описательные характеристики объёмов пяти крупнейших водохранилищ Европейской части России: Волгоградского, Куйбышевского, Сегозера, Цимлянского и Рыбинского.
Ниже даны четыре диаграммы, показывающие долю каждого водохранилища в их общем объёме. Только одна из диаграмм верная.
1) Укажите номер верной диаграммы.
Среднее арифметическое 32, то общий объём воды в пяти водохранилищах равен 32 * 5 = 160 км3. Максимум 57 км3, что составляет 57/160= 35% от общего объёма воды (примерно 1/3 диаграммы). Минимум 23 км3, что составляет 23/160 = 14 % от общего объёма воды (примерно 1/7 диаграммы). Тогда максимальное и минимальное значение составляют половину диаграммы (50%). Медиана 25 км3, что составляет 25/160 = 15% от общего объёма воды (примерно 1/6 диаграммы). На остальные два водохранилища остаётся 36% (примерно 1/3 диаграммы). Такому описанию соответствует диаграмма под номером 4.
Ответ: 4
2) Найдите примерный объём Волгоградского водохранилища (в км3).
Судя по диаграмме, на максимальное и минимальное значения приходится половина объёма воды во всех водохранилищах, то есть 160 км3 : 2 = 80 км3. Оставшаяся половина поделена почти ровно на 3 части, одна из которых приходится на Волгоградское водохранилище, следовательно, эта часть равна 80 км3 : 3 =26 км3.
Ответ: 26
Задание 6
Проверяется умение выполнять преобразования целого выражения в многочлен приведением подобных слагаемых, раскрытием скобок; выполнять умножение одночлена на многочлен и многочлена на многочлен, применять формулы квадрата суммы и квадрата разности.
Проверяемый элемент содержания - алгебраические выражения.
Представьте выражение в виде многочлена стандартного вида (3 – 2y)² -2y(y + 1).
(3 – 2y)² - квадрат разности, раскроем его: 3² - 2 * 3 * 2y + (2y)² = 9 – 12y + 4y². Затем раскроем скобку: -2y(y + 1) = -2y² -2y. Получаем в итоге: 9 – 12y + 4y² -2y² - 2y = 2y² - 14y + 9.
Ответ: 2y² - 14y + 9
Задание 7
Проверяется умение
Проверяется умение проводить логические рассуждения с использованием геометрических теорем.
Проверяемый элемент содержания - геометрия.
Какие из следующих утверждений являются истинными высказываниями? В ответе укажите номера этих утверждений.
- Существует равнобедренный треугольник, в котором один из углов в 2 раза больше другого.
- В любом прямоугольном треугольнике один из катетов в 2 раза меньше другого.
- При пересечении двух любых прямых сумма пары образованных ими вертикальных углов равна 180°.
- В любом треугольнике длина одной стороны меньше суммы длин двух других сторон.
Разберём утверждения.
- Существует равнобедренный треугольник, в котором один из углов в 2 раза больше другого. Верно. Например, равнобедренный прямоугольный треугольник с углами 90°, 45° и 45°.
- В любом прямоугольном треугольнике один из катетов в 2 раза меньше другого. Неверно. Такого свойства нет.
- При пересечении двух любых прямых сумма пары образованных ими вертикальных углов равна 180°. Неверно. Вертикальные углы равны друг другу, но их сумма не всегда 180°.
- В любом треугольнике длина одной стороны меньше суммы длин двух других сторон. Верно. Это неравенство треугольника.
Ответ: 1 и 4
Задание 8
Проверяется умение понимать графический способ представления и анализа информации, извлекать и интерпретировать информацию из графиков реальных процессов и зависимостей.
Проверяемый элемент содержания - координаты и графики, функции.
Населённые пункты А и Б соединены прямым шоссе. Автомобиль выехал из
пункта А в пункт Б, некоторое время провёл в пункте Б, а затем вернулся в пункт А. График показывает расстояние от автомобиля до пункта А в каждый момент времени. Расстояние измеряется в километрах, время – в часах. Найдите среднюю скорость автомобиля на обратном пути (в км/ч).
Судя по графику, длина обратного пути равна 70 км. На этот путь автомобиль затратил 2 часа. Тогда средняя скорость равна 70 км / 2 часа = 35 км/ч.
Ответ: 35
Задание 9
Проверяется умение описывать и интерпретировать реальные числовые данные, представленные в таблицах, на диаграммах, графиках.
Проверяемый элемент содержания - вероятность и статистика.
У графа семь вершин степени 4 и ещё шесть вершин степени 3. Других вершин в этом графе нет. Сколько рёбер в этом графе?
От вершины 4 степени отходит 4 ребра, а от 7 таких вершин 7 * 4 = 28 рёбер. От вершины 3 степени отходит 3 ребра, а от 6 таких вершин 6 * 3 = 18 рёбер. Итого рёбер (28 + 18) / 2 = 46 / 2 = 23, так как одно ребро исходит из двух вершин.
Ответ: 23
Задание 10
Проверяется умение применять признаки делимости, разложение на множители натуральных чисел.
Проверяемый элемент содержания - числа и вычисления.
Найдите наибольшее шестизначное число, которое делится на 15 и у которого все цифры расположены в порядке убывания (каждая следующая цифра меньше предыдущей, например, 876431).
Чтобы число делилось на 15, нужно, чтобы оно делилось на 5 и на 3. Чтобы число делилось на 5, оно должно оканчиваться на 5 или на 0. Нам нужно наибольшее шестизначное число, однако на 5 оно оканчиваться не может (убывающих цифр хватит только на пятизначное 98765), поэтому последняя цифра - 0. Чтобы число делилось на 3, сумма его цифр должна делиться на 3. Будем проверять числа, начиная с 987650. Оно не делится на 3, так как 9 + 8 + 7 + 6 + 5 + 0 = 35 не делится на 3. Аналогично число 987640 не делится на 3, а вот число 987630 делится на 3.
Ответ: 987630
Задание 11
Проверяется умение составлять и решать линейное уравнение или систему линейных уравнений по условию задачи, интерпретировать в соответствии с
контекстом задачи полученный результат.
Проверяемый элемент содержания - уравнения.
В классе некоторые ученики простудились и не ходят в школу. В понедельник тех, кто пришёл в школу, было в 13 раз больше, чем тех, кто не пришёл. Во вторник заболели ещё двое, и в результате тех, кто не пришёл в школу, оказалось в 6 раз меньше, чем тех, кто пришёл. Сколько учеников в этом классе?
Пусть х - число тех учеников, которые пришли в школу, а y - число тех учеников, которые не пришли в школу.
В понедельник тех, кто пришёл в школу, было в 13 раз больше, чем тех, кто не пришёл. Тогда x = 13y. Во вторник заболели ещё двое, и в результате тех, кто не пришёл в школу, оказалось в 6 раз меньше, чем тех, кто пришёл. Тогда x - 2 = 6 (y + 2). Полученные уравнения образуют систему. Решим её. Подставим выражение х из первого уравнения во второе, получим 13y - 2 = 6y + 12. Отсюда 7y = 14, y = 2. Тогда x = 13 * 2 = 26. Учеников в классе x + y = 26 + 2 = 28.
Ответ: 28
Задание 12
Проверяется умение решать линейные уравнения с одной переменной, применяя правила перехода от исходного уравнения к равносильному ему; проверять, является ли число корнем уравнения.
Проверяемый элемент содержания - уравнения.
Решите уравнение 4x (x + 2) + 3 = 4x² -3 (7 - 2x).
Раскроем скобки: 4x² + 8x + 3 = 4x² - 21 + 6x. Приведём подобные: 2x = -24, x = -12.
Ответ: -12
Задание 13
Проверяется умение распознавать изученные геометрические фигуры, определять их взаимное расположение, изображать геометрические фигуры, выполнять чертежи по условию задачи; измерять линейные и угловые величины; решать задачи на вычисление длин отрезков и величин углов; проводить логические рассуждения с использованием геометрических теорем; владеть понятием геометрического места точек; определять биссектрису угла и серединный перпендикуляр к отрезку как геометрические места точек.
Проверяемый элемент содержания - геометрия.
В треугольнике АВС проведены медиана BM и высота BH. Известно, что АH = 54,
BC = BM. Найдите длину стороны AC.
Пусть CH = x. ВС = ВМ => треугольник BMC - равнобедренный, следовательно, BH является для него не только высотой, но и медианой, отсюда MH = HC = x. BM - медиана, следовательно, AM = MC = MH + HC = 2x.
AH = 54 = AM + MH = 2x + x = 3x. Отсюда x = 54 / 3 = 18. Тогда AC = AM + MC = 2x + 2x = 4x = 4 * 18 = 72.
Ответ: 72
Задание 14
Проверяется умение описывать и интерпретировать реальные числовые данные, представленные в таблицах, на диаграммах, графиках; использовать для описания данных статистические характеристики: среднее арифметическое, медиана, наибольшее и наименьшее значения, размах.
Проверяемый элемент содержания - вероятность и статистика.
В институте используется десятибалльная система оценки знаний студентов. Средняя оценка вычисляется как среднее арифметическое. Преподаватель дал одну и ту же контрольную работу в двух группах. Результаты представлены в таблице.
1) Найдите среднюю оценку всех студентов за эту работу.
2) Несколько студентов переписали работу, и каждый получил на 1 балл больше, чем при первой попытке. В результате средняя оценка всех студентов стала равной 8. Сколько студентов переписало работу?
1) Сумма оценок в первой группе равна 20 * 8,2 = 164, сумма оценок во второй группе равна 30 * 7,8 = 234. Тогда сумма оценок в обеих группах 164 + 234 = 398, а общее число студентов в обеих группах 20 + 30 = 50. Тогда средняя оценка всех студентов за работу 398 / 50 = 7,96.
2) Чтобы средняя оценка всех студентов стала равна 8, нужно, чтобы сумма всех оценок была 8 * 50 = 400. Изначально сумма всех оценок 398. Следовательно, 2 студента переписало работу.
Ответ: 1)7,96 2)2
Задание 15
Проверяется умение распознавать изученные геометрические фигуры, определять их взаимное расположение, изображать геометрические фигуры, выполнять чертежи по условию задачи; измерять линейные и угловые величины; решать задачи на вычисление длин отрезков и величин углов; проводить логические рассуждения с использованием геометрических
теорем; владеть понятием геометрического места точек; определять биссектрису угла и серединный перпендикуляр к отрезку как геометрические места точек.
Проверяемый элемент содержания - геометрия.
Даны треугольники ABC и ADC, причём точки B и D лежат по разные стороны от прямой AC. Углы АВС и ADC равны 77° и 74° соответственно. Найдите градусную меру угла BAD, если АВ = АС = AD.
AB = AC => ABC - равнобедренный, то есть углы ABC и AСB равны по 77° . Тогда угол BAC равен 180° - 77° - 77° = 26°. AC = AD => ADC - равнобедренный, то есть углы ACD и ADC равны по 74°. Тогда угол DAC равен 180° - 74° - 74° = 32°. Угол BAD равен сумме углов BAC и DAC, то есть 26° + 32° = 58°.
Ответ: 58°
Задание 16
Проверяется умение применять признаки делимости, разложение на множители
натуральных чисел.
Проверяемый элемент содержания - числа и вычисления.
Задумали трёхзначное число, последняя цифра которого не равна нулю. Из него вычли трёхзначное число, записанное теми же цифрами в обратном порядке. Получили число 792. Найдите все числа, обладающие таким свойством.
Пусть задано число abc = 100a + 10b + c. Из него вычли число cba = 100c + 10b + a. Вычтем: 100а + 10b + c - 100c - 10b - a = 99a -99c = 99 (a - c) = 792. Отсюда а - с = 792 : 99 = 8. Тогда а = 9, с = 1. Значит задано число 9b1, где b - любая из цифр от 0 до 9.
Ответ: 901, 911, 921, 931, 941, 951, 961, 971, 981, 991
Задание 17
Проверяется умение составлять и решать линейное уравнение или систему линейных уравнений по условию задачи, интерпретировать в соответствии с
контекстом задачи полученный результат.
Проверяемый элемент содержания - уравнения.
В растворе кислоты на 1 кг воды приходилось 4 кг кислоты. В этот раствор долили воду, так что содержание кислоты понизилось до 20 %. Затем в раствор долили кислоту, и содержание кислоты выросло до 80 %. Во сколько раз увеличилась масса раствора по сравнению с первоначальной?
Пусть масса раствора равна 5x, из них x кг воды и 4x кг кислоты.
Долили y кг воды и содержание кислоты понизилось до 20%. Получаем уравнение: 4x / (5x + y) = 0,2. Отсюда 4x = 0,2 (5x + y) = x + 0,2y, отсюда 3x = 0,2y, y = 15x.
Затем долили кислоту и содержание кислоты выросло до 80%. Это изначальная концентрация, следовательно, кислоты долили в 4 раза больше, чем воды, то есть 60х кг. Масса итогового растворы стала равна 5х + 15х + 60х = 80х, то есть она выросла в 80x / 5x = 16.
Ответ: в 16 раз
Спасибо за прочтение
Надеюсь, эта информация была вам полезна.
Подписывайтесь на мой канал, ставьте лайк и оставляйте свой комментарий.