В некоторых заданиях ОГЭ для записи ответа приходится получившуюся обыкновенную дробь переводит в десятичную, так ответ на экзамене записывается в виде целого числа или десятичной дроби.
Давайте по порядку. Десятичная дробь - это такой способ записи обыкновенных дробей, знаменатель которых равен 10, 100, 1000 и т.д. Поэтому из курса 5-6 класса мы помним, что
Дроби даже читаются почти одинаково. "Семь десятых" и "ноль целых, семь десятых".
Но если каждую десятичную дробь мы сможем представить в виде обыкновенной, то далеко не каждую обыкновенную дробь у нас получится перевести в конечную десятичную дробь. В чем секрет? А секрет, как раз таки, в знаменателе 10. С обыкновенной дробью можно сделать два преобразования, в результате которых получится равная дробь:
1) разделить числитель и знаменатель на одно и тоже число, называется это действие сокращение;
2) умножить числитель и знаменатель на одно и тоже число, не равное нулю.
Допустим, что с данной нам обыкновенной дробью уже выполнили первое действие. Поэтому будем рассматривать только несократимые дроби (ну а если она сократимая, то сначала сокращаем, а потом читаем далее). Тогда мы можем только умножать. Но далеко не каждое число при умножении на другое число может дать 10, 100, 1000 и т.д. Например на какое целое число не умножай число 7 единица с нулями не получится никогда. Поэтому несократимые дроби со знаменателем 7 не переводятся в конечную десятичную дробь.
Можно ли по знаменателю дроби сразу определить получится это сделать или нет? Конечно, можно (иначе писал бы я здесь про это). Нам надо получить 10, 100, 1000 и т.д. Все эти числа - степени числа 10. То есть представляют собой произведение нескольких десяток. А число 10 - это произведение 2 на 5. Ни из какого другого простого числа 10 не получится. Поэтому, обыкновенную несократимую дробь можно перевести в конечную десятичную только в том случае, если ее знаменатель представляет собой произведение двоек и (или) пятерок.
Поэтому все знаменатели несократимых дробей можно разделить на "хорошие" и "плохие".
К "хорошим" знаменателям относятся сами числа 2 и 5, а так же числа:
4 (4=2*2 - только двойки), 8 (2*2*2), 20 (2*2*5 - только двойки и пятерки), 25 (5*5 - только пятерки), 40 (2*2*2*5), 50 (2*5*5), 16 (2*2*2*2) и т.д.
Любые обыкновенные дроби с этими знаменателями переводятся в десятичные.
А вот "плохими" знаменателями будут все другие числа, например:
12 (12=2*2*3 - очень сильно мешает тройка), 35 (5*7 - все из-за семерки) и т.п.
Поэтому если несократимая дробь имеет знаменатель 12, то переводить ее в десятичную можно и не пытаться. Про сократимые дроби поговорим чуть ниже.
Итак, мы выяснили, какие обыкновенные дроби переводятся в десятичные. Осталось разобраться как это сделать. Варианта два:
1) Делить. Дробь - это деление. Поэтому, если вы умеете делить и не путайтесь в запятых, то это вполне подходящий вариант. О нем Вам рассказали в 5-6 классах.
2) Умножать. Умножать? Вот именно. Умножать, как правило, гораздо проще, чем делить. И если уж дробь переводится в десятичную, то ее знаменатель можно на что-нибудь умножить, чтобы получилось единичка с ноликами.
Ну давайте по порядку. Ну а точнее пройдемся по "хорошим" знаменателям.
1. Знаменатели 2, 20, 200,...
Очевидно, чтобы из числа 2 получить 10, нужно его умножить на 5. В этом и заключается прием: домножаем числитель и знаменатель на 5, снизу получаем 10, 100, 1000...., записывает результат:
2. Знаменатели 5, 50, 500,...
В этом случае все так же, только проще. Чтобы из 5 получить 10 нужно умножить на 2. Так и сделаем:
3. Знаменатель 4, 40,...
4 это 2*2. Каждой двойке для получения десятки нужна пятерка. Ну а раз двойки две, то и пятерок нужно две, а две пятерки это 5*5=25. Поэтому дробь со знаменателем 4 можно умножить на дополнительный множитель 25:
Замечаем, что для чисел побольше это уже не так удобно. Все таки умножать на 25 не так просто, как на 5. В случае неправильной дроби (это когда числитель больше знаменателя, ну или когда большее число делится на меньшее), есть еще один прием.
Правильных несократимых дробей со знаменателем 4 всего две. И их перевод в десятичную дробь я советую запомнить:
Это значит, что при делении нечетного целого числа на 4 после запятой может быть или ",25" или ",75". Других вариантов НЕТ!
Попробуем перевести в десятичную дробь 19/4, ну или чаще это действие встречается когда нужно 19 разделить на 4. Умножать 19 на 25 можно, но долго. Воспользуемся следующим приемом: Найдем число, меньшее 19 и ближайшее к 19, которое делится на 4 (18 не подходит, 17 не подходит, а вот 16 вполне). Представим 19 в виде 16+3. Можно поделить на 4 и число 16 и число 3 (а мы помним, что 3/4=0,75), а результаты сложить, получим:
Разделим таким же образом 33 на 4:
4. Знаменатель 25, 250,...
В предыдущем пункте мы выяснили, что если знаменатель 4, то дробь можно умножить на дополнительный множитель 25, получим знаменатель 100. Ну значит, если знаменатель 25, то чтобы получить внизу 100, нужно дробь умножить на дополнительный множитель......какой же? Правильно, на 4:
Согласитесь, что умножить 32 на 4 проще, чем столбиком делить 32 на 25?
5. Знаменатель 8, 80,..
Это уже сложнее, но все равно встречается в заданиях ОГЭ. Поэтому разбираем. 8 - это произведение трех двоек, каждой двойке нужна пятерка, значит нам нужно три пятерки, а произведение трех пятерок - это 125. Поэтому при переводе несократимой дроби со знаменателем 8 дополнительным множителем будет число 125. Большие числа на 125 умножать долго, поэтому можно воспользоваться приемом, аналогичным для числа 4. Для начала понять или запомнить четыре правильные дроби:
Ну а затем раскладывать числитель на два слагаемых, одно из которых делится на 8. Например поделим 43 на 8:
6. "Плохие" знаменатели
Бывает, что задание ОГЭ сводится к обыкновенной дроби, с "плохим" знаменателем, например: 9/30. Умножением на целое число из числа 30 никак не получить 100, 1000 и т.д. Но в этом случае нужно не забывать, что дробь можно не только умножать на дополнительный множитель, но и делить, то есть сокращать. У нас есть число 30, нужно из него получить 10 (100 делением никак не получить), значит нужно делить сокращать на 3, как раз число 9 на 3 прекрасно делится:
Аналогично переведем в десятичную дробь 14/70:
Бывают случаи, когда приходится и сокращать и домножать. например рассмотрим дробь 27/75. 75 является "плохим" знаменателем, так как 75=3*5*5, то есть нам мешает 3, значит и сокращать надо на 3. После сокращения получили знаменатель 25, а что делать с ним мы уже знаем:
В качестве закрепления предлагаю Вам перевести в десятичные следующие дроби:
Спасибо за внимание ❤️!
Для проверки пишите ответы в комментариях.
Спрашивайте. Предлагайте. Изучайте математику.