Задача с вступительного экзамена на химфак МГУ (2005)
Любой советский школьник щелкнет эту задачу за 5 минут за завтракам, американцам требуются целые сутки, чтобы ее решить.
При каких значениях параметра a уравнение
имеет ровно три решения?
Пусть
Заметим необычное свойство этой функции. Рассмотрим её в виде дробно-рациональной функции:
и составим матрицу коэффициентов:
Посчитаем квадрат этой матрицы:
Это означает, что матрица A инволютивна: AA = E. Отсюда следует, что функция f(x) также обладает симметрией:
Действительно:
Таким образом, f — самосопряжённая функция, что означает: если x = x0 — решение уравнения, то и f(x0) тоже решение. Иначе говоря, решения появляются попарно: x <--> f(x).
Теперь вспомним условие задачи: требуется ровно три решения. Нечётное число решений может возникнуть только, если одно из них совпадает со своим «партнёром»:
Решим это уравнение:
Найдём корни:
Подставим эти значения в исходное уравнение, чтобы найти соответствующие значения параметра a: