Один из увлекательных фактов геометрии - окружность девяти точек (и рядом с ним прямая Эйлера). Окружность девяти точек проходит через середины трёх сторон треугольника. "Основания трёх высот произвольного треугольника (3 точки), середины трёх его сторон (3 точки) и середины трёх отрезков, соединяющих его вершины с ортоцентром (3 точки), лежат все на одной окружности.".
И этот "закон" справедлив для любого треугольника. Окружность девяти точек является описанной окружностью для следующих трёх треугольников:
- треугольник Эйлера (или треугольник Фейербаха, треугольник Эйлера — Фейербаха) — треугольник, вершинами которого служат середины трёх отрезков, соединяющих ортоцентр и вершины.
Пусть O — центр описанной окружности треугольника ABC, M — точка пересечения медиан, H — ортоцентр (точка пересечения высот треугольника). Тогда точки O, M и H лежат на одной прямой (Эйлера), причём OM:MH=1:2.
Поскольку тут одних только интересующих нас точек 9, а дополнительных построений и того больше, поэтому хочется это всё точно и наглядно представить. Например, можно удобно сделать в Geogebra.
В Геогебре можно как угодно менять размеры исходного треугольника и наблюдать инвариант девяти точек и уравнения Эйлера. Это, конечно, очень красноречиво и образно, по сравнению с аналитическим доказательством. Тут каждый может своими руками создать модель и увидеть, что "оно работает".
#педагогика #преподавание #егэ #экономика #математика #ib #alevel #научение #экономика #эконометрика #микроэкономика #макроэкономика #НамНужнаИнаяШкола #ЯндексПрактикум #ЗФТШ #МФТИ #Физтех #ДПО #ЦентральныйУниверситет